------------------------------------------------------------------------小學數學奧數方法講義40講(三)第二十一講守恒法————————————————姚老師數學樂園廣安岳池姚文國應用題中的數量有的是變化的，有的是始終不變的。解應用題時，抓住始終不變的數量，分析不變的數量與其他數量的關系，從而找到解題的突破口，把應用題解答出來的解題方法，叫做守恒法，也叫抓不變量法。（一）總數量守恒有些應用題中不變的數量是總數量，用守恒法解題時要抓住這個不變的總數量。例1晶晶要看一本書，計劃每天看15頁，24天看完。如果要12天看完，每天要看多少頁？如果改為每天看18頁，幾天可以看完？（適于三年級程度）解：無論每天看多少頁，總是看這一本書，只要抓住這本書的“總頁數不變”這個關鍵，問題就好辦了。這本書的總頁數是：15×24=360（頁）如果要12天看完，每天要看的頁數是：360÷12=30（頁）如果改為每天看18頁，看完這本書的天數是：360÷18=20（天）答略。此題由于第一步是用乘法求出總數，因此也叫做“歸總”應用題。*例2用一根鐵絲圍成一個長26厘米，寬16厘米的長方形。用同樣長的鐵絲圍成一個正方形，正方形所圍成的面積是多少？（適于三年級程度）解：這根鐵絲的長是不變的量，鐵絲圍成的長方形的周長和正方形的周長相同。即：26×2+16×2=52+32=84（厘米）正方形的邊長是：84÷4=21（厘米）正方形所圍成的面積是：21×21=441（平方厘米）答略。解：書架上書總的本數是不變的數量，設它為單位1。從“上層書的本書總的本數分成5份，上層的書占總本數的因此，書總的本數是：原來書架的上層有書：原來書架的下層有書：90-18=72（本）（二）部分數量守恒當應用題中不變的數量是題中的一部分數量時，要抓住這個不變的部分數量解題。例1一輛汽車，從甲站到乙站，要經過20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。如果這輛汽車在平路上每小時行40千米，在上坡路上每小時行30千米，在下坡路上每小時行45千米。照這樣的速度行駛，這輛汽車在甲、乙兩站間往返一次需要多少時間？（適于五年級程度）解：無論汽車行駛在平路上、上坡路上，還是在下坡路上，每一段路上的速度是不變的。這輛汽車往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）千米這輛汽車往返一次需要的時間是：答略。例2有含鹽15％的鹽水20千克，要使鹽水含鹽10％，需要加水多少千克？（適于六年級程度）解：題中鹽的重量是不變的數量，鹽的重量是：20×15％=3（千克）在鹽水含鹽10％時，鹽的對應分率是10％，因此鹽水的重量是：3÷10％=30（千克）加入的水的重量是：30-20=10（千克）答略。解：文藝書的本數是不變的數量。文藝書有：=720（本）從后來兩種書總的本數中減去原來兩種書總的本數，得到買進科技書的本數：720-630=90（本）綜合算式：=720-630=90（本）答略。（三）差數守恒當應用題中兩個數量的差是不變的數量時，要抓住這個差，分析數量關系解題。例1父親今年35歲，兒子5歲。多少年后父親的年齡是兒子年齡的3倍？（適于四年級程度）解：父子年齡的差是個不變的數量，始終是35-5=30（歲）在父親年齡是兒子年齡的3倍時，父子年齡的差恰好是兒子年齡的2倍。因此，這時兒子的年齡是：30÷2=15（歲）15-5=10（年）答：10年后父親的年齡是兒子年齡的3倍。*例2小明有200個棗，大平有120個棗。兩人吃掉個數相同的棗后，小明剩下的棗是大平剩下棗的5倍。問兩個人一共吃掉多少個棗。（適于四年級程度）解：兩個人相差的棗的個數是不變的數量：200-120=80（個）兩人吃掉個數相同的棗后，小明剩下的棗是大平剩下棗的5倍。這就是說大平剩下的棗是1份數，小明剩下的棗比大平剩下的棗多4份數。因為兩人吃掉的棗的個數相同，所以相差數還是80個。這80個是4份數。因此，大平剩下的棗是其中的一份數：80÷4=20（個）大平吃掉的棗是：120-20=100（個）因為兩個人吃掉的棗一樣多，所以一共吃掉棗：100×2=200（個）答略。*例3有甲、乙兩個車間，如果從甲車間調出18人給乙車間，甲車間就比乙車間少3人；如果從兩個車間各調出18人，乙車間剩下人數就是甲車間解：由“從甲車間調出18人給乙車間，甲車間就比乙車間少3人”可看出，甲車間比乙車間多2個18人又少3人，即甲車間比乙車間多：18×2-3=33（人）由“從兩個車間各調出18人，乙車間剩下的人數就是甲車間剩下人數的甲車間原有的人數是：88+18=106（人）乙車間原有的人數是：106-33=73（人）答略。*例4甲種布的長是乙種布長的3倍。兩種布各用去8米時，甲種布剩下的長是乙種布剩下長度的4倍。兩種布原來各長多少米？（適于六年級程度）解：甲、乙兩種布的長度差是不變的數量，解題時要以這個不變的數量作為標準量。原來乙種布的長是標準量的：乙種布先后兩個分率的差是：乙種布的長是：甲種布的長是：48+24=72（米）答略。第二十二講兩差法解應用題時，首先確定一個標準數（即1倍數），再根據已知的兩數差與倍數差，用除法求出1倍數，然后以此為基礎，用乘法求出另一個數的解題方法，叫做兩差法。用兩差法一般是解答差倍問題。差倍問題的數量關系是：兩數差÷倍數差=1倍數1倍數×倍數=幾倍數較小數+兩數差=較大數例1某廠女職工人數是男職工人數的6倍，男職工比女職工少65人。這個廠男女職工共有多少人？（適于四年級程度）解：根據“人數差÷倍數差=1倍數”，有：65÷（6-1）=13（人）那么，這個廠男女職工共有的人數是：13×（6+1）=91（人）答略。例2小李買3本日記本，小華買同樣的8本日記本，比小李多用2.75元。小李、小華兩人分別用去多少錢？（適于五年級程度）解：小華比小李多用2.75元（總價差），是因為小華比小李多買（8-3）本（數量差）日記本，用這兩個差求出每本日記本的價錢。小李用的錢數是：0.55×3=1.65（元）小華的錢數是：0.55×8=4.40（元）答略。例3甲、乙兩數的差是28，甲數是乙數的3倍。問甲乙兩數各是多少？（適于四年級程度）解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍數，28所對應的倍數是3-1=2（倍），則乙數可以求出。解法是：28÷（3-1）=14……………乙數14×3=42…………………甲數答：甲數是42，乙數是14。例4一個植樹小組植樹。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹苗？（適于五年級程度）解：把題中的條件簡要摘錄如下：

每人5棵

剩14棵

每人7棵

缺4棵比較兩次分配的情況可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵樹。根據兩次每人栽的棵數差和所栽總棵數的差，可求出植樹小組的人數，然后再求出原有樹苗的棵數。（14+4）÷（7-5）=9（人）……人數5×9+14=59（棵）……………棵數答略。例5用一個杯子向一個空瓶里倒水。如果倒進3杯水，連瓶共重440克；如果倒進5杯水，連瓶共重600克。一杯水和一個空瓶各重多少克？（適于五年級程度）解：解這類題，要先找出“暗差”的等量關系，再找解題的最佳方法。這道題的“暗差”有兩個：一個是5-3=2（杯），另一個是600-440=160（克）。這里兩個暗差的等量關系是：2杯水的重量=160克。這樣就能很容易求出一杯水的重量：160÷2=80（克）一個空瓶的重量：440-80×3=200（克）答略。*例6甲從西村到東村，每小時步行4千米。3.5小時后，乙因有急事，從西村出發騎自行車去追甲，每小時行9千米。問乙需要幾小時才能追上甲？（適于高年級程度）解：乙出發時，甲已經行了（4×3.5）千米，乙每行1小時便可比甲每小時多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有幾個（9-4）千米，乙追上甲就需要多少個小時。