2020年數學中考壓軸題專項訓練：二次函數的綜合

1.如圖，頂點為戶(2,-4)的二次函數尸a/+6盧c的圖象經過原點，點4(m,n)在該

函數圖象上，連接4只OP.

(2)若N4即=90°,求點4的坐標；

(3)若點A關于拋物線的對稱軸的對稱點為C,點/關于y軸的對稱點為D,設拋物線

與x軸的另一交點為伉請解答下列問題：

①當m*4時，試判斷四邊形如3的形狀并說明理由；

②當"V0時，若四邊形必緲的面積為12,求點4的坐標.

解：(1);圖象經過原點，

c=0,

:頂點為戶(2,-4)

???拋物線與x軸另一個交點(4,0),

將(2,-4)和(4,0)代入

.,.a=1,b=-4,

..?二次函數的解析式為-4x；

(2).:4APO=90°,

：.AP±PO,

'.'A(.m,m-4ni),

.5

"2'

?>哆-學；

(3)①由已知可得C(4-依/7),。(-m,〃)，B(4,0),

/.CD//OB,

■:CD=A,08=4,

二四邊形。及力是平行四邊形；

②:四邊形必是平行四邊形，/7<0,

A12=4X(-加，

?"=-3,

?>(1,-3)或4(3,3).

2.在平面直角坐標系中，已知拋物線的圖象經過點C(0,1),當x=2時，

4

函數有最小值.

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線/,y軸，垂足坐標為(0,-1),拋物線的對稱軸與直線/交于點4在x軸

上有一點B,且AB=如,試在直線/上求異于點A的一點Q,使點。在△48C的外接圓

上；

(3)點"(a,6)為拋物線上一動點，點〃為坐標系中一定點，若點戶到直線/的距離

始終等于線段融的長，求定點"的坐標.

解：(1)...圖象經過點C(0,1),

C=1,

.?.對稱軸x=2,

:.k=-1,

???拋物線解析式為y=^~/1;

4

(2)由題意可知力(2,-1),設8(方，0),

,:AB=M，

：.(t-2)2+1=2,

t=1或t=3,

：.B(1,0)或8(3,0),

--B(1,0)時，AB、C三點共線，舍去，

：.B(3,0),

-AC=2\p2,,BC=7If),

:./BAc=qy,

.?.△腕為直角三角形，8C為外接圓的直徑，外接圓的圓心為8c的中點4-1),半

徑為畫，

2—

設。(X,-1),則有(X--|)2+亨1)2=(零)2,

???X=1或x=2(舍去)，

「.0(1,-1)；

(3)設頂點"(?心VP(a,6)為拋物線上一動點，

12

:?b=-a-/1,

4

??."到直線/的距離等于以/,

/.(/77-a)2+("-b)2=(ZH-1)2,

(2/7-2/77^2)>-2/7-3)=0,

2

??.3為任意值上述等式均成立，

2+2n-2m=0

??產，

(m=2

此時m+n-2/7-3=0,

..?定點〃(2,1).

3.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于48兩點，與y軸交

于點C,已知宓=2代，tanN080=玄

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,若點。是直線宛上方的拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線交直線

8c于點。，作PEL8c于點、E,當點戶的橫坐標為2時，求△吟的面積；

（3）若點"為拋物線上的一個動點，以點〃為圓心，灰為半徑作（DM當。〃在運動過

程中與直線8c相切時，求點M的坐標（請直接寫出答案）.

解：(1),:BX2代tan

：.0B=4,00=2,

，點8為(4,0),點C為(0,2)代入戶。中,

c-2,b=~~,

2

?

..y_---1X2+,-3x+2Q；

22

(2)當x=2時，y=3,

:.P(2,3),

YB(4,0),C(0,2),

，直線8c的解析式為y=-獷2,

:勿平行于y軸,

：.D(2,1),

：.PD^2,

；須平行于y軸，

APDE=NOCB,

■：PE±BC,

:.NPEg/coB=qy,

：.^PDE^/\BCO,

J.△嚕與△SCO的面積之比是對應邊PD與8c的平方，

???△8C0的面積為4,

，△煙的面積是4X

(3)過點"作MGLBC干點、G,過點“作MH〃AB于■煎H,

.MHBC_后

一而a3,

??.O"與直線8c相切，

:.M45,

設點M（x,--1-x+-1-x+2）,

如圖1,設〃（戶5,-多及）代入y=--^?/2,

?”=-1或x=5,

A4/（-1,0）或"（5,-3）；

如圖2,點“（X-5,-yA-^-A+2）代入y=-//2,

?..方程無解，

綜上所述："（7,0）或"（5,-3）.

