初中數學所有函數的知識點總結初中數學全部函數的學問點總結

課題

3.5正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數

教學目標

1、把握正（反）比例函數、一次函數和二次函數的概念及其圖形和性質2、會用待定系數法確定函數的解析式

教學重點

把握正（反）比例函數、一次函數和二次函數的概念及其圖形和性質

教學難點

把握正（反）比例函數、一次函數和二次函數的概念及其圖形和性質

教學方法

講練結合法

教學過程

（I）學問要點（見下表：）

第三章第29頁函數名稱解析式圖像正比例函數ykx（k0）0x反比例函數一次函數ykxb（k0）0x二次函數yax2bxc（a0）y0xy0xky（k0）xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0圖像過點（0，0）及（1，k）的直線雙曲線，x軸、y軸是它的漸近線與直線ykx平行且過點（0，b）的直線拋物線定義域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0時，y,4aR值域R4acb2a0時，y,4aba0時，在－,上為增2a函數，在,－單調性k0時，在,0，k0時為增函數0,上為減函數k0時，為增函數b上為減函數2ak0時為減函數k0時，在,0，k0時，為減函數0,上為增函數ba0時，在－,上為減2a函數，在,－b上為增函數2a奇偶性奇函數奇函數b=0時奇函數b=0時偶函數a0且x－ymin最值無無無b時，2a24acb4ab時，2a24acb4aa0且x－ymax

第三章第30頁b24acb2注：二次函數yaxbxca(x（a0）)a(xm)(xn)2a4abb4acb2對稱軸x，頂點(，)

2a2a4a2拋物線與x軸交點坐標(m，0)，(n，0)（II）例題講解

例1、求滿意以下條件的二次函數的解析式：（1）拋物線過點A（1，1），B（2，2），C（4，2）（2）拋物線的頂點為P（1，5）且過點Q（3，3）

（3）拋物線對稱軸是x2，它在x軸上截出的線段AB長為2且拋物線過點（1，7）。2，

解：（1）設yax2bxc(a0)，將A、B、C三點坐標分別代入，可得方程組為

abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2（2）設二次函數為ya(x1)25，將Q點坐標代入，即a(31)253，得

a2，故y2(x1)252x24x3

（3）∵拋物線對稱軸為x2；

∴拋物線與x軸的兩個交點A、B應關于x2對稱；∴由題設條件可得兩個交點坐標分別為A(2∴可設函數解析式為：ya(x2代入方程可得a1

∴所求二次函數為yx24x2，

2，0)、B(222，0)

2)(x22)a(x2)22a，將（1，7）

5)，例2：二次函數的圖像過點（0，8），(1，（4，0）

（1）求函數圖像的頂點坐標、對稱軸、最值及單調區間（2）當x取何值時，①y≥0，②y（2）由y0可得x22x80，解得x4或x2由y0可得x22x80，解得2x4

例3：求函數f(x)x2x1，x[1，1]的最值及相應的x值

113x1(x)2，知函數的圖像開口向上，對稱軸為x

224111]上是增函數。∴依題設條件可得f(x)在[1，]上是減函數，在[，22131]時，函數取得最小值，且ymin∴當x[1，24131又∵11

222解由yx2∴依二次函數的對稱性可知f(1)f(1)

∴當x1時函數取得最大值，且ymax(1)2(1)13例4、已知函數f(x)x22(a1)x2

4]，求實數a的取值(1)若函數f(x)的遞減區間是(，4]上是減函數，求實數a的取值范圍(2)若函數f(x)在區間(，分析：二次函數的單調區間是由其開口方向及對稱軸打算的，要分清函數在區間A上是單調函數及單調區間是A的區分與聯系

解：（1）f(x)的對稱軸是x可得函數圖像開口向上

2(a1)21a，且二次項系數為1>0

1a]∴f(x)的單調減區間為(，∴依題設條件可得1a4，解得a3

4]上是減函數(2)∵f(x)在區間(，4]是遞減區間(，1a]的子區間∴(，∴1a4，解得a3

例5、函數f(x)x2bx2，滿意：f(3x)f(3x)