所以：答：乙需2.8小時才能追上甲。例6是典型的“追及問題”。由此可知，追及問題也可以利用兩差法來解答。*例7某電風扇廠生產一批電風扇。原計劃每天生產120臺電風扇，實際每天比原計劃多生產30臺，結果提前12天完成任務。這批電風扇的生產任務是多少臺？（適于高年級程度）解：在同樣的時間（計劃天數）里，實際比原計劃多生產電風扇的臺數是：（120+30）×12。因為實際每天比原計劃多生產30臺，因此：計劃完成任務的天數是60天，那么這批電風扇的生產任務就是：120×60=7200（臺）答略。*例8甲每小時走5千米，乙每小時走4千米，兩人同走一段路，甲比乙少用了3小時。問這段路長多少千米？（適于五年級程度）解：解答這道題應從“差異”入手。因為凡是發生差異必定有它的道理。題中的差異是“甲比乙少用了3小時”，抓住它作如下追問，即可發現解題途徑。為什么會“甲比乙少用了3小時”？因為甲比乙的速度快。（1）在3個小時里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小時里甲比乙正好多走：4×3=12（千米）（2）甲每小時可以追上乙多少千米呢？5-4=1（千米）（3）走完這12千米的差數甲要走幾小時呢？12÷1=12（小時）（4）這段路長多少千米？5×12=60（千米）綜合算式：5×[4×3÷（5-4）]=5×[12÷1]=5×12=60（千米）答略。解：此題是“差倍”問題的變形。答略。兩堆煤原來各有多少噸？（適于六年級程度）解：這里已知兩堆煤的總數和運走的總數，不知道兩堆煤在總數中占多大比率，也無法把運走的煤分為甲堆運走的和乙堆運走的。雖然知道甲堆運知道，無法發生聯系，因此這兩個分率無法參加運算。本題的難點在于兩堆煤運走的分率不同，若分率相同，分析就會有所進展。然后再看假設引出了什么差異。已知條件告訴我們共運走180噸，與方才算得的162噸相差180-162=18（噸），為什么會產生這18噸的差異呢？270-120=150（噸）……甲堆答略。*例11祖父給兄弟二人同樣數目的零花錢，祖母給了哥哥1100日元，給了弟弟550日元，這樣兄弟二人所得到的零花錢數的比為7∶5。求祖父給兄弟二人的錢數都是多少日元？（適于六年級程度）解：因為祖父給兄弟二人的錢數相同，所以祖母給兄弟二人的錢數之差，就是他們分別得到的所有零花錢錢數之差。1100-550=550（日元）由兄弟二人所得到的零花錢錢數的比為7∶5可知，把哥哥的錢看成是7份的話，弟弟的錢數就是5份，它們相差：7-5=2（份）所以，每一份的錢數是：550÷2=275（日元）哥哥有零花錢：275×7=1925（日元）其中祖父給的是：1925-1100=825（日元）答：祖父給兄弟二人的錢都是825日元。*例12一位牧羊人趕著一群羊走過來，小明問他：“你的羊群里有山羊、綿羊各幾只？”牧羊人說：“山羊的只數加上99只就是綿羊的只數，綿羊的只數加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”請你幫助小明算一算。（適于五年級程度）解：由“山羊的只數加上99只就是綿羊的只數”知道，綿羊比山羊多99只。由“綿羊的只數加上99只就是山羊的3倍”知道，綿羊的只數加上99只后，綿羊的只數比山羊多（99+99）只。此時，如果把山羊只數看作1倍，綿羊只數就是3倍，比山羊多（3-1）倍，這（3-1）倍正好是（99+99）只（圖22-1）。用除法可以求出1倍數（山羊只數），再用加法就可以求出綿羊只數。（99+99）÷（3-1）=198÷2=99（只）…山羊只數99+99=198（只）…………綿羊只數答略。*例13某工廠有大、小兩個車間。如果從小車間調10人到大車間，則大車間的人數是小車間的3倍；如果從大車間調30人到小車間，則兩個車間的人數相等。求大、小兩個車間各有多少人？（適于高年級程度）解：根據“如果從大車間調30人到小車間，則兩個車間的人數相等”知道，大車間比小車間多30×2人；根據“如果從小車間調10人到大車間，則大車間的人數是小車間的3倍”知道，這樣調動后，大車間比小車間多（30×2+10×2）人。把調動后小車間的人數看作1倍數，則大車間的人數就是3倍數，比小車間的人數多（3-1）倍數，這（3-1）倍數正好是（30×2+10×2）人。用除法可以求出1倍數（調動后，小車間人數），加上10就得小車間原有人數。（30×2+10×2）÷（3-1）+10=80÷24+10=50（人）………………（小車間原有人數）50+30×2=110（人）…（大車間原有人數）答略。在差倍問題中，有一類比較特殊，這就是年齡問題。年齡問題一般用差倍問題的解題思路、計算公式來分析、解答。但要注意年齡問題所單獨具有的“定差”特點，即大、小兩個年齡，相當于大、小兩個數，無論現在、過去、將來，這兩個年齡的差不變。抓住這個特點，再利用差倍問題的數量關系和解題方法，便可解答年齡問題。*例14今年哥哥18歲，弟弟8歲。問幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍？（適于高年級程度）解：作圖22-2。哥哥和弟弟年齡之差（18-8）歲始終不變。把幾年前弟弟的年齡看作1倍數，哥哥的年齡就是3倍數，比弟弟多（3-1）倍數，這（3-1）倍數正好對應于（18-8）歲。用除法可以求出1倍數，就是幾年前弟弟的年齡，再用減法便可求出幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍。8-（18-8）÷（3-1）=3（年）答略。*例15今年父親40歲，兒子4歲。問幾年后父親的年齡是兒子的4倍？（適于高年級程度）解：作圖22-3。父子年齡之差（40-4）歲始終不變。把幾年后兒子的年齡看作1倍數，父親的年齡就是4倍數，比兒子多（4-1）=3倍數，這（4-1）倍數正好對應于（40-4）歲。用除法可求出1倍數，即幾年后兒子的年齡，再用減法便可求出幾年后父親的年齡是兒子的4倍。（40-4）÷（4-1）-4=36÷3-4=8（年）答略。第二十三講比例法比和比例是傳統算術的重要內容，在較早的年代，許多實際問題都是應用比和比例的知識來解答的。近年來，小學數學教材中比和比例的內容雖然簡化了，但它仍是小學數學教學的重要內容之一，是升入中學繼續學習的必要基礎。用比例法解應用題，實際上就是用解比例的方法解應用題。有許多應用題，用比例法解簡單、方便，容易理解。用比例法解答應用題的關鍵是：正確判斷題中兩種相關聯的量是成正比例還是成反比例，然后列成比例式或方程來解答。（一）正比例兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。如果用字母x、y表示兩種相關聯的量，用k表示比值（一定），正比例的數量關系可以用下面的式子表示：例1一個化肥廠4天生產氮肥32噸。照這樣計算，這個化肥廠4月份生產氮肥多少噸？（適于六年級程度）解：因為日產氮肥的噸數一定，所以生產氮肥的噸數與天數成正比例。設四月份30天生產氮肥x噸，則：答略。例2某工廠要加工1320個零件，前8天加工了320個。照這樣計算，其余的零件還要加工幾天？（適于六年級程度）解：因為每一天加工的數量一定，所以加工的數量與天數成正比例。還需要加工的數量是：1320-320=1000（個）設還需要加工x天，則：例3一列火車從上海開往天津，行了全程的60％，距離天津還有538千米。這列火車已行了多少千米？（適于六年級程度）解：火車已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。設火車已行的路程為x千米。答略。米。這時這段公路余下的長度與已修好長度的比是2∶3。這段公路長多少米？（適于六年級程度）解：余下的長度與已修好長度的比是2∶3，就是說，余下的長度是已這段公路的長度是：答略。（二）反比例兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。如果用字母x、y表示兩種相關聯的量，用k表示積（一定），反比例的數量關系可以用下面的式子表達：x×y=k（一定）例1某印刷廠裝訂一批作業本，每天裝訂2500本，14天可以完成。