4.如圖，拋物線y=a/+(4a-1)x-4與x軸交于點48,與jz軸交于點C,旦0X20B,

點。為線段/上一動點(不與點8重合)，過點。作矩形好"，點〃、尸在拋物線上，點

￡在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當矩形期/的周長最大時，求矩形的的面積；

(3)在(2)的條件下，矩形DEFH不動,將拋物線沿著x軸向左平移m個單位，拋物線

與矩形曲/的邊交于點〃、N,連接欣N.若帆恰好平分矩形。十”的面積，求m的值.

解：(1)在拋物線/=@必+(4a-1)x-4中,

當x=0時，y=-4,

：.C(0,-4),

：.0X4、

?：OC=2OB,

：.OB=2、

：.B(2,0),

將8(2,0)代入y=a/+(4a-1)x-4,

得，a=~2

拋物線的解析式為y=lx2+x-4；

(2)設點。坐標為(x,0),

???四邊形際/為矩形,

:,H(x,/x+x-4),

??j=#+x-4=/(A+1)2-y,

?..拋物線對稱軸為x=-1,

...點〃到對稱軸的距離為戶1,

由對稱性可知DE=F42/2、

，矩形田7/的周長/2(2A+2)+2(-■1y-x+4)=-x+2^2=-(x-1)2+13,

...當x=1時，矩形田7/周長取最大值13,

此時//(1,-1?),

5

:.HF=2K2=4,04臺

5

?0?S矩形DEFH-HF，DH=4X—=10；

(3)如圖，連接EH,DF,設曰/與灰交于點G,

過點G作仍的平行線，交ED干M,交所于點乂則直線腑將矩形9/的面積分成相

等的兩半,

由⑵知，拋物線對稱軸為x=-1,〃(1,--1),

勺，

設直線班的解析式為y=kKb,

將點8(2,0),H(1,--1)代入,

2k+b=0

得，＜5,

k+b='T

解得，，k=7,

b=-5

..?直線的的解析式為y=-|x-5,

???可設直線利的解析式為/=%〃,

將點(7,-§)代入，得〃=?,

44

..?直線制的解析式為y=4^4>

24

當y=0時，x=--j-,

:.M(-0),

■：B(2,0),

將拋物線沿著x軸向左平移卷個單位，拋物線與矩形。的邊交于點隊N,連接欣

N,則例恰好平分矩形。斤7/的面積，

5.如圖1,在平面直角坐標系中，已知直線/,：y=-盧6與直線/?相交于點A,與x軸相

交于點8,與y軸相交于點C,拋物線y=a》+6/c(a豐0)經過點0、點力和點8,已知

點4到x軸的距離等于2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點，為直線右上方拋物線上一動點，當點〃到/?的距離最大時，求點，的坐標；

(3)如圖2,。為射線》的一個動點，點戶從點。出發，沿著"方向以每秒、而個單位

長度的速度移動，以■。為邊在"的上方作正方形“神，設正方形此物V與重疊的

面積為S,設移動時間為1秒，直接寫出S與1之間的函數關系式.

