注重題后反思，提升解題素養(yǎng)摘要：本文就新課標(biāo)要求結(jié)合高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，提出了數(shù)學(xué)解題后反思的必要性，探討了如何有效地進(jìn)行解題后反思。數(shù)學(xué)解題后的反思不僅能幫助學(xué)生融會(huì)貫通數(shù)學(xué)知識(shí)，還能提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力，提升解題素養(yǎng)。 關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)探究反思解題素養(yǎng)

引言：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)[1]”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是最基本的活動(dòng)形式，是學(xué)生掌握知識(shí)和基本技能的必要途徑。那么，如何提升學(xué)生的解題素養(yǎng)，也就成了我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中所關(guān)心的重要問題。一、數(shù)學(xué)解題后反思的必要性當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書中給出了：“解答數(shù)學(xué)問題的四個(gè)步驟：弄清問題—擬定計(jì)劃—實(shí)現(xiàn)計(jì)劃—回顧反思[3]”。但是在很多人的眼中，認(rèn)為解題只是寫出解答過程。特別是學(xué)生，一旦得出答案，就結(jié)束了，對(duì)解題后反思置之不理，這是非常錯(cuò)誤的。著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出“反思是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力。”它不僅能深化對(duì)知識(shí)的理解，促進(jìn)知識(shí)的同化和遷移，而且還有利于在原有基礎(chǔ)上建立更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。因此，從某種程度上說，解題后的反思比前三步還要重要！二、如何有效進(jìn)行數(shù)學(xué)解題后的反思對(duì)于具體的數(shù)學(xué)問題，答案解出之后，我們必須再次進(jìn)行認(rèn)真探究：“考查哪方面的知識(shí)和能力？題目中有沒有隱含條件？求解論證過程是否判斷有據(jù)、嚴(yán)密完善？本題考查的實(shí)質(zhì)是什么？命題者的意圖是什么？是否可以把此類問題進(jìn)行歸類”“此題的結(jié)論是否可以推廣”等等。（1）反思解題過程1.反思題目中的隱含條件是否被挖掘【例1】若2sin2a+sin2b-2sina=0，則cos2a+cos2b的取值范圍是2b解：由條件得sin2b=2sina-2sin2a，則cos2a+cos2b=-sin2a-sin=-sin2a-(2sina-2sin2a)=sin2a-2sina+=(sina-1)2+1錯(cuò)解1由(sina-1)2+311,從而cos2a+cos2b的取值范圍是[1,+￥)。[1,5]。錯(cuò)解2Q-1￡sina￡\1￡(sina-1)2+￡5,從而cos2a+cos2b的取值范圍是上述解法看似正確，但仔細(xì)分析兩種答案都是錯(cuò)誤的。我們可以作如下反思：（1）在求式子(sina-1)2+1時(shí)，要注意什么？ （2）除了考慮三角函數(shù)的有界性之外，題目中還有沒有其它隱含條件？對(duì)結(jié)果有什么影響？通過分析，發(fā)現(xiàn)：正解：由條件2sin2a+sin2b-2sina=0得sin2b=2sina-2sin2a，Q0￡sin2b￡1，可得0￡sina￡1，從而(sina-1)2+1的取值范圍是[1,2]，即cos2a+cos2b的取值范圍是[1,2]。 2.反思思維是否嚴(yán)謹(jǐn)，解答是否全面

這一點(diǎn)很容易被漏掉，所以在做完題目后，要注意反思思維是否嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)論成立是否需要其它限制條件，還有沒有其它情況，如果出現(xiàn)多解，是否都符合題意等。【例2】在雙曲線x-y2=1中，是否存在被點(diǎn)P(1,1)平分的弦?如果存在，求出弦2所在直線方程；如不存在，說明理由[5]。錯(cuò)解：假設(shè)存在這樣的弦，由題意知，直線斜率存在，設(shè)弦所在直線方程為y=kx-1)1，代入x-y2=1，化簡得(k2-2)x2-2(kk-1)x+(k2-2k+3)=02設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為Mxy1 1)，Nx,y2)，則x1+x2=2(kk-1)，因P(1,1)是弦的中點(diǎn)，2(k2-2)則2(kk-1)=2，解得k=2。所以，所求直線方程存在，且方程為y=2(x-1)1，即(k2-2)2x-y-1=0。這是直線與雙曲線問題中，比較典型的一類錯(cuò)題，反思錯(cuò)誤如下：(1)過某一定點(diǎn)的直線和雙曲線一定有交點(diǎn)嗎?(2)直線與方程聯(lián)立之后，運(yùn)用韋達(dá)定理的前提條件是什么？仔細(xì)分析，問題顯而易見。正解：在得到(k2-2)x2-2(kk-1)x+(k2-2k+3)=0時(shí)，注意：此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)為k-2，要對(duì)其是否為0進(jìn)行討論。(1)當(dāng)k-2=0，即k=±2時(shí)，直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意。(2)當(dāng)k-210，即k1±2時(shí)，必須滿足D30。此時(shí)有k￡3且k1±2，這是2直線與雙曲線相交，存在弦長的前提，與接下來得出的被P(1,1)平分時(shí)k=2相矛盾。所以在這條雙曲線上不存在被點(diǎn)P(1,1)平分的弦。 （2）反思問題的本質(zhì)