如果每天裝訂2800本，多少天可以完成？（適于六年級程度）解：由于要裝訂的本數一定，因此，每天裝訂的本數與可以裝訂的天數成反比例。設x天可以完成，則：答略。例2一項工程，原來計劃30人做，18天完成?，F在減少了3人，需要多少天完成？（適于六年級程度）解：工作總量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人數與天數成反比例?，F在減少3人，現在的人數就是：30-3=27（人）設需要x天完成，則：答略。例3有一項搬運磚的任務，25個人去做，6小時可以完成任務；如果相同工效的人數增加到30人，搬運完這批磚要減少幾小時？（適于六年級程度）解：題中的總任務和每人的工作效率一定，所以搬運磚的人數與所需要的時間成反比例。設增加到30人以后，需要x小時完成，則：6-5=1（小時）答：增加到30人后，搬運完這批磚要減少1小時。例4某地有駐軍3600人，儲備著吃一年的糧食。經過4個月后，復員若干人。如果余下的糧食可以用10個月，求復員了多少人？（適于六年級程度）解：按原計劃，4個月后余下的糧食可以用：12-4=8（個月）因為復員一部分人后，人數少了，所以原來可以用8個月的糧食，現在就可以用10個月。糧食的數量一定，人數與用糧的時間成反比例。設余下的糧食供x人吃10個月，則：答：復員了720人。（三）按比例分配按比例分配的應用題可用歸一法解，也可用解分數應用題的方法來解。用歸一法解按比例分配應用題的核心是：先求出一份是多少，再求幾份是多少。這種方法比解分數應用題的方法容易一些。用解分數應用題的方法解按比例分配問題的關鍵是：把兩個（或幾個）部分量之比轉化為部分量占總量的（幾個部分量之和）幾分之幾。這種轉化稍微難一些。然而學會這種轉化對解答某些較難的比例應用題和分數應用題是有益的。究竟用哪種方法解，要根據題目的不同，靈活采用不同的方法。有些應用題敘述的數量關系不是以比或比例的形式出現的，如果我們用按比例分配的方法解這樣的題，要先把有關數量關系轉化為比或比例的關系。1.按正比例分配甲、乙、丙三個數的連比是：4+5+8=17答略。例2有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5％，乙堆比丙堆少解：因為甲堆比乙堆多12.5％，所以要把乙堆看作“1”，這樣甲堆就是（1+12.5％）。甲∶乙=（1+12.5％）∶1=9∶8甲∶乙∶丙=9∶8∶10已知甲堆比丙堆少6噸，這6噸所對應的份數是1，所以，甲堆煤的噸數是：6×9=54（噸）乙堆煤的噸數是：6×8=48（噸）丙堆煤的噸數是：6×10=60（噸）答略。2.按反比例分配*例1某人騎自行車往返于甲、乙兩地用了10小時，去時每小時行12千米，返回時每小時行8千米。求甲、乙兩地相距多少千米？（適于六年級程度）解：此人往返的速度比是：12∶8=3∶2因為在距離一定的情況下，時間與速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是3∶2，可推出此人往返所用的時間比是2∶3。去時用的時間是：兩地之間的距離：12×4=48（千米）答略。*例2一個文藝演出隊去少數民族地區慰問演出，路上共用了110個小這也是騎馬、乘輪船、坐火車的時間比。將110小時按8∶2∶1的比例分配。騎馬的時間是：坐火車的時間是：答略。3.按混合比例分配把價格不同、數量不等的同類物品相混合，已知各物品的單價及混合后的平均價（或總價和總數量），求混合量的應用題叫做混合比例應用題?；旌媳壤龖妙}在實際生活中有廣泛的應用。*例1紅辣椒每500克3角錢，青辣椒每500克2角1分錢?，F將紅辣椒與青辣椒混合，每500克2角5分錢。問應按怎樣的比例混合，菜店和顧客才都不會吃虧？（適于六年級程度）解：列出表23-1。表23-1表中，價格一欄是根據題意填的，其他欄目是在分析題的過程中填的?；旌虾蟮睦苯肥敲?00克賣2角5分錢，而混合辣椒中紅、青兩種辣椒的比不能是1∶1，因為在混合后的辣椒中每有500克紅辣椒，紅辣椒就要少賣5分錢，所以應算是每500克紅辣椒損失了5分錢，在“損”一欄中，橫對紅辣椒和3角，填上5分；又因為在混合后的辣椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多賣4分錢，所以應算是每500克青辣椒多賣了（益）4分錢，在“益”一欄中，橫對青辣椒和2角1分，填上4分。5與4的最小公倍數是20。20÷5＝4，20÷4＝5，只有在混合的辣椒中，有4份的紅辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好賣2角5分錢。4份的紅辣椒是4個500克，它的價錢是，0.3×4=1.2（元）5份的青辣椒是5個500克，它的價錢是，0.21×5=1.05（元）4份紅辣椒與5份青辣椒的總價是，1.2+1.05=2.25（元）而9個500克的混合辣椒的總價是，0.25×9=2.25（元）9份（9個500克）紅辣椒和青辣椒的總價正好與9個500克混合辣椒的總價相等。所以在混合的辣椒中，紅辣椒與青辣椒的比應是4∶5。這個比正好是益損兩數比的反比。答略。*例2王老師買甲、乙兩種鉛筆共20支，共用4元5角錢。甲種鉛筆每支3角，乙種鉛筆每支2角。兩種鉛筆各買多少支？（適于六年級程度）解：20支鉛筆的平均價格是：4.5÷20=0.225（元）=2.25（角）列出表23-2。表23-2因為甲種鉛筆每支3角，而平均價格是每支2.25角，所以每支甲種鉛筆損失了0.75角錢。在表中“損”一欄橫對“甲”填上0.75角/支；因為乙種鉛筆每支2角，而平均價格是每支2.25角，所以每支乙種鉛筆是增加（益）了0.25角。在表中“益”一欄橫對“乙”填上0.25角/支。兩種鉛筆的混合比，正好是損、益兩數比的反比，所以在混合比一欄中，橫對甲填0.25，而橫對乙填0.75。把0.25和0.75化簡后得1和3?，F在可以認為兩種鉛筆的總份數是：1+3=4（份）甲種鉛筆的支數是：乙種鉛筆的支數是：答略。（四）連比如果甲數量與乙數量的比是a∶b，乙數量與丙數量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三個數量的比可以寫作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三個數量的連比。注意：“比”中的比號相當于除號，也相當于分數線，而“連比”中的比號卻不是相當于除號、分數線。*例1已知甲數和乙數的比是5∶6，丙數和乙數的比是7∶8，求這三個數的連比。（適于六年級程度）解：已知甲、乙兩數的比是5∶6，丙數與乙數之比為7∶8，即乙數與丙數之比為8∶7。第一個比的后項是6，第二個比的前項為8，這說明甲、丙兩個數不是以相同標準劃分的，甲、乙、丙三個數不能直接寫成連比。用下面的方法可以統一甲、丙的標準，把甲、乙、丙三個數寫成連比。把5擴大8倍，得40；把6擴大8倍，得48。把6擴大8倍得48，也就是把8擴大6倍，得48，所以也要把7擴大6倍得42。甲、乙、丙三個數的連比是：4O∶48∶42=20∶24∶21。答略。*例2甲、乙、丙三堆煤共重1480噸，已知甲堆煤重量的又根據，甲∶乙=3∶2，乙∶丙=5∶6，可求出甲、乙、丙三個數的連比是：甲∶乙∶丙=15∶10∶12把1480噸煤按15∶10∶12的比例分配。甲堆煤重：乙堆煤重：答略。答略。第二十四講轉換法解答應用題時，通過轉換（即轉化）題中的情節，分析問題的角度、數據……從而較快找到解題思路，或簡化解題過程的解題方法叫做轉換法。（一）轉換題中的情節轉換題中的情節是運用聯想改變原題的某個情節，使題目變得易于解答。14+6=20（噸）30噸所對應的分率是：答略。例2一項工程，甲、乙兩隊合做要用12天完成。如果甲隊先獨做16天，余下的再由乙隊獨做6天完成。如果全部工程由甲隊獨做，要用幾天完成？（適于六年級程度）解：求甲隊獨做要用幾天完成全部工程，得先求出甲隊的工作效率?？墒穷}中已知的是甲、乙合做要用的時間，和甲、乙一前一后獨做的時間，很難求出甲的工作效率。