???點/的縱坐標為2,

「.2=-A+6,

.,.x=4,

「J(4,2),

當y=0時，-2~6=0,

??x=6,

:.B(6,0),

16a+4b+c=2

把》(4,2),B(6,0),0(0,0)代入尸得，36a+6b+c=0,

.c=0

'一1

解得：\,

14

拋物線的解析式為y=-N+當；

42

(2)設直線。的解析式為尸公，

???2=4上

??.直線/2的解析式為y=^x,

設點，的坐標為(m,-?+*),

如圖1,過，作HG〃/軸交直線/2于G,

G(ot,ni),

HG^—^-ni+—fn——ot———■?/+z?z———(ot-2)+1,

42244

當m=2時，HG有最大值，

，點〃的坐標為（2,2）；

（3）當0＜。＜匏，如圖2,過4作/￡L必于￡,

0A=442+22=tanNAOE=

YNMV』/80?=90°,

AHON=NAOE,

.'.tanZM2//=tanZ＞40￡=^^-=—,

ON2

■.?04ON^N4PM=A，

：.NH=NM=^-t,

s=/x嗎＞后t）倔=學&

當■|vt《2時，過點戶作ZW，x軸，

'：』P0H=/QON,0p=合,

：.0P=0N=NM=PM=代務

：.NQ=&.t,

可求P（2t,t）,

直線心的解析式為y=-2/5大

：.G（5t-6,-5f+12）,

.-.GP=3y[s（2-t）,AP=2匹-炳t,

：.MG^6辰-3后t,

?：NMGK=AAGP,

:.XGPAsXGKM、

：.加/（=^^~1：-2屆,

3

-'-5=（V5t）2-yxV5tx2^t-lx（羋—遙）x（6代-3疝）=-

乙乙乙J

115,

上士F+40t-30；

12

當2VtW多寸，可求4（-t,2t）,

則直線函的解析式為尸#

：.K(4-—t,—t+2),

33

,:NQ=

?0-0(0,t),

s=(V5t)2--1xV5tx^-fx（逐一2門+冬1^-2遙）X辰t=-

—t2+10t；

12

6.如圖1,小明用一張邊長為6cm的正方形硬紙板設計一個無蓋的長方體紙盒，從四個角

各剪去一個邊長為*助的正方形，再折成如圖2所示的無蓋紙盒，記它的容積為yew.

(1)y關于x的函數表達式是y=4f-24M+36x,自變量x的取值范圍是0<x<3；

(2)為探究y隨x的變化規律，小明類比二次函數進行了如下探究：

①列表：請你補充表格中的數據：

x00.511.522.53

y012.51613.58.2.50

②描點：把上表中各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中(如圖3)描出相應的

占?

，、、、，

③連線：用光滑的曲線順次連結各點.

(3)利用函數圖象解決：若該紙盒的容積超過12加，估計正方形邊長x的取值范圍.(保

留一位小數)

解：⑴y=x(6-2x)2

=4?-24X2+36X(0<X<3),

故答案為：y=4/-24f+36x,0<x<3；

(2)①在y=4x3-24f+36x中，

當x=1時，y=16；當x=2時，y—8,

故答案為：16,8；

②如圖1所示,

③如圖2所示,

(3)由函數圖象可以看出，若該紙盒的容積超過124,正方形邊長x的取值范圍大概

為0.4WxW1.7.

7.定義：若函數/=寸+—+￡；(c片0)與x軸的交點48的橫坐標為4,xB,與y軸交點的

縱坐標為及，若與x&中至少存在一個值，滿足/=%(或為=必)，則稱該函數為友好

函數.如圖，函數y=/+2x-3與*軸的一個交點力的橫坐標為3,與y軸交點C的縱坐

標為-3,滿足4=%，稱v=?+2x-3為友好函數.

(1)判斷y=f-4/3是否為友好函數，并說明理由；

(2)請探究友好函數y=/+6廣。表達式中的6與c之間的關系；

(3)若是友好函數，且NX必為銳角，求c的取值范圍.

解：（1）y=W-4x+3是友好函數，理由如下：

當*=0時，y=3；當y=0時，x=1或3,

.?.y=f-4/3與x軸一個交點的橫坐標和與y軸交點的縱坐標都是3,

.'-y=x-4A+3是友好函數；

（2）當x=0時，y=c,即與y軸交點的縱坐標為c,

y=X+bx^c是友好函數，

，x=c時，y=0,即（c,0）在J/=*2+6;<+C上，

代入得：0=。2+6>。，

/.0=c（c+>1）,

而c#=0,

b^c——1；

（3）①如圖1,當。在y軸負半軸上時，

由（2）可得：c=-6-1,即y=f+6x-6-1,

顯然當x=1時，y=0,

即與x軸的一個交點為（1,0）,

則N〃Z7=45。，

，只需滿足N&;0<45°,BPB0<C0

eV-1；

②如圖2,當。在y軸正半軸上，且力與8不重合時,

...顯然都滿足為銳角，

c>0,且c：#1；

③當C與原點重合時，不符合題意,

(1)求證：拋物線與x軸有兩個交點.

(2)設拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x,,x2(其中x,>x2).若t是關于a

的函數、且t=2々-不，求這個函數的表達式；

(3)若a=1,將拋物線向上平移一個單位后與x軸交于點4B.平移后如圖所示，過《

作直線4C,分別交y的正半軸于點戶和拋物線于點C,且“占1.〃是線段/C上一動點，

求2的例?的最小值.

