Cq重慶大學電子課件課件制作:吳新生樊桂潔課程:高等數(shù)學2005年6月第一頁，共二十九頁。第一章函數(shù)與極限分析基礎函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁本章主要內容：映射函數(shù)函數(shù)極限數(shù)列極限無窮大與無窮小函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第二頁，共二十九頁。第一節(jié)映射與函數(shù)一、集合二、映射三、函數(shù)第三頁，共二十九頁。一、集合（一）定義及表示法定義1：稱為集元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作(或).不含任何元素的集合稱為空集

,記作

.

含有有限個元素的集合成為有限集.不是有限集的集合稱為無限集.N：全體自然數(shù)集合N+：全體正整數(shù)集合Z：全體整數(shù)集合Q：全體有理數(shù)集合R:全體實數(shù)集合R*:全體正實數(shù)集合合。組成集合的事物稱為元素.第四頁，共二十九頁。(1)列舉法：按某種方式將集合中的元素一一列舉出來.例:有限集合(2)描述法：

x所具有的特征例:整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q互質實數(shù)集合

x為有理數(shù)或無理數(shù)表示法：第五頁，共二十九頁。1、基本運算：并集：由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，記作A∪B。交集：由即屬于A又屬于B的元素組成的集合，記作A∩B。差集：所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，記作A\B補集：稱集合I為全集，稱I\A為A的余集或補集。直積特例:記為平面上的全體點集（二）集合的運算第六頁，共二十九頁。交換律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；結合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C），對偶律：（A∪B）C＝AC∩BC，（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）；（A∩B）C＝AC∪BC；2、集合的并、交、補運算滿足下列法則：第七頁，共二十九頁。點的

鄰域其中,a稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:第八頁，共二十九頁。f二、映射（一）映射的概念設X,Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f

,使得對X中的每個元素x，按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射。記作定義：元素y稱為元素x在映射f下的像,記作元素x稱為元素y在映射f下的原像.集合X稱為映射f的定義域

;Y的子集稱為f的值域.XxYy第九頁，共二十九頁。1、構成映射必備的三要素：2、元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.③對應法則f是對每個x∈X，有唯一確定的y=f(x)與之對應。②值域范圍Df

Y;①定義域Df=X；注意：第十頁，共二十九頁。對映射若,則稱f為滿射;若有則稱f為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f為雙射或一一映射.滿射：單射：雙射：第十一頁，共二十九頁。X(數(shù)集或點集

)在不同數(shù)學分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X上的泛函X(≠

)Xf稱為X上的變換

Rf稱為定義在X上的為函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,說明:第十二頁，共二十九頁。1、逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f的逆映射.（二）逆映射與復合映射第十三頁，共二十九頁。定義：設有兩個映射其中，則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則，它將每個映成顯然，這個對應法則確定了一個從X到Z的映射，這個映射稱為映射g和f構成的復合映射，記作即2、復合映射

第十四頁，共二十九頁。三、函數(shù)（一）函數(shù)的概念定義域Df定義4.設數(shù)集則稱映射為定義在D上的函數(shù),記為自變量因變量f(D)稱為值域Rf(對應規(guī)則)(值域)(定義域)第十五頁，共二十九頁。定義域對應規(guī)律——對應規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法。使表達式及實際問題都有意義的函數(shù)構成要素如果兩個函數(shù)的定義域相同，對應法則也相同，自變量集合.那么這兩個函數(shù)就是相同的，否則就是不同。第十六頁，共二十九頁。設函數(shù)且有區(qū)間1、有界性使稱使稱為有界函數(shù).在I上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)無界.，稱在I上有上界稱在I上有下界當（二）函數(shù)的幾種特性使使第十七頁，共二十九頁。2、單調性時,稱為I上的稱為I上的單調增函數(shù);單調減函數(shù).第十八頁，共二十九頁。且有若則稱f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).3、奇偶性由定義知偶函數(shù)關于y軸對稱xy且有由定義知奇函數(shù)關于原點對稱第十九頁，共二十九頁。有則稱為周期函數(shù),且稱l為周期(一般指最小正周期).周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.4、周期性設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個正數(shù)l，使得對于任一例如：常數(shù)函數(shù)狄里克雷函數(shù)x為有理數(shù)x為無理數(shù)或第二十頁，共二十九頁。1、反函數(shù)的概念及性質若函數(shù)為單射,則存在逆映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f的反函數(shù).（三）反函數(shù)與復合函數(shù)第二十一頁，共二十九頁。其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調遞增且也單調遞增2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關于直線對稱.如圖：對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調遞增,其圖形關于直線對稱.指數(shù)函數(shù)性質:第二十二頁，共二十九頁。2、復合函數(shù)則設有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復合函數(shù),①②u稱為中間變量.注意:構成復合函數(shù)的條件不可少.例如,函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構成復合函數(shù).可定義復合第二十三頁，共二十九頁。例如,可定義復合函數(shù):其中u、v都是中間變量兩個以上函數(shù)也可構成復合函數(shù).第二十四頁，共二十九頁。3、函數(shù)的運算的定義域依次為則可以定義兩個函數(shù)的下列運算和（差）商積第二十五頁，共二十九頁。1、基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)2、初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù).并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構成,稱為初等函數(shù).例如,雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).定義（四）初等函數(shù)第二十六頁，共二十九頁。內容小結1.集合及映射的概念定義域對應規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結構2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二十七頁，共二十九頁。第二十八頁，共二十九頁。內容總結Cq重慶大學電子課件。含有有限個元素的集合成為有限集.。不是有限集的集合稱為無限集.。例:整數(shù)集合。2、集合的并、交、補運算滿足下列法則：。點的鄰域。去心鄰域。③對應法則f是對每個x∈X，有唯一確定的y=f(x)與之對應。則稱f為單射。則稱f為雙射或一一映射.。在不同