如果將“一前一后獨做”這一情節變換為“先合做，后獨做”就便于解題了。可這樣設想，從甲隊的工作量中劃出6天的工作量與乙隊6天的工作量合并起來，也就是假定兩隊曾經合做了6天。情節這樣變動后，原題就變換成：一項工程，甲、乙兩隊合做要用12天完成，這項工程先由甲乙兩隊合做6天后，余下的工程由甲隊單獨做10天完成。如果全部工程由甲隊獨做要用幾天完成？這樣就很容易求出甲隊的工作效率是：甲隊獨做完成的時間是：答略。（二）轉換看問題的角度解應用題時，如果看問題的角度不適當就很難解出題。如果轉換看問題的角度，把原來從正面看問題轉換為從側面看或從反面看，把這一數量轉換為另一數量進行分析，就可能找到解題思路。解：一般都沿著女工占總人數的分率去尋找與之相對應的具體人數，但這樣往往會誤入歧途，難以找到正確答案。不如根據女工所占分率，換一個角度，想一想男工的情況。男工人數便占總人數的：后來女工的總人數是：=560-480=80（人）答略。*例2求圖24-1中陰影部分的面積。（單位：厘米）（適于六年級程度）解：如果直接計算圖中陰影部分的面積，幾乎是不可能的。如果把角度轉換為，從大扇形面積減去右面空白處的面積，就容易求出陰影部分的面積了。=200.96-81.5=119.46（平方厘米）答：陰影部分的面積是119.46平方厘米。（三）轉換題中的數據轉換題中的數據就是將題中已知的數據進行等價變換，從而協調各個數據之間的關系。例1兩輛汽車同時從相距465千米的兩地相對開出，4.5小時后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時行37千米。另一輛汽車每小時行多少千米？（適于五年級程度）解：如果兩地的距離減少120千米，兩車經過4.5小時正好相遇，兩車4.5小時行的路程是：465-120=345（千米）兩車的速度之和是：綜合算式：（465-120）÷4.5-37=345÷4.5-37解：如果從分數角度分析，不易找出數量間的關系。如果把分數轉換為比來分析，就會得出，第一天與第二天種的棵數的比是3∶5，第二天與第三天種的棵數比是5∶6。所以，第一、二、三天種的棵數的比是3∶5∶6。第一天種：第三天種：答略。（四）轉換為統一標準當題中兩個或幾個數量的單位“1”不統一，不便于解答時，如把某個數量作為標準單位“1”，把其他數量轉化為以它為標準的分率，就會突破障礙，順利解題。例1甲、乙、丙、丁四人合買一批化肥。甲付的錢是其他人所付錢數之解：把甲、乙、丙、丁所付錢數統一為以總數量作為標準量的分率。由答略。色電視機的臺數沒有發生變化，我們以彩色電視機的臺數作為單位彩色電視機的臺數是：黑白電視機的臺數是：答略。（五）轉換隱蔽條件為明顯條件有些應用題的解題條件十分隱蔽。認真體會題中字、詞、句的含義，看清這些字、詞、句實質上說的是什么，必要時借助圖形分析，或適當改變題中的條件，就可能把原來題中隱蔽的條件轉換為明顯條件，從而較快解題。*例1甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，在離B點18千米的地方相遇。相遇后二人繼續往前行，甲到B地和乙到A地立即返回，在離A地8千米的地方又相遇。求A、B兩地相距多少千米？（適于高年級程度）解：解答此題的條件十分隱蔽。借助圖24-2分析問題，可將隱蔽條件轉換為明顯條件。（1）從開始出發到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一個全程的路程，其中乙走了18千米。這就是說甲、乙二人共同走完一個全程的路程時乙走18千米，若共同走完三個全程，那么乙就走18×3千米的路程。（2）甲、乙第二次相遇時，二人走了三個全程的路程，而乙走了一個全程加8千米。（3）乙走的一個全程加8千米應等于18×3千米，所以，A、B兩地的距離是：18×3-8=46（千米）答：甲乙兩地相距46千米。220-100=120（千克）…甲袋米重答略。（六）轉換敘述方式對數量關系復雜、不易理出頭緒、不易分析解答的應用題，經過逐字、逐句地分析，弄清每一句話的意思，然后轉換原題的敘述方式，就可化繁為簡，化難為易，使原題變得易于解答。*例1李老師帶領學生植100棵樹。李老師先植一棵，然后對同學們說：“男同學每人植兩棵，女同學每兩人合植一棵?！边@樣正好把余下的樹苗植完。問李老師帶領的學生中有多少名男生，多少名女生？（適于高年級程度）解：逐層分析每一句話的意思。李老師植一棵，那么學生就是植了99棵；男同學每人植兩棵，女同學每兩人合植一棵，可以看作一名男生和兩名女生組成一組，植樹3棵。99÷3=33（組）這樣就可以認為學生正好分成33組。根據上面的分析，上面的題就可以這樣敘述：有33組學生去植樹，每一組學生中有一名男生、兩名女生。求去植樹的學生中有多少名男生、女生？1×33=33（名）………男生人數2×33=66（名）………女生人數答：有男生33名，有女生66名。*例2一位天文愛好者說：“土星直徑比地球直徑的9倍還多4800千米，土星直徑除以24等于水星直徑，水星直徑加上2000千米等于火星直徑，火星直徑的一半減去500千米等于月亮直徑，月亮直徑是3000千米。求地球直徑是多少千米？（適于高年級程度）解：把原題倒過來敘述：月亮直徑是3000千米，月亮直徑加上500千米后的2倍等于火星直徑，火星直徑減去2000千米等于水星直徑，水星直徑的24倍等于土星直徑，土星直徑減去4800千米是地球直徑的9倍。水星直徑：（3000+500）×2-2000=5000（千米）土星直徑：5000×24=120000（千米）地球直徑：（120000-4800）÷9=12800（千米）答略。（七）轉換解題的方法當題目用通常方法很難解答或不能解答時，應轉換解題方法，使問題得到解決。例1汽車7小時行300千米，照這樣計算，行駛7500千米需要多少小時？（適于三年級程度）解：此題如果這樣考慮，求行7500千米需要多少小時，要先求出汽車每小時行多少千米，然后7500千米再除以汽車每小時的速度，即：7500÷（300÷7）這樣列式計算時，小括號內的300÷7是除不盡的，三年級的學生還沒學過計算小數的近似值。本題用上面的方法列式解答看來不行，應換一種解題方法。如果求出7500千米中含有多少個300千米，就可求出這輛汽車行多少個7小時。這時可這樣列式解答：7×（7500÷300）=7×25=175（小時）答：行駛7500千米需要175小時。*例2一個長方體，表面積是66.16平方分米，底面積是19平方分米，底面周長是17.6分米。這個長方體的高是多少分米？（適于五年級程度）解：以一般方法解此題，求長方形的高，需要用底面積去除體積。可是已知條件中沒有體積，而且不容易求出，這就需要轉換解題方法。題中已知長方體的表面積。因為長方體共有6個面，每一對相對面的面積相等，所以可以把表面積轉化為三個不同面積之和：66.16÷2=33.08（平方分米）又因為底面積已知，所以可求出另外兩個面的面積之和：33.08-19=14.08（平方分米）14.08平方分米這個面積是由“長×高+寬×高=（長+寬）×高”得到的。14.08平方分米這個面積的長（即長與寬的和）是：17.6÷2=8.8（分米）所以，這個長方體的高是：14.08÷8.8=1.6（分米）答略。例3一輛快車和一輛慢車同時分別從A、B兩站相對開出，經過4小時后兩車相遇。相遇后快車繼續行駛3小時到達乙地。已知慢車每小時比快車少行15千米。求A、B兩站相距多少千米？（適于六年級程度）解：此題要是依靠具體的數量進行分析，解題就會遇到困難。如果轉換解題思路，用解工程問題的方法可化難為易。慢車每小時行全程的：A、B兩地的距離是：答略。