(1)證明：△=/>2-4a6=[-3(a-1)]2-4a(2a-6)=a?+6>9=(尹3)2,

；a>。,

(K3)2>0,

???拋物線與x軸有兩個交點；

(2)解：令y=0,則“-3(a-1)A+23-6=0,

，x=3(a-l)±(a+3)=2或]R,

2aa

va>0,

1--<C1§,M>*2,

??*1=2,x2=1

3

t=ax9-xi=a(l--)-2,

t—a-5；

(3)解：當石=1時，則｝=寸-4,

向上平移一個單位得3,

令y=0,則W-3=0,

得x二士在，

0),B(M，0),

\'OP=\,

???直線AC：y=Xr-x+l?

o

聯立:卜r近3'+?,

2

Ly=x-3

*=-百■

解得，

丫1=0

即0),

--AO^^/3>

在RtZ\47Q中,

KQ2<)P2=2'

過C作軸，過的作能，翻于G,過。作C〃_Lx軸于”,

;av〃x軸，

：.AGCM=APAO,

又,：/A0P=aCG49Q0,

：.^AOP^/\CGM,

.OP=GM=1

''AP_CM

???2MB+MC=2=2(MBMM),

??,8至IJC〃最小距離為CH,

7

???階6漱的最小值為67/的長度5，

o

1A

r.2僻儀的最小值為寺.

9.如圖，拋物線M=a/+c的頂點為K且拋物線與直線力=左什1相交于48兩點，且點

?在x軸上，點8的坐標為(2,3),連結4ABM.

(1)a=1,c=-1,k—1(直接寫出結果)；

(2)當必＜%時，則x的取值范圍為-1VxV2(直接寫出結果)；

(3)在直線羔下方的拋物線上是否存在一點。，使得△?!妙的面積最大？若存在，求出

△48戶的最大面積及點P坐標.

解：(1)將點8的坐標(2,3)代入外=1得:

3=2A+1

解得：k—y

J^=A+1

=0

令y2得：0=/1

解得：x=-1

.\A(-1,0)

將4(-1,0)、B(2,3)代入乂=#+c得：

f0=a+c

\3=4a+c

解得：a=1,c=-1

故答案為：1,-1,1；

(2)U：A(-1,0)、B(2,3)

??.結合圖象可得：當時，則x的取值范圍為-1VxV2

故答案為：-1VxV2；

(3)在直線48下方的拋物線上存在一點只使得△48。的面積最大.

如圖，設平行于直線出=/1的直線解析式為：治=/。

2

y2=x-lz

由?J得：F-1=x+b

y3=x+b

-x-1-b=0

令△=()得：1-4(-1-Z?)=0

解得：b=-?

c

?-x-x-1+—=0

4

解得：X]=X2=J-

?p(A_3)

2,4，

???當點夕坐標為弓，--1)時，"酎的面積最大

設/=x-3與X軸交于點C,則點C坐標為：鳥0),過點C作物四

44

由平行線間的距離處處相等，可知線段切的長度即為△/lb0的高的長度

?%=/1與X軸所成銳角為45°

.△”?為等腰直角三角形

■AC^--(-1)=—

44

五匹8

-A(-1,0)、B(2,3)

?1-AB=V(2+1)2+32=3&

???△我的面積為：3<3亞<2坐=三

288

???在直線48下方的拋物線上存在一點匕使得△力加的面積最大;△力的的最大面積為三;

O

10.如圖，在平面直角坐標系-中，一次函數/=看*-2的圖象分別交X、y軸于點4B,拋

物線戶c經過點48,點夕為第四象限內拋物線上的一個動點.

(1)求此拋物線對應的函數表達式；

(2)如圖1所示，過點P作初〃j軸，分別交直線力8x軸于點C、D,若以點P、B、C

為頂點的三角形與以點AC、〃為頂點的三角形相似，求點戶的坐標;

(3)如圖2所示，過點尸作于點。，連接戶8,當△陽。中有某個角的度數等于N

以8度數的2倍時，請直接寫出點戶的橫坐標.

