工程流體力學的計算方法CFD基礎第一頁，共29頁。§13.1代數方程的牛頓迭代法

牛頓迭代法用于求解超越方程

的根，在曲線

上取一點求顯然是方程的一個比更精確的解，重復以上計算可以得到任意精確的解。第二頁，共29頁。例：水從池中經管道流出，已知管長

沿程阻力損失系數局部阻力損失系數,水徑設計流量試求管徑d解：列水面和管道出口截面的伯努利方程：代入數據化簡得：令

則上式化為：

選作為初值

經3次迭代后得

誤差小于

因此取

退出第三頁，共29頁。§13.2差分法解析函數

可以在點

領域展開成泰勒級數

設有

三個差分節點，

其坐標為

設函數在這三個節點的值為：

設節點間距為

則有泰勒展開式①

②

退出第四頁，共29頁。則有

③

一階導數向后差分式④

一階導數向前差分式可見

具有

的一階精度①②上述兩式相減則有：

⑤

①②上述兩式相加則有：

⑥

對于形如

的微分方程也可以求出y的泰勒展開式退出第五頁，共29頁。兩式相減得：可見：

具有三階精度。退出第六頁，共29頁。在平面勢流中，流函數和速度勢函數均滿足拉普拉斯方程：現將計算區域分成若干網格，每個網格的邊長都是

，節點

簡記為其二階導數可以用式⑥近似表示，則拉普拉斯的差分式為：

令

則：

⑦

第七頁，共29頁。

對每個網格節點都建立形如上式的差分方程，就得到各節點的流函數的代數方程組，給出邊界條件，用迭代法可求出其數值解。例：水在兩平板間流動，上板壁的滲透速度v0=1m/s下壁不可滲透，入口和出口速度均勻分布，分別為u1=3m/s和u2=1m/s和，設板長h=3m寬h=1.5m將長和寬分成3等份：

退出第八頁，共29頁。①下壁面是一條流線，取其流函數為零，即

②左邊入口處：

因而

同理

③右邊出口處：

④在上壁面，

退出第九頁，共29頁。各節點的代數方程，

由⑦式得：

點（2，2）

點（2，3）

點（3，2）

點（3，3）

退出上面4方程可用矩陣表示：

-104104-100110-104014-10第十頁，共29頁。利用高斯法解此線性方程組得：

于是各節點的流函數的數值為：

4.503.502.501.503.002.331.671.001.501.170.830.500.000.000.000.00※流函數的物理意義：平面流動中，流過兩條流線間任一曲線的體積流量（單位厚度）等于兩條流函數之差。退出第十一頁，共29頁。§13.3特征線法

特征線法用于求解一維非定常可壓縮流動問題的數值解，水擊壓力波在管道內的傳播，高速列車進入隧道時所產生的壓力波的傳播，都屬于這種流動。

圓截面中可壓縮粘性的非定常流動的運動微分方程：①

管壁粘性摩擦應力

可以用沿程阻力損失系數

表示：

②

②代入①得：

③

退出第十二頁，共29頁。連續性方程：

④

壓力波的傳播速度：

音波（微壓波）

水擊波：

D：管道直徑E：流體體積彈性系數E固：管壁材料的彈性模量δ：管壁厚度ρ：流體密度水擊波的傳播速度C=1200～1400m/s

退出第十三頁，共29頁。這樣連續性方程可改寫成:

③，⑤兩式相加，減得：

如果：

則：

如果：

則：

退出第十四頁，共29頁。表示一條x–t的關系曲線，記作C+，稱為特征曲線C+。同樣

稱為特征線C－。這樣⑥⑦式可以寫成：

沿特征線C+：⑧

沿特征線C－：⑨

退出第十五頁，共29頁。下面用特征線法研究水擊波和隧道壓力波問題

1.水擊波

水擊波傳播速度C=1200～1400m/s，遠大于水速度u，因此，特征線方程可以寫成：

沿C+：⑽

沿C－：⑾

設管長為L，管壁為D，截面

管內流速為u，閥門過流截面A隨時間而變，過流速為V，V>u

退出第十六頁，共29頁。在初始時刻（t=0），管道定常出流，根據伯努利方程：

此時，管流速度為定常出流速度，記作u0

距管道入口x的截面上壓強水頭

的伯努利方程：

即：壓強水頭h沿x的分布為：

退出第十七頁，共29頁。當t>0時，管道入口的壓強水頭恒為h0即在閥門處，V和h的關系：

此時管內流速u：

取L為特征長度，h0為特征水頭，u0取為特征速度，L0/C特征時間將式⑧⑨⑩⑾⑿寫成無量綱的形式：又

沿C+：⒀

沿C－：⒁

式中：沿（邊界條件：）

退出第十八頁，共29頁。初始條件：

邊界條件：

⒂

（初始條件：）

目的是要計算出管道每一截面處的流動參數從時刻t=0到t=T任一時間里的變化值。

將管長L分為N等分，

即無量綱的空間步長

時間步長與空間步長相等

退出第十九頁，共29頁。計算x–t圖上的網絡如上圖所示。

如果

時刻管軸上每一個節點

的流動參數u，h已經算出，利用特征線方程就可以計算下一時刻

各個節點

的流動參數

將時刻

的節點（i+1，j）記為P，過P作特征線C+和C－必通過節點和（i，j-1）（i-1，j）和（i，j-1）分別記為W和E退出第二十頁，共29頁。根據特征線方程⒀⒁有：

或

這樣就可以求出P點的h和u，即：

其中：

退出第二十一頁，共29頁。在x=0處，只有一條特征線C－，但由于壓強水頭恒為1，因此：

在x=1處，即j=N處，只有一條特征線C+但u可以由式⒂給出：

由以上兩式聯立可解出

和

逐個時刻進行計算，就可以得到各時刻管道上個節點的流動參數，u和h的值。

退出第二十二頁，共29頁。2.隧道壓力波

波速C是小擾動波的傳播，

氣流速度u和C相比不一定是微量，不能忽略，另外C是變化的，小擾動波的傳播可視為等熵過程。

由

得到：

退出第二十三頁，共29頁。于是特征線方程可以寫成：

沿C+：⒃

沿C－：⒄式中：

特征線不經過節點，因為波動方程的差分要滿足：

因空間步長△x要大于時間步長△t

所以w點落在節點（i,j-1）的右側

E點落在節點（i,j+1）的左側

退出第二十四頁，共29頁。特征方程⒃⒄的差分形式為：

的位置未知，要反復迭代才能確定其位置，當

確定后，點的參數用節點

的參數內插得到，符號表示兩點間的平均值。當各節點的u和c求出后，由等熵關系求出節點的ρ，R，T

其初始條件和邊界條件的確定比較復雜。

退出第二十五頁，共29頁。§13.4有限元的插值函數一．線性插值如果已知曲線上的幾個點坐標

求曲線方程，可以近似用折線表示：如果將坐標原點放在x1處，即x1=0且令x2–x1=L則有：

令

退出第二十六頁，共29頁。∴顯然：

稱為樣條函數或插值函數

已知n個點曲線可以表示為：

一.加權余量法，設有流動問題的方程和邊界條件是：