第二十五講假設法當應用題用一般方法很難解答時，可假設題中的情節發生了變化，假設題中兩個或幾個數量相等，假設題中某個數量增加了或減少了，然后在假設的基礎上推理，調整由于假設而引起變化的數量的大小，題中隱蔽的數量關系就可能變得明顯，從而找到解題方法。這種解題方法就叫做假設法。用假設法解應用題，要通過豐富的想象，假設出既合乎題意又新奇巧妙，既簡單又便于計算的條件。有些用一般方法能解答的應用題，用假設法解答可能更簡捷。（一）假設情節變化解：假設籃球沒有借出，足球借出一個，那么，可以把現有籃球的個數看作是3份數，把現有足球的個數看作2份數，兩種球的總份數是：3+2=5（份）原來籃球的個數是：原來足球的個數是：21-12=9（個）答略。例2甲乙兩個煤場共存煤92噸，從甲場運出28噸后，乙場的存煤比甲場的4倍少6噸。兩場原來各存煤多少噸？（適于六年級程度）解：假設從甲場運出的不是28噸，而是比28噸少6噸的22噸，那么，乙場的存煤數就正好是甲場的4倍，甲場的存煤是1份數，乙場的存煤是4甲場原來存煤：92-50=42（噸）答略。（二）假設兩個（或幾個）數量相等例1有兩塊地，平均畝產糧食185千克。其中第一塊地5畝，平均畝產糧食203千克。如果第二塊地平均畝產糧食170千克，第二塊地有多少畝？（適于五年級程度）解：假設兩塊地平均畝產糧食都是170千克，則第一塊地的平均畝產量比兩塊地的平均畝產多：203-170=33（千克）5畝地要多產：33×5=165（千克）兩塊地實際的平均畝產量比假設的平均畝產量多：185-170=15（千克）因為165千克中含有多少個15千克，兩塊地就一共有多少畝，所以兩塊地的畝數一共是：165÷15=11（畝）第二塊地的畝數是：11-5=6（畝）答略。解：此題可以有三種答案。答：剩下的兩根繩子一樣長。答：甲繩剩下的部分比乙繩剩下的部分長。（3）假設兩根繩子都比1米長。任意假定為1.5米，則甲繩剪去答：乙繩剩下的部分比甲繩剩下的部分長。例3一項工作，甲、乙兩隊單獨做各需要10天完成，丙隊單獨做需要7.5天完成。在三隊合做的過程中，甲隊外出1天，丙隊外出半天。問三隊合做完成這項工作實際用了幾天？（適于六年級程度）解：假設甲沒有外出，丙也未外出，也就是說，甲、乙、丙三個隊的工作天數一樣多，則三隊合做的工作量可達到：三隊合做這項工作，實際用的天數是：答略。*例4一項工程，甲、乙兩隊合做80天完成。如果先由甲隊單獨做72天，再由乙隊單獨做90天，可以完成全部工程。甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需要用多少天？（適于六年級程度）解：假設甲隊做72天后，乙隊也做72天，則剩下的工程是：乙隊還需要做的時間是：90-72=18（天）乙隊單獨完成全部工程的時間是：甲隊單獨完成全部工程的時間是：答略。（三）假設兩個分率（或兩個倍數）相同*例1某商店上月購進的藍墨水瓶數是黑墨水瓶數的3倍，每天平均賣出黑墨水45瓶，藍墨水120瓶。過了一段時間，黑墨水賣完了，藍墨水還剩300瓶。這個商店上月購進藍墨水和黑墨水各多少瓶？（適于高年級程度）解：根據購進的藍墨水是黑墨水的3倍，假設每天賣出的藍墨水也是黑墨水的3倍，則每天賣出藍墨水：45×3=135（瓶）這樣，過些日子當黑墨水賣完時藍墨水也會賣完。實際上，藍墨水剩下300瓶，這是因為實際比假設每天賣出的瓶數少：135-120=15（瓶）賣的天數：300÷15=20（天）購進黑墨水：45×20=900（瓶）購進藍墨水：900×3=2700（瓶）答略。*例2甲、乙兩個機床廠今年一月份都超額完成了生產計劃，甲廠完成計劃的112％，乙廠完成計劃的110％。兩廠共生產機床400臺，比原計劃超產40臺。兩廠原計劃各生產多少臺機床？（適于六年級程度）解：假設兩個廠一月份都完成計劃的110％，則兩個廠一月份共生產機床：（400-40）×110％=396（臺）甲廠計劃生產：（400-396）÷（112％-110％）=4÷2％=200（臺）乙廠計劃生產：400-40-200=160（臺）答略。（四）假設某個數量不比其他數量多或不比其他數量少例1某校三、四年級學生去植樹。三年級去150人，四年級去的人數比三年級人數的2倍少20人。兩個年級一共去了多少人？（適于三年級程度）解：假設四年級去的人數正好是三年級的2倍，而不是比三年級的2倍少20人，則兩個年級去的人數正好是三年級人數的3倍。兩個年級去的人數是：150×3=450（人）因為實際上，四年級去的人數比三年級2倍少20人，所以兩個年級去的實際人數是：450-20=430（人）答略。*例2甲、乙、丙三個鄉都拿出同樣多的錢買一批化肥。買好后，甲、丙兩個鄉都比乙鄉多18噸，因此甲鄉和丙鄉各給乙鄉1800元。問每噸化肥的價格是多少元？（適于高年級程度）解：假設甲、丙兩個鄉買的化肥不比乙鄉多18噸，而是與乙鄉買的同樣多，則應把多出來的2個18噸平均分。平均分時每個鄉多得：18×2÷3=12（噸）因為甲、丙兩個鄉都比乙鄉多得18噸，而平均分時每個鄉得12噸，所以乙鄉實際比甲、丙兩個鄉都少：18-12=6（噸）每噸化肥的價格：1800÷6=300（元）答略。（五）假設某個數量增加了或減少了6-4=2（人）全班人數是：女生人數是：答略。*例2學校運來紅磚和青磚共9750塊。紅磚用去20％，青磚用去1650塊后，剩下的紅磚和青磚的塊數正好相等。學校運來紅磚、青磚各多少塊？（適于六年級程度）解：假設少運來1650塊青磚，則一共運來磚：9750-1650=8100（塊）以運來的紅磚的塊數為標準量1，則剩下的紅磚的分率是：1-20％=80％因為剩下的紅磚的塊數與青磚的塊數正好相等，所以青磚的分率也是80％。因為8100塊中包括全部紅磚和紅磚的（1-20％）（青磚），所以8100塊的對應分率是（1+1-20％）。運來的紅磚是：（9750-1650）÷（1+1-20％）=8100÷1.8=4500（塊）運來的青磚是：9750-4500=5250（塊）答：運來紅磚4500塊，運來青磚5250塊。（六）假設某個數量擴大了或縮小了例1把雞和兔放在一起共有48個頭、114只爪和腳。雞和兔各有多少只？（適于四年級程度）解：假設把雞爪和兔子腳的只數都縮小2倍，則雞爪數和雞的頭數一樣多，兔的腳數是兔頭數的2倍。這樣就可以認為，114÷2所得商中含有全部雞的頭數，也含有兔子頭數2倍的數，而48中包含全部雞的頭數和兔子頭數1倍的數。所以兔的只數是：114÷2-48=9（只）雞的只數是：48-9=39（只）答略。解：假設把從甲、乙兩堆煤里取出的煤的數量擴大4倍，則從兩堆煤取出的總數量比原來的兩堆煤多：708×4-2268=2832-2268=564（千克）甲堆煤的重量是：乙堆煤的重量是：2268-940=1328（千克）答略。第二十六講設數法當應用題中沒有解題必需的具體的數量，并且已有數量間的關系很抽象時，如果假設題中有個具體的數量，或假設題中某個未知數的數量是單位1，題中數量之間的關系就會變得清晰明確，從而便于找到解答問題的方法，我們把這種解答應用題的方法叫做設數法。實際上設數法是假設法中的一種方法，因為它的應用比較多，所以我們把它單列為一種解題方法。在用設數法解答應用題設具體數量時，要注意兩點：一是所設數量要盡量小一些；二是所設的數量要便于分析數量關系和計算。（一）設具體數量例1一艘輪船從甲港開往乙港，去時順水，每小時行駛30千米；返回時逆水，每小時行駛20千米。求這艘輪船往返的平均速度。（適于五年級程度）解：甲、乙兩港之間的路程沒有給，要求往返的平均速度就比較困難。我們可以設甲、乙兩港之間的路程為60千米（60是輪船往返速度30和20的最小公倍數）。這樣去時用的時間是：60÷30=2（小時）返回時用的時間是：60÷20=3（小時）往返一共用的時間是：3+2=5（小時）往返的平均速度是：60×2÷5=24（千米/小時）綜合算式：60×2÷（60÷30+60÷20）=120÷（2+3）=120÷5=24（千米/小時）答略。*例2光華小學中、高年級共有學生600名，如果中年級派出本年級人數位“1”。假設高年級增加20名學生，這樣中、高年級人數從原來的600名增加到：600+20=620（名）中年級人數是：高年級的人數是：600-320=280（人）答略。例3某人騎一輛自行車從甲地去乙地，每小時行15千米；從乙地回到甲地，每小時行10千米。求此人騎自行車往返甲、乙兩地的平均速度。（適于六年級程度）解：題中缺少“甲、乙兩地的距離”的具體數量。我們可以任意設一個數為甲、乙兩地的路程。如設30千米為甲、乙兩地路程，這輛自行車往返甲、乙兩地的平均速度是：答略。