解：⑴令x=0,得y=/x-2=-2,則8(0,-2),

令y=0,得0=千-2,解得x=4,則/I(4,0),

把4(4,0),B(0,-2)代入y=/+6/c(a中0)中，得:16+4b+c=0

c=-2

b=

解得：T,

c=~2

拋物線的解析式為：尸寸-裊-2；

(2)???加〃y軸,

/.ZADC=9Q°,

'//ACD=/BCP,

???以點/、B、C為頂點的三角形與以點4C、。為頂點的三角形相似，存在兩種情況:

①當NC/=90°時，如圖1,過P作々ky軸于乂

ZAB（hZPBN=ZABOZOAB=90°,

：.4PBN=/OAB,

Y4AOB=,

:,△AOBSRBNP、

-4

...坦0_,即27~=—,

BNPN-2-（x7x-2）x

解得：毛=0（舍），*2=卷

（方-5）；

②當NC%=90°時，如圖2,則8和0是對稱點,

當y=一2時，x--^-x-2=-2,

7

毛=0（舍），x2=—,

-2）;

綜上，點/的坐標是（"I，-5）或（J-2）；

（3）-：OA=A,08=2,NAOB=90°,

:BOA*45°,

NBQP*2/B0A,

???分兩種情況：

①當NQW=2N"8時，如圖3,取四的中點￡連接作，過夕作軸于G,交直線

：./OAB=/AOE,

???N0EB=2/OAB=ZPBQ.

'：OB//PG.

，40BE=4PHB,

:.△BOESRHPB、

.OB_BE

"PH"BH1

由勾股定理得：彳8=*7的=2為其

：?BE=

,/GH//OB,

.OGBH日口x_BH

.前次，BP7W

設。(x,x-~^x~2),則〃(x,x-2),

17

:、PH=—x-2-(x2-----x-2)=-V+4x

22

2二遍

-x2+4x^5，

2

解得：*1=0,*2=3,

..?點戶的橫坐標是3；

②當NBP0=2N0AB鴕,如圖4,取四的,中點E,連接0E,過戶作QG_Lx軸于G,交直

線AB于H,過。作OF1.于F,連接AP,則NBPgZOEF,

圖4:

I

設點戶(大，t2-yt-2),51IJH(t,t-2),

17

：.PH=—t-2-(t2-—1-2)=-t2+4t,

22

\'0B=4,00=2,

：?BC=2yf^,

.?.OE=BE=CE=E0'=0A?0B=卷篝_=^^

aBC2遙5

EF=JOE2"OF2T(1)2-(普)2=等，

z町=/AB?PQ=/PH?OA,

：.2向0=4(-t2+4t),

9

P0=

V5

?：20FE=/PQB=9Q",

：./\PBQ^/\EOF,

-2t2+8t3^5

.PQEF即屈__T__3

.BQ-0F，~BQ~~"4>/5-I

-8t2+32t

:.BQ=

3V5

?:B@+pG=pg、

.z-8t2+32ts2,/-2t2+8ts2-.2/27n,n\2

■,(3V5)+L7F-)t+(t-yt-2+2)'

44#-388tt'803=0,

(2t-11)(221-73)=0,

解得：t,=5.5(舍)，t2=-^|；

綜上，存在點兒使得△在8。中有某個角的度數等于N以8度數的2倍時，其戶點的橫坐

標為3或1最

22

11.如圖，拋物線尸“+取->|■過點4(-次，0)和點8(料，2),連結力8交y軸于點

C.

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)點尸在線段48下方的拋物線上運動，連結AP,BP.設點。的橫坐標為m,XABP

的面積為s.

①求s與〃的函數關系式；

②當s取最大值時，拋物線上是否存在點。，使得S*m=s.若存在，求點。的坐標；若

不存在，說明理由.

備用圖

解：(1)將點4(-V310)和點8(次，2)代入尸a/+6x-，

3a-V3b-y=0

得，，

|3a+73b-y=2

(2)①設直線48的解析式為/6,

將點力(-V3.0)，8(如，2)代入，

-V3k+b=0

得,

V3k+b=2

解得，4=返，6=1,

3_

二直線四的解析式為尸返戶1,

3

如圖1,過點戶作X軸的垂線，交于點K

s=-^-PM（x§一x）

=/x（-^■裾+搟）X（

=_』迎

22

...S與勿的函數關系式為S=-國+盟2；

22

②在s=-叵"冬巨中，

22

當m=0時，s取最大值3返,

2

."(0,-同

：.CP^—,

2

???可使直線48向上平移3個單位長度，得直線/=乂3/4,

3

請補充完整.

(1)自變量X的取值范圍是全體實數，X與JZ的幾組對應值列表如下：其中，x0

X...-35-2-1012_53...

~2

y......3§m-10-105_3...