（1）求方程f(x)0的兩根x1，x2的和（2）比擬f(1)、f(1)、f(4)的大小解：由f(3x)f(3x)知函數圖像的對稱軸為x(3x)(3x)23

b3可得b62f(x)x26x2(x3)211

而f(x)的圖像與x軸交點(x1，0)、(x2，0)關于對稱軸x3對稱

x1x223，可得x1x26

第三章第32頁由二次項系數為1>0，可知拋物線開口向上又134，132，431

∴依二次函數的對稱性及單調性可f(4)f(1)f(1)（III）課后作業練習六

（Ⅳ）教學后記：

第三章第33頁

擴展閱讀：初中數學函數學問點歸納

學大教育

初中數學函數板塊的學問點總結與歸類學習方法

初中數學學問大綱中，函數學問占了很大的學問體系比例，學好了函數，把握了函數的根本性質及其應用，真正精通了函數的每一個模塊學問，會做每一類函數題型，就讀于中考中數學勝利了一大半，數學成績自然上頂峰，同時，函數的思想是學好其他理科類學科的根底。初中數學從性質上分，可以分為：一次函數、反比例函數、二次函數和銳角三角函數，下面介紹各類函數的定義、根本性質、函數圖象及函數應用思維方式方法。

一、一次函數

1.定義：在定義中應留意的問題y＝kx＋b中，k、b為常數，且k≠0，x的指數肯定為1。2.圖象及其性質（1）外形、直線

k0時，y隨x的增大而增大，直線肯定過一、三象限（2）

k0時，y隨x的增大而減小，直線肯定過二、四象限（3）若直線l1：yk1xb1l2：yk2xb2

當k1k2時，l1//l2；當b1b2b時，l1與l2交于(0，b)點。

（4）當b>0時直線與y軸交于原點上方；當b學大教育

(1)是中心對稱圖形，對中滿意是原點（2）對稱性：是軸直線yx和yx(2)是軸對稱圖形，對稱k0時兩支曲線分別位于一、三象限且每一象限內y隨x的增大而減小（3）

k0時兩支曲線分別位于二、四象限且每一象限內y隨x的增大而增大（4）過圖象上任一點作x軸與y軸的垂線與坐標軸構成的矩形面積為|k|。

P（1）應用在u3.應用（2）應用在（3）其它F上SS上t其要點是會進展“數結形合”來解決問題二、二次函數

1.定義：應留意的問題

（1）在表達式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c為常數且a≠0）（2）二次項指數肯定為22.圖象：拋物線

3.圖象的性質：分五種狀況可用表格來說明表達式(1)y=ax2頂點坐標對稱軸(0，0)最大（小）值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0，0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x－(h，0)h)2直線x=hy最小=0y最大=0y隨x的變化狀況隨x增大而增大隨x增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小直線x=0(y軸)①若a>0，則x=0時，若a>0，則x>0時，y②若a0，則x=0時，①若a>0，則x>0時，y②若a0，則x=h時，①若a>0，則x>h時，y②若a學大教育

表達式h)2+k頂點坐標對稱軸直線x=h最大（小）值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay隨x的變化狀況隨x的增大而增大隨x的增大而減小b2a時，①若a>0，則x>b2a(4)y=a(x－(h，k)①若a>0，則x=h時，①若a>0，則x>h時，y②若a0，則x=4acb24ay最小=4acb24ab時，y隨x的增大而增大時，②若a2a2a時，y隨x的增大而減小b②若a學大教育

一次函數圖象和性質

【學問梳理】

1．正比例函數的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函數的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函數ykxb的圖象是經過（3.一次函數ykxb的圖象與性質

圖像的大致位置經過象限第象限第象限第象限第象限y隨x的增大y隨x的增大而y隨x的增大y隨x的增大性質而而而而

【思想方法】數形結合

k、b的符號k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0b，0）和（0，b）兩點的一條直線.k反比例函數圖象和性質

【學問梳理】

1．反比例函數：一般地，假如兩個變量x、y之間的關系可以表示成y＝或（k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數．2.反比例函數的圖象和性質

k的符號k＞0yoxk＜0yox

圖像的大致位置經過象限性質

第象限在每一象限內,y隨x的增大而第象限在每一象限內,y隨x的增大而3．k的幾何含義：反比例函數y＝的幾何意義，即過雙曲線y＝

k(k≠0)中比例系數kxk(k≠0)上任意一點P作x4

x軸、y軸垂線，設垂足分別為A、B，則所得矩形OAPB

函數學習方法學大教育

的面積為.

【思想方法】數形結合

二次函數圖象和性質

【學問梳理】

1.二次函數ya(xh)2k的圖像和性質

圖象開口對稱軸頂點坐標最值增減