此題如設20千米為甲、乙兩地的路程，那么，可列式為20×2÷輛自行車往返甲、乙兩地的平均速度都是12千米/小時。例4用甲、乙兩臺收割機分別收割一塊地的小麥時，甲用6小時可以收割完，乙用4小時可以收割完。用這兩臺收割機同時收割這塊地，多少小時可以收割完？（適于五年級程度）解：因為這塊地的畝數是個未知的數量，所以對沒學過用“解工程問題”的方法解應用題的學生是一道難題。如果假設出這塊地的畝數是個已知的數量，此題就容易解了。假設這塊地是12畝（也可假設為6和4的其他公倍數，如24畝、36畝、48畝、60畝等。這里假設為12畝，是因為12是6和4的最小公倍數，這樣便于計算）。則由題意得：12÷（12÷6+12÷4）=12÷（2+3）=2.4（小時）答：兩臺同時收割2.4小時可以收割完。*例5有一堆蘋果，如果平均分給大、小兩個班的小朋友，每人可得6個；如果只分給大班，每人可得10個。如果只分給小班，每人可得幾個？（適于五年級程度）解法（1）：假設有120個蘋果，則大、小兩個班共有小朋友：120÷6=20（人）大班有：120÷10=12（人）小班有：20-12=8（人）小班每人可分得蘋果：120÷8=15（個）綜合算式：120÷（120÷6-120÷10）=120÷8=15（個）答：只分給小班，每人可得15個。解法（2）：假設兩個班的總人數是30人，則蘋果的總個數是：6×30=180（個）大班人數是：180÷10=18（人）小班人數是：30-18=12（人）小班每人可分得蘋果：180÷12=15（個）綜合算式：6×30÷（30-6×30÷10）=180÷（30-18）=15（個）答略。（二）設單位“1”例1某食堂改造爐灶后，每天節約用煤60千克，這樣原來計劃用32天的煤，現在可以用48天。這堆煤共有多少千克？（適于六年級程度）答略。例2有一個正方體和一個長方體，長方體的長等于正方體的棱長，長方解：設正方體的棱長為1，那么正方體的體積是：1×1×1=1長方體的體積是：答略。設甲的錢數為單位1，這時因為甲的錢數是1，所以上面的關系式便成為：乙有人民幣：答略。例4在一次407人參加的歌手大賽中，沒有獲獎的女歌手占女歌手總數解：設女歌手的總人數為1。從男女歌手總人數407人中，去掉沒獲獎的男歌手16人之后，（407-=207（人）男歌手的人數是：407-207=200（人）答略。第二十七講代數法解應用題時，用字母代表題中的未知數，使它和其他已知數同樣參加列式、計算，從而求得未知數的解題方法，叫做代數法。代數法也就是列方程解應用題的方法。學習用代數法解應用題，要以學過算術法解應用題為基礎。我們知道用算術法解應用題時，未知數始終處于被追求的地位，除了要進行順向思考，必要時還要進行逆向思考，所以有些應用題用算術法解答很困難，而用代數法解應用題，由于是用字母代表題中的未知數，因此只要把代表未知數的字母看作已知數來考慮問題，正確找出題中數量間的等量關系，就可以用代表未知數的字母和已知數共同組成一個等式（即方程），然后計算出未知數的值。這種解題思路直接、簡單，可化難為易，特別是在解答比較復雜的應用題時用代數法就更容易。小學生在開始學習用代數法解應用題時，可能不大習慣，會受到算術法解題思路的干擾，在解題過程中可能出現一些錯誤。為順利地學好用代數法解應用題，應注意以下幾個問題：1.切實理解題意。通過讀題，要明白題中講的是什么意思，有哪些已知條件，未知條件是什么，已知條件與未知條件之間是什么關系。2.在切實理解題意的基礎上，用字母代表題中（設）未知數。通常用字母x代表未知數，題目問什么就用x代表什么。小學數學教材中，求列方程解答的應用題絕大多數都是這樣的。有些練習題在用代數法解答時，不能題中問什么都用x表示。x只表示題中另一個合適的未知數，這樣才能順利列出方程，求出所設的未知數。然后通過計算，求出題目要求的那個未知量。如果一道題要求兩個或兩個以上的未知數，這就要根據題目的具體情況，從思考容易、計算方便著眼，靈活選擇一個用x表示，其他未知數用含有x的代數式表示。3.根據等量關系列方程。要根據應用題中數量之間的等量關系列出方程。列方程要同時符合三個條件：（1）等號兩邊的式子表示的意義相同；（2）等號兩邊數量的單位相同；（3）等號兩邊的數量相等。如果一道應用題的數量有幾個相等的關系，并且每一個都可以作為列方程的依據，這時要選擇最簡便、最明確的等量關系列出方程。列方程時，如果未知數x只出現在等式的一端，要注意把含有未知數x的式子放在等式左邊，這樣解方程時比較方便。但不能在列方程時，只把表示未知數的一個字母x單獨寫在等號左端，因為這種列式的方法不是代數法，而仍然是算術法。4.解方程。解方程是根據四則運算中各部分數之間的關系進行推算。計算要有理有據，書寫格式要正確。解出x的數值后，不必注單位名稱。5.先檢驗，后寫答案。求出x的值以后，不要忙于寫出答案，而是要先把x的值代入原方程進行檢驗，檢驗方程左右兩邊的得數是不是相等。如果方程左右兩邊的得數相等，則未知數的值是原方程的解；如果方程左右兩邊的數值不相等，那么所求出的未知數的值就不是原方程的解。這時就要重新檢查：未知數設得對不對？方程列得對不對？計算過程有沒有問題？……一直到找出問題的根源。值得注意的是：即使求出的未知數的值是原方程的解，也應仔細考慮一下，得出的這個值是否符合題意，是否有道理。當證明最后得數確實正確后再寫出答案。列方程解應用題的關鍵是找準等量關系，根據等量關系列出方程。找等量關系沒有固定方法，考慮的角度不同，得出的等量關系式就不同。（一）根據數量關系式找等量關系，列方程解題例1一名工人每小時可以制作27個機器零件。要制作351個機器零件，要用多少小時？（適于五年級程度）解：設制做351個機器零件，要用x小時。根據“工作效率×時間=工作總量”這個數量關系，列方程得：27x=351x=351÷27x=13答：這名工人制作351個機器零件要用13個小時。

例2A、B兩地相距510千米，甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，6小時后相遇。已知甲車每小時行45千米，乙車每小時行多少千米？（適于五年級程度）解：設乙車每小時行x千米。根據“部分數+部分數=總數”，列方程得：45×6+6x=5106x=510-45×66x=510-27O6x=240x=240÷6x=40答略。（二）抓住關鍵詞語找等量關系，列方程解題例1長江的長度為6300千米，比京杭大運河（北京-杭州）全長的3倍還多918千米。求京杭大運河的全長是多少千米？（適于五年級程度）解：根據“長江的長度為6300千米，比京杭大運河全長的3倍還多918千米”，可找出長江的全長與京杭大運河全長的等量關系：京杭大運河全長×3+918=長江全長。設京杭大運河全長為x千米，列方程得：3x+918=63003x=6300-9183x=5382x=1794答略。例29頭藍鯨的最長壽命之和比6只烏龜的最長壽命之和多114年。烏龜的最長壽命是116年。求藍鯨的最長壽命是多少年？（適于五年級程度）解：根據“9頭藍鯨的最長壽命之和比6只烏龜的最長壽命之和多114年”，可以看出9頭藍鯨壽命之和與6只烏龜壽命之和的等量關系是：藍鯨的最長壽命×9-114=116×6。設藍鯨的最長壽命是x年，列方程得：9x-114=116×69x=116×6+1149x=810x=90答略。（三）畫圖形找等量關系，列方程解題例1某農場收割4000畝小麥，前3天每天收割700畝。剩下的要2天收完，每天要收割多少畝？（適于五年級程度）解：根據題意作圖27-1。由圖27-1可以看出題中的等量關系是：“前3天收割的畝數+后2天收割的畝數=4000畝”。設后2天每天收割x畝，列方程得：700×3+2x=40002x=4000-700×32x=4000-21002x=1900x=950答略。例2甲、乙兩列火車同時從相距360千米的兩個車站相向開出，3小時后相遇。已知甲車每小時行55千米，乙車每小時行多少千米？（適于五年級程度）解：根據題意作圖27-2。從圖27-2可以看出，甲、乙兩列火車3小時共行36O千米，甲車行的路程+乙車行的路程=360千米。設乙車每小時行x千米，列方程得：55×3+3X=3603x=360-1653x=195x=65答略。