17

(2)根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，已畫出了函數圖象的一部分,

請畫出該函數圖象的另一部分；

(3)觀察函數圖象，寫出一條函數的性質：圖象關于y軸對稱(答案不唯一)；

(4)觀察函數圖象發現：若關于x的方程/-2|x|=a有4個實數根，則a的取值范圍

故答案為：0.

(2)根據給定的表格中數據描點畫出圖形，如圖所示.

(3)觀察函數圖象，可得出：①函數圖象關于y軸對稱，②當x>1時，y隨x的增大而

增大，③函數有最小值-1.

故答案為：圖象關于y軸對稱(答案不唯一)；

(4)由函數圖象知：..?關于x的方程必-2|*|=^有4個實數根，

的取值范圍是-1<aV-0,

故答案為：-1Va<0.

13.如圖，已知拋物線尸必”^經過4(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點戶是對稱軸上的一個動點，當的周長最小時，直接寫出點戶的坐標和周長

最小值；

(3)為拋物線上一點，若易的=8,求出此時點。的坐標.

解：(1)二.拋物線y=x2+b/c經過力(-1,0)、B(3,0)兩點,

.(l-b+c=0

19+3b+c=0

解得上2,

Ic=-3

..?拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

(2)連接8c交拋物線的對稱軸與點尺

y=x-2x-3,

：.C(0,-3),

..,點A與點8關于x=-對稱，

：.PA=PB.

:.A丹PXCRPB.

...當點戶、C、8在一條直線上時，/對PC有最小值.

又.:8C為定值，

，當點夕、C、8在一條直線上時，△4%的周長最小.

BG^V32+32~3V2,AX112+§2=y^,

???△月4。的周長最小值為：47*■仇=百五3匹,

設直線BC的解析式為y=k/b,貝IJJ衣+b=0,

(b=-3

解得：k=\,b=-3.

???直線制的解析式為y=x-3.

將x=1代入y=x-3得：y--2,

...點戶的坐標為(1,-2),

即當點P的坐標為(1,-2)時，△2IC的周長最小.最小值為。好3加；

(3)設。(*,y),則/%=/1加3=23=8,

'''\y\=4,

.'.y=±4.

①當y=4時，X2-2X-3=4,解得：x、=l-2近,x?=1+2近,

此時。點坐標為(1-272.4)或(1+272,4)；

②當y=-4時，-2x-3=-4,解得*3=%=1；

此時。點的坐標為(1,-4)；

綜上所述，。點坐標為(1-272,4)或(1+272.4)或(1,-4).

14.如圖，直線y=-與x軸交于點B,與y軸交于點D,拋物線y=-f+b/c與直線y

=-A+5交于8,。兩點，點C是拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點的是直線能上方拋物線上的一個動點，其橫坐標為創過點”作x軸的垂線，交

直線劭于點兒當線段戶附的長度最大時，求〃的值及融的最大值；

(3)在拋物線上是否存在異于8、。的點。，使△放。中做邊上的高為3&,若存在求

出點。的坐標；若不存在請說明理由.

故點反。的坐標分別為(5,0)、(0,5),

則二次函數表達式為：y=-將點8坐標代入上式并解得：6=4,

故拋物線的表達式為：y=-X+4A+5；

（2）設〃點橫坐標為加（加＞0）,則戶（m,-m5）,M（/77,-射+4/5）,

PM=-Z+4m5-（-/5）=-海+5勿=-（m-—）?+,

24

?二當勿=個時，夕加有最大值

（3）如圖，過。作0G〃y軸交放于點G,交x軸于點￡,悴QH1BD千H,

設0(x,-?+4/5),貝I]G(x,-A+5),

OG=|-x+4x+5-(-A+5)|=|-x+5x|,

???△80，是等腰直角三角形，

:?NDBg450,

：?4HGQ=/BGE=45°,

當△8ZM中劭邊上的高為3&0寸，即QH=HG=3版,

?R4&X3&=6,

|-/+5x|=6,

當一寸+5x=6時，解得x=2或x=3,

:?Q(2,9)或(3,8),

當-X2+5X=-6時，解得X--1或x=6,

：,Q(-1,0)或(6,-7),

綜上可知存在滿足條件的點。，其坐標為4(2,9),02(3,8),4(-1,0),04(4,

-5).

15.如圖1,在平面直角坐標系中，二次函數"=2必”戶上的圖象與X軸交于8(-1,0)、

2

C(3,0)兩點，點4為拋物線的頂點，尸為線段4C中點.

