《圓周角-解題技巧》素材在數(shù)學(xué)里，把一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)化為另一個(gè)對(duì)象，常常可以化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知，從而達(dá)到解決問題的目的，這種思考問題的方法，就是“轉(zhuǎn)化”。在研究與圓周角有關(guān)的問題時(shí)，常進(jìn)行等角間的轉(zhuǎn)化。例1.如圖1所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且ABCD于點(diǎn)E。連接AC、OC、BC。圖1（1）求證：∠ACO=∠BCD。（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑。【分析】（1）欲證∠ACO=∠BCD，關(guān)鍵是進(jìn)行等角間的轉(zhuǎn)化：∠ACO=∠OAC，∠BCD=∠OAC，轉(zhuǎn)化的依據(jù)是等腰三角形的性質(zhì)定理和圓周角的“等弧所對(duì)的圓周角相等”；（2）借助勾股定理構(gòu)建方程可求。【解】（1）∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且ABCD于E，∴CE=ED，．∴∠BCD=∠BAC。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠ACO=∠BCD。（2）設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OE=OB－EB=R－8，∴CE=CD=×24=12。在Rt△CEO中，由勾股定理可得，OC2=OE2＋CE2，即R2=(R－8)2＋122。解得R=13，∴2R=2×13=26。例2.如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC。圖2求證：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD。【分析】（1）欲證CD⊥DF，可轉(zhuǎn)化為證明∠FCD+∠CFD=90。由圓周角的性質(zhì)有∠FCD=∠ABD，再聯(lián)系條件∠BAD=2∠CFD，不難向等腰△ABD的內(nèi)角和定理進(jìn)行聯(lián)想，從而找到解題的切入點(diǎn)；（2）欲證BC=2CD，現(xiàn)在還有一個(gè)條件∠BFC=∠BAD沒有用，注意到∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，從而有∠ABF=∠CAD，而∠CAD=∠CBD，故∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，從而∠FBC=∠FCB，于是得FB=FC。思考到這里，不妨再回頭看看證題目標(biāo)BC=2CD，可考慮取BC的中點(diǎn)G，于是問題轉(zhuǎn)化為證明CG=CD，即證△FGC≌△FDC。【證明】（1）∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB。在△ABD中，∠BAD+2∠ABD=180。又∠BAD=2∠DFC，∠FCD=∠ABD，∴2∠DFC+2∠FCD=180。∴∠DFC+∠FCD=90．∴∠FDC=90。∴CD⊥DF。（2）∵∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，∴∠ABF=∠CAD。又∠CAD=∠CBD，∴∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC。取BC的中點(diǎn)G，連接FG．∴FG⊥BC．∴∠FGC=90。∵AB=AD，∴=，∴∠ACB=∠ACD。∵∠FGC=∠FDC=90，F(xiàn)C=FC，∴△FGC≌△FDC，∴CG=CD。∵BC=2CG，∴BC=2CD。例3.如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=60°，點(diǎn)D是的中點(diǎn)。BC，AB邊上的高AE，CF相交于點(diǎn)H。圖3試證明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四邊形AHDO是菱形。【分析】（1）圖中、所對(duì)的圓周角沒有出現(xiàn)，條件“D是的中點(diǎn)”無法直接利用，故考慮連接AD，架起已知與待求之間的橋梁，從而有∠BAD=∠CAD，從而問題轉(zhuǎn)化為證∠DAH=∠DAO．（2）由D是的中點(diǎn)，知OD⊥BC，又AE⊥BC，可得AH∥OD．故欲證四邊形AHDO是菱形，只需再證明AH=OD，即可判定四邊形AHDO為平行四邊形，而OA=OD，從而四邊形AHDO為菱形。【解】（1）連接AD，如圖4．∵D是的中點(diǎn)，所以∠BAD=∠CAD，OD⊥BC．圖4圖4且AE⊥BC，∴AE∥OD，∴∠DAH=∠ODA。∵OA＝OD，∴∠DAO=∠ODA．∴∠DAH=∠DAO。∴∠BAD－∠DAH=∠CAD－∠DAO。∴∠FAH=∠CAO。（2）過點(diǎn)O作OM⊥AC于M．∴AC=2AM，∵CF⊥AB，∠BAC＝60°，∴AC=2AF．∴AF=AM，又∠AFH=∠AMO