*例3甲、乙兩地相距60千米，自行車和摩托車同時從甲地駛往乙地，摩托車比自行車早到4小時，摩托車的速度是自行車速度的3倍。求摩托車和自行車的速度。（適于高年級程度）解：作圖27-3。用圖中縱向線段表示時間，用橫向線段表示速度。圖27-3中線段AB表示自行車的速度，AC表示摩托車的速度；AG表示自行車用的時間，AF表示摩托車用的時間。矩形ABHG和ACDF的面積都是表示甲、乙兩地的距離60千米。設AB為x千米，則AC為3x千米。4x+20=604x=60-20x=103x=30答：自行車每小時行10千米，摩托車每小時行30千米。（四）列表找等量關系，列方程解題例1甲、乙兩名車工共車了390個零件，車工甲每小時車30個，車工乙每小時車35個。他們共同工作多少小時才車完這批零件？（適于五年級程度）解：設兩人共同車了x小時。根據題意，列表27-1。表27-1從表27-1可以看出，車工甲在x小時里共車30x個零件，車工乙在x小時里共車35x個零件。根據題意，列方程：30x+35x=39065x=390x=390÷65x=6答略。*例231名學生去劃船，分乘3只大船和4只小船，每只大船坐5名學生，每只小船坐幾名學生？（適于高年級程度）解：設每只小船坐x名學生。根據題意列出表27-2。表27-2從表27-2看出，大船上坐的人數+小船上坐的人數=31人。大船上的人數是5×3名，小船上的人數是4x名。列方程：5×3+4x=314x=31-154x=16x=4答略。（五）根據公式找等量關系，列方程解題例1一個三角形的面積是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？（適于五年級程度）解：設三角形的高是x厘米。根據三角形的面積公式“底×高÷2=三角形面積”，列方程：25x÷2=10025x=100×2x=100×2÷25x=8答略。例2圖27-4梯形的面積是1050平方厘米，下底長18厘米，高30厘米。上底長是多少厘米？（適于五年級程度）解：設梯形的上底為x厘米。根據梯形的面積公式“（上底+下底）×高÷2=梯形面積”，列方程：（x+18）×30÷2=1050（x+18）=1050×2÷30x=70-18x=52答略。第二十八講聯想法我們把由某事物而想起其他相關的事物，由某概念而想起其他相關的概念，由某種解題方法而想起其他解題方法，從而使問題得到解決的解題方法叫做聯想法。通過聯想，可以把感知過的客觀事物中那些接近的、相似的、對立的，或有一定因果關系的事物建立某種聯系，從而溝通知識之間的邏輯關系，促進知識之間、方法之間的遷移和同化，有利于認識新事物、產生新的設想。（一）縱向聯想這是把問題的前后條件聯系起來思考的方法。進紅皮球20只，這時紅皮球正好占皮球總數的60％?，F在有紅皮球和白皮球各多少只？（適于六年級程度）4份。后來又買進紅皮球20只，這時紅皮球正好占皮球總數的60％，由此聯想到：現在皮球的總只數中，紅皮球占6份，白皮球占4份。可見，白皮球占的份數沒有起變化，紅皮球的份數增加了6-5=1（份）。因為增加了20只紅皮球是增加了1份。所以1份就是20只皮球。紅皮球這時占6份，紅皮球的只數是：20×6=120（只）白皮球占4份，白皮球的只數是：20×4=80（只）答略。（二）橫向聯想這是指從一個問題想到另一個問題的思考方法。例東風小學五、六年級的同學共植樹330棵。已知五年級植樹的棵數六年級植樹：或330-180=150（棵）由分數解法聯想到按比例分配的解法。六年級植樹：答略。（三）多角度聯想這是指對一個問題從幾個不同的角度進行思考的方法。例圖28-1半圓空白部分的面積是7.85平方厘米，求陰影部分的面積？（適于六年級程度）解：（1）用歸一法解。先求出右邊扇形圓心角為1°時的面積，再求出陰影部分扇形圓心角度數，然后求出陰影部分面積。7.85÷100=0.0785（平方厘米）180°-100°=80°0.0785×80=6.28（平方厘米）（2）由歸一法解聯想到用倍比法來解。求出圖中陰影扇形圓心角度數是空白扇形圓心角度數的倍數，再根據空白部分的面積7.85平方厘米是陰影部分面積的倍數，然后求出陰影部分的面積。（3）由倍比法解又聯想到用解分數應用題的方法來解。先求出右邊空白扇形圓心角度數是所在半圓圓心角度數的幾分之幾，再求出半圓面積，然后從半圓面積中減去空白部分的面積，就得到陰影面積。設圖中陰影部分面積為x平方厘米答略。（四）由具體到抽象的聯想例車站有貨物45噸，用甲汽車10小時可以運完，用乙汽車15小時可以運完。用兩輛汽車同時運，多少小時可以運完？（適于六年級程度）解：根據具體的工作量、工作效率和工作時間之間的關系有：（1）甲汽車每小時的工作量（工作效率）：45÷10=4.5（噸）（2）乙汽車每小時的工作量（工作效率）：45÷15=3（噸）（3）甲乙兩汽車每小時的工作量（工作效率）的和：4.5+3=7.5（噸）（4）兩輛汽車同時運所需時間：45÷7.5=6（小時）由具體的工作總量、工作效率和工作時間之間的關系，聯想到抽象的工作總量、工作效率和工作時間之間的關系。答略。（五）由部分到整體的聯想例圖28-2是一個機器零件圖，求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）（適于六年級程度）解：圖28-2中陰影部分的面積由四個部分組成，分別求出它們的面積，再求幾個部分面積的和是比較麻煩的。如果把這個圖形經過旋轉和翻折轉化成圖28-3，那么，只要計算出一個邊長是4÷2=2（厘米）的正方形的面積就可以了。答略。（六）由一般到特殊的聯想例前進機器廠，計劃生產2400個機器零件，實際上在前3小時就完成了計劃的40％，照這樣計算，幾小時可以完成任務？（適于六年級程度）解：一般解法是先求出前3小時生產多少個機器零件，再求出平均每小時生產多少個機器零件，然后求出生產2400個機器零件需要的時間。2400÷（2400×40％÷3）=2400÷320=7.5（小時）由一般解法聯想到特殊解法。把計劃生產2400個機器零件需要的時間看作1，由“實際上在前3小時就完成了計劃的40％”可知“3小時”與“40％”正好是對應關系。因此，可直接列出算式：3÷40％=7.5（小時）答略。（七）由一種方法聯想到另一種方法這是指解決某個問題時，由一種方法想到另一些方法的思考方法。例1木材公司運進一批木材，垛成如圖28-4的形狀。已知最底層是102根，以上每層少1根，共有32層，求這些木材共有多少根？（適于六年級程度）解：解這個題，當然可以把32層的32個數加起來，但是太麻煩，應該想一個能反映規律的辦法。觀察它的截面，很容易同等腰梯形發生聯想，梯形有上底、下底和高，于是聯想到借用梯形的面積公式，或者說仿照梯形面積公式找出一個反映規律的公式，問題就可以解決了。（102+71）×32÷2答略。例2某工人原計劃用42天的時間完成一批零件的加工任務，實際前12天就完成了任務的40％，剩下的零件比已完成的多21600個。照這樣的工作效率，可以提前幾天完成任務？（適于六年級程度）解：先用一般解法。求出總任務的個數：21600÷（1-40％-40％）=21600÷20％=108000（個）再求提前完成天數：42-12-[108000×（1-40％）÷（108000×40％÷12）]=30-[64800÷3600]=30-18=12（天）如果運用聯想轉化來解題，就不難發現，在工作效率一定的情況下，工作時間和工作量成正比例關系。也就是說前12天的工作量與總工作量的比率同前12天的工作時間與實際完成的工作時間的比率是一樣的。因此可以由“實際前12天占實際完成任務所需時間的40％”，從而立即求出實際完成任務的天數是：12÷40％=30（天）提前完成任務的天數是：42-30=12（天）答略。剩下的數量正好相等。兩堆煤原來各有多少噸？（適于六年級程度）解：先用一般方法解。先求甲堆煤的噸數。因為兩堆煤剩下的數量正好相等，所以把兩堆煤剩下的數量分別看作1，則甲堆煤原來的數量是：甲堆煤的噸數是：270÷（5+4）×5=270÷9×5=150（噸）乙堆煤的噸數是：270-150=120（噸）此題如果運用聯想法，可獲得簡捷的解題思路。