(1)求a,6的值；

(2)求證：BFLAC.

(3)以拋物線的頂點4為圓心，4尸為半徑作。4點F是圓上一動點，點戶為￡C的中點

(如圖2)

①當面積最大時，求多的長度；

②若點"為妙的中點，求點"運動的路徑長.

解：(1)拋物線的表達式為：y=a(A+1)(x-3)=a(x2-2x-3),

即-3a=2返，解得：a=-返，

22

拋物線的表達式為：y=-&舟晅

22

故。=火；

(2)點力的坐標為：(1,2次)，

則48=48=m=4,點尸是4C的中點，AF^AO=2,

:.BFLAC；

(3)點C(3,0),點8(-1,0),

設點E(m,ri),

由4￡=2,根據兩點間距離公式得：(m-1)2+(〃-2畬)2=4…①,

則點戶（野，料點附（野，亍），

設：*=里與貝U/=4x-1,n=4y,即點"（x,y）,

44

將m、〃的值代入①式得：（4x-1），（4y-2百）2=4,

整理得：（x-二）2+（y-返）2=二，

424

即點M到定點（義，返）的距離等于定值

422

故點"運動的軌跡為半徑為4■的圓，

則點〃運動的路徑長為（5）2n=2.

2020年數學中考壓軸題專項訓練：圓的綜合

1.如圖，點。為Rt△四C斜邊上的一點，NC=9Q°,以"為半徑的。。與宓交于點伉

與AC交于點E,連接4。且47平分NBAC.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)若N班/60°,OA=2,求陰影部分的面積(結果保留n)

F0平分N84C,

：./BAA/DAC,

?：AO=DO,

：.4BAD=/ADO,

：.ACAD=Z.ADO,

：.AC//OD,

?：AACD=9Q°,

ODA.BC,

，8C與,。0相切；

⑵解：連接叫ED,

ZBAC=6Q°,OE=OA,

??.△"E為等邊三角形，

.'.ZAOE=60°,

AZADE=30°,

又..'N%g/Nfi4C1=30°,

:.NADE=NOAD,

：.ED//AO,

..?四邊形"。是菱形，

：.OE1.AD,且AM=DM,EM=OM,

彳/花。=5sAAODi

???陰影部分的面積=s扇形眥=處一七吸二口.

3603

2.如圖，已知48是。。的直徑，4C是。。的弦，點￡在。。外，連接C￡,NX州的平分線

交。。于點D.

(1)若NBCE=NBAC,求證：C￡是。。的切線；

(2)若"。=4,80=3,求弦47的長.

(1)證明：連接OC,

??.48是。。的直徑，

??.N4綣=90°,

???N4?/N&?0=90°,

'：OA=OC,

NOAC=ZOCA,

V/BAg4BCE、」

???4ACO=ZBCE,

：?/BC曰■/BCO=9G,

：.ZOCE=90°,

二優是。。的切線；

(2)解：連接劭，

???N/I笫的平分線交。。于點D,

4ACD=/BCD,

"'-AD=BD>

AD=BD,

?.Y8是。。的直徑，

:.NADB=%0°,

..?△力。8是等腰直角三角形，

：.AB=^[^D=4M，

,:BX3,

-'-AC=VAB2-BC2=V(4V2)2-32=V29-

3.如圖，是。。的直徑，平分/謝尸，交。。于點￡過點￡作直線切，〃；交力尸的

延長線于點D,交的延長線于點C.

(1)求證：3是。。的切線；

(2)NQ45°,。。的半徑為2,求陰影部分面積.

(1)證明：連接。￡

\'OA=OE,

/.NOAE=ZOEA,

又Y/DAE=NOAE,

OEA=/DAE,

：.0E//AD.

：.NADC=/OEC,

,:ADICD,

：,ZADC=9Q°,

故N龐C=90。.

/.OE-LCD,

???切是。。的切線；

(2)解：???NS=45°,

???△0比是等腰直角三角形,

：,CE=0E=2,/建=45°,

???陰影部分面積=S△族-S扇形薇X2X2-45?兀X22=2-2Lt

23602

4.如圖①，8C是。。的直徑，點4在。。上，4〃8c垂足為0,弧〃■二弧/團分別交

AD、4;于點尸、G.

5

4f

圖①圖②

(1)判斷476的形狀，并說明理由；

(2)如圖②若點￡與點力在直徑宓的兩側，BE、4c的延長線交于點G,初的延長線交

BE干息F,其余條件不變(1)中的結論還成立嗎？請說明理由.