1.反思問題的本質(zhì)，舉一反三

對(duì)一個(gè)題目的反思如果僅限于題目本身，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。只有深入研究題目的本質(zhì)，提煉出問題，才能領(lǐng)會(huì)出題者的意圖，從而能夠舉一反三，觸類旁通。【例】已知橢圓x2+y2=1(a>>0)的長軸兩端點(diǎn)分別為、，若在橢圓上a2b2存在不同于、的一點(diǎn)，使得A B C DACB=120o，求橢圓離心率的取值范圍。[]y

CAA(-a0,y0)Bx解：由題意知，設(shè),0)、Ba(,0)、Cx0，由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)0￡x<a,0<y￡b，直線AC、BC的斜率分別是kAC=y0,k=y000x0+aBCx0-aQtanDACB=kBC1+k-kACy0 - y0= x0+a x0-1+ y0 y0x0+ax0-a=-2ab2BCkACacy20代入化簡得y0=2ab2，又0<y0￡b即2ab2￡b得6￡<13c23c23這是一道常見的解析幾何求離心率問題，解答完成之后還可以進(jìn)一步研究：（1）在該橢圓上，是否存在DACB=60o？（2）當(dāng)點(diǎn)C在橢圓的短軸端點(diǎn)位置時(shí)，此時(shí)DACB取得什么值？（3）DACB的大小與橢圓離心率有什么關(guān)系？事實(shí)上，由kAC×BC1-1得tanDACB=kBC1+k-kAC=-2ab2￡-2ab<0，可以很清楚BCkACcy20c2地看到：（1）QtanDACB<0，所以在這個(gè)橢圓上，不存在DACB=60o；（2）當(dāng)C是橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)(即0y=b)，tanDACB最大，即DACB最大。（3）當(dāng)離心率在區(qū)間e(0,1)上越來越小時(shí)，橢圓越來越來圓，DACB由鈍角趨向于直角，即離心率越小,eDACB越小；當(dāng)在區(qū)間e(0,1)上越來越大時(shí)，橢圓越來越扁平，DACB由鈍角趨向于平角，即離心率越大，eDACB越大；由以上分析可知：當(dāng)點(diǎn)C在橢圓短軸端點(diǎn)，且此時(shí)DACB=120o時(shí)，橢圓上就存在這樣的一點(diǎn)C，滿足要求，此時(shí)離心率最小值為e=06。所以本題離心率的取值范圍e3為[6,1)。3通過上述討論，對(duì)橢圓的離心率理解更深刻了，以后遇到這類問題也就迎刃而解了。2.反思問題的一般性，總結(jié)解題規(guī)律

我們解完題后要認(rèn)真思考運(yùn)用的方法，分析它的特點(diǎn)，認(rèn)真總結(jié)規(guī)律，通過解一個(gè)題,學(xué)會(huì)解一類題。【例】已知點(diǎn)4 A(0,2)，為拋物線B x2=2y-2上任意一點(diǎn)且為, B AC的中點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線.求曲線的方程[].的中點(diǎn)，得ìm=x解：設(shè)Cxy(,)，Bmn(,)，由B為AC??í?2+2，n=y??2又B在拋物線x2=2y-2上，\m2=2n-2,即x2=′2+y-2xy242\x2=4y，故曲線E的方程為x2=4y解后發(fā)現(xiàn)，求這類軌跡方程問題的特點(diǎn)是：

(1)所求動(dòng)點(diǎn)隨著已知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)。 反思總結(jié)：利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的基本步驟，簡記為：(1)設(shè)點(diǎn)(2)列式(3)代換；以后再遇到這類問題，就可以用這種方法來解了。 3.反思結(jié)論的延伸和推廣

解完題后，分析一下本題結(jié)論是否可以延伸，是否可以把在特殊題目中得到的結(jié)論推廣到一般情形。例如人教版數(shù)學(xué)選修2-1課本41頁例3[2]：此題的結(jié)果是：x2+y2=1(x1±5)。（過程略）251009解后反思：（1）發(fā)現(xiàn)-4正好等于-b2，這是有結(jié)論還是巧合呢？9a2（2）結(jié)論：在橢圓C：x2y21ab0)中，若A,B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的a2b2兩點(diǎn)，對(duì)C上任意一個(gè)不同于A、B兩點(diǎn)的點(diǎn)P,且直線PA與PB的斜率均存在，有k×=-b2。PAPBa2（3）在雙曲線中，是否也有類似結(jié)論？ 在本題的教學(xué)中，首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推導(dǎo)出結(jié)論，然后加以類比拓展。在此過程中，培養(yǎng)了學(xué)生分析和解決問題的能力，提升了數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)。三、結(jié)束語

一道數(shù)學(xué)題答案的解出，并不是思維活動(dòng)的結(jié)束，而是更深入探究的開始。解題教學(xué)的重點(diǎn)不是解題，而是在解題的基礎(chǔ)上，提高學(xué)生分析、解決問題的能力，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法進(jìn)行感悟和提煉的過程。因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中，要多引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行深入研究，解后多一點(diǎn)反思總結(jié)，來加深對(duì)知識(shí)、思想方法的理解，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這才是解題教學(xué)的意義所在。參考文獻(xiàn)：[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[M].人民教育出版社，2018.1 [2]《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》，數(shù)學(xué)，選修2-1[M]，人民教育出版社，2018年2月第3版：41[3]波利亞.《怎樣解題》[M].上海科技教育出版社，2019.7[4]《全品高考復(fù)習(xí)方案》[M].北京教育出