兩堆煤運走后剩下的數量相等，可見甲堆的1份等于乙堆的1份。又已知兩堆煤有270噸，共有（5+4）份，聯想到整數歸一應用題，便可輕而易舉地求出甲堆煤原來的噸數：270÷（5+4）×5=270÷9×5=30×5=150（噸）乙堆煤原有噸數：270÷（5+4）×4=270÷9×4=30×4=120（噸）答略。（八）情境聯想這是指回到問題的情境中去思考問題的方法。例有一個運動場（如圖28-5），兩頭是半圓形，中間是長方形，這個運動場的周長是多少？面積是多少？（適于六年級程度）解：有的同學對圖中的兩個“72米”，要不要作為周長來計算拿不定主意。我們可以聯想在操場或運動場賽跑時的情境，就知道兩個“72米”在賽跑時是不要跑的，因此跑道的長度是：87×2+3.14×72÷2×2=174+226.08=400.08（米）運動場的面積，也可聯想實際情況而正確地算出：答略。（九）因果聯想*例如圖28-6，△ABC是等腰直角三角形，斜邊BC=6cm，求陰影部分的面積（適于六年級程度）解：我們從條件與問題所涉及的角和邊展開聯想：（1）因為△ABC是等腰直角三角形，所以聯想到，∠1=∠2=45°（2）因為AD是斜邊上的高，所以聯想到，（5）因為陰影部分的面積，等于等腰直角三角形面積減去兩個扇形面積，所以得出：9-7.065=1.935（平方厘米）答略。第二十九講直接法解應用題時，不用經過嚴密的邏輯推理，而是憑借已有的知識經驗，迅速地解題，就是在運用直接法。以直接法解題的思維過程是快速縮小問題所涉及的范圍，接觸事物的本質，打開解題的突破口。有些用一般方法解答要用四五步，甚至更多步計算才能求出結果的應用題，用直接法解答時，只用一兩步計算就可以求出結果。學習以直接法解題，可促進思維的靈活性、敏捷性和創造性。（一）憑借數目的特點數進行計算時，一般通過心算就能得出結果。解應用題時，憑借這些數的這種特點，發現題目的本質，就可用簡捷的方法解出復雜的問題。一般解法：6×3=18（天）答略。一般解法：=1（千克）所以瓶里原來有油：例3某校買來一批圖書，放在兩個書櫥中。放在第一個書櫥中的書占這批書的60％。如果從第一個書櫥中取出16本放入第二個書櫥，則兩個書櫥中的書一樣多。問學校買來的這批圖書是多少本？（適于六年級程度）一般解法：16×2÷[60％-（1-60％）]=32÷[60％-40％]=32÷20％=160（本）直接法：16本的對應分率是60％-50％=10％。學校買來的這批圖書是：16÷10％=160（本）答略。（二）憑借量、率對應的關系有些應用題，可憑借直接看出題中哪個數量與哪個分率（“分率”就是不帶單位名稱的分數，是表示它所對應的數量占單位1的幾分之幾。）是相對應的一對數，而用簡捷的方法解答出來。例1一項工程，由甲隊單獨做12天可以完成。甲隊做3天后另有任務調走，余下的工程由乙隊做15天才完成。乙隊單獨完成這項工程要用多少天？（適于六年級程度）一般解法：=20（天）答略。例2織布廠第一、二車間共同織了一批布。第一車間織的布比這批布的60％少400米，第二車間織了這批布的44％。求這批布的長度。（適于六年級程度）一般解法：400÷[60％-（1-44％）]=400÷4％=10000（米）直接法：從“第一車間織的布比這批布的60％少400米，第二車間織了這批布的44％”可以看出，這批布的4％是400米。所以，這批布的長是：400÷4％=10000（米）答略。例3某工廠一月份生產了一批零件。上旬生產了全部零件的30％，中這個工廠一月份生產多少個零件？（適于六年級程度）一般解法：=8000（個）％，下旬生產了50％。還可以看出下旬比中旬多生產30％，這30％正好是2400個。所以，一月份生產的零件個數是：2400÷30％=8000（個）答略。（三）憑借份數的多少有些應用題，可以憑借直接看出題中某個數量的一份或幾份是多少，而用簡捷的方法解答出來。*例1某服裝廠做同樣大小的衣服，上午做了60件，下午做了90件，上午比下午少用布75米。一天用布多少米？（適于四年級程度）一般解法：75÷（90-60）×（90+60）=75÷30×150=375（米）直接法：從上午比下午少做30件，“上午比下午少用布75米”可以看出，每做30件衣服要用布75米。因為上午做2個30件，下午做3個30件，所以一天用布米數是：75×（2+3）=375（米）答略。一般解法：=720（噸）直接法：把總運輸量平均分成3份，已運走2份，還剩下1份，剩下的噸數是：1440÷2=720（噸）答略。一般解法：綜合算式：所以公路的全長是：答略。（四）憑借倍數的多少有些應用題，可憑借直接看出這一數量是另一數量的幾倍或某個數量倍數的變化，而用簡捷的方法解答。例1同時開動3臺功率相同的碾米機，4.5小時碾米4860千克。如果同時開動同樣臺數、同樣規格的碾米機，9小時可以碾米多少千克？（適于四年級程度）一般解法：4860÷4.5÷3×9×3=1080÷3×9×3=360×9×3=9720（千克）直接法：因為碾米機是同時開動，并且效率相同、臺數相同，9小時是4.5小時的2倍，所以9小時碾米的數量是4860千克的2倍。4860×（9÷4.5）=9720（千克）答略。例2某車間原計劃每天生產225個零件，24天完成任務。實際上只用了原計劃時間的一半就完成了任務。實際比原計劃每天多生產多少個零件？（適于四年級程度）一般解法：225×24÷（24÷2）-225=5400÷12-225=450-225=225（個）直接法：零件總數未變，實際生產的天數縮小2倍，每天生產的零件個數是原計劃每天生產個數的2倍，所以，實際每天比原計劃多生產1倍，即225個。答略。例3一項工程，原計劃30天完成，做了3天后，效率提高到原計劃的2倍。問還需要多少天才能完成這項工程？（適于六年級程度）一般解法：設工作總量為1。直接法：因為做了3天后，剩下的工作量用原來的工作效率去做，還需30-3=27（天），現在工作效率提高到原來的2倍，時間就比原來少一半，所以，還需要的天數是：（30-3）÷2=13.5（天）答略。（五）憑借包含多少個的道理有些應用題，可憑借直接看出這一數量中包含多少個另一個數量，而用簡捷的方法解答。例1用長42米、寬1.2米的白布做直角三角巾，三角巾兩條直角邊的長都是1.2米。這塊布可以做多少塊三角巾？（適于五年級程度）一般解法：42×1.2÷（1.2×1.2÷2）=70（塊）直接法：因為布寬1.2米，要做的三角巾的兩條直角邊都長1.2米，所以可把布都疊成邊長是1.2米的正方形，42÷1.2得到正方形的個數。因為邊長是1.2米的一個正方形中，包含兩個兩條直角邊長都是1.2米的三角形，所以把正方形的個數乘以2得到可以做多少塊三角巾。42÷1.2×2=70（塊）例2一本故事書，小明原計劃每天讀25頁，30天讀完。實際每天讀的頁數是原計劃的1.2倍。照這樣計算，這本書可以用多少天讀完？（適于五年級程度）一般解法：25×30÷（25×1.2）=25（天）直接法：把原計劃每天讀的頁數看作1，30天讀的頁數就是30；實際每天讀的頁數是原計劃的1.2倍，則實際每天讀的頁數就是1.2。30中包含多少個1.2，就是實際用多少天讀完。30÷1.2=25（天）答略。例3某工程隊計劃修一條長1600米的公路，前5天修了全長的20％。照這樣計算，修完這條公路還需要多少天？（適于六年級程度）一般解法：1600×（1-20％）÷（1600×20％÷5）=1600×80％÷64=1280÷64=20（天）直接法：前5天修了全長的20％，剩下全長的80％，80％中包含4個20％，自然還需要4個5天。5×4=20（天）答略。（六）憑借平均分的原理解應用題時靈活運用平均分的原理，通過題中某一部分數量，或者通過把已經平均分出去的數量收回來的方法來解題，常常會使問題得到簡捷的解決。例1王師傅要加工一批零件。如果每小時加工21個，8小時可以完成，由于改進加工技術，提前1小時完成任務。實際比原計劃每小時多加工多少個零件？（適于四年級程度）一般解法：21×8÷（8-1）-21=24-21=3（個）直接法：提前1小時完成，就是要用8-1=7（小時）完成加工任務。把按計劃1小時應加工的21個零件平均分配在7小時內，就得