(3)在(2)的條件下，若8G=26,DF=5,求。0的直徑8c.

解：(1)△7G等腰三角形；

理由：為直徑，

：.ZBAC=90°,

：?/AB3/AGB=9。。,

'：AD1.BG,

/.ZADC=9Q°,

：?/ACKNDAC=9C,

??.弧〃^弧力昆

???/ABE=4ACD,

：、￡DAC=/AGB、

，FA=FG、

???△7G是等腰三角形；

(2)成立；

???8C為直徑，

NBAC=90°

???N48日■N4G8=90°

YADLBC,

：.ZADC=90°,

:?NACM/DAC=M,

???弧府=弧他

4ABE=4ACD,

：.^DAC=Z.AGB,

：.FA=FG,

...△RIG是等腰三角形；

(3)由(2)知NDAC=NAGB,

且/班多/，仁90°,NAB命NAGB=9Q°,

：.NBAD=4ABG,

：.AF=BF,

又.：AF=FG,

."為8G的中點

?..△盟G為直角三角形，

：.AF=BF=—BG=\3,

2

-：DF=5,

.-.AD=AF-DF=13-5=8,

...在Rt△故尸中，BD=V132-52=12，

...在Rt△砌中，^=V122+82=4^.

NABC=2DBA,NBAC=NADB=90°

：.iXABC^!\DBA,

.BC=AB

''BA-DB*

.BC_4/l3

"477312'

：.BC=—,

3

的直徑止=%.

3

5.如圖，已知矩形4仇力的邊48=6,BC=4,點、P、。分別是8c邊上的動點.

(1)連接加、PQ,以a。為直徑的。。交〃于點￡

①若點E恰好是第的中點，則NQPB與N/0"的數量關系是/QPB=22AQP；

②若8￡=灰―3,求加的長；

(2)已知為0=3,80=],。。是以"。為弦的圓.

①若圓心。恰好在州邊的延長線上，求。。的半徑；

②若。。與矩形力仇沙的一邊相切，求。。的半徑.

解：(1)①??.點￡恰好是4。的中點，NA8g90：

：.BE=AE=EQ,

：.ZEAB=ZEBA,

:.NQEB=2/EBP,

???以戶。為直徑的。。交加于點E,

：.ZOPB=ZQEB,APBE=Z.POA,

:./QPB=24AQP、

故答案為：』QPB=2/AQP；

②)YBE=BQ,

：.ZBEgNBOE,且ZBPgNBEO,

：.ABPQ=^BQE,

tanNBPgtanZBPO,

.ABBQ

"BQ"BP'

.23

■"3"BP"

:.BP=—

2

(2)①如圖1,過點。作OE±PQ,

:.BP=3,

PO=VPB2+BQ2=V9+I=Vib?

?：0E1PQ,

；.QE=PE=^^~,

2

?.F。5/戶比=氈=密,

PQOQ

,1叵

/.00=5,

的半徑為5；

②如圖2,若。。與8c相切于點0,連接0。，過點。作如，戶。于￡,

2

..?%是。。切線,

001.BC,aABI.BC,

：.OO//AB,

：.ZOQP/BPQ、

cosZOOP^cosZBPO,

.QEPB

"OQW

VIo

3

OQ-VIo

：?00=力

如圖3,若。。與絲相切于點夕，連接“;過點。作如，戶。于￡,

..Y8是。。切線，

.-.OP±AB,S.AB±BC,

：.OP//BC,

：.』OPQ=/PQB、

.".cosNOPQ=cosNPOB,

.PEBQ

"OP'PQ

VIo

，亍二1,

OP二尺

，0—5；

如圖4,若。。與初相切于點叫連接的00,0P,延長觥7交仇?于尸，悴OH'AB千H

點，

「?0F1.BC,

■:4A=4B=4AMg40FB=/0HB=9C,

???四邊形OHBF是矩形,

：.OM=AH,OH=BF,

,：O6=OF+F",游=麻+印，

：?0?=（6-00）2+（8尸-1）2,4=8產+（例-3）2,

?m2臟

3

若圖5,若。。與3相切于點乂連接物00,OP,延長NO交BC干E,悴OHLBC千H

同理可得：游=戶冉便，兇=M+而，

：.Od=(3-OH)2+(4-00)2,0(^=0/7+(4-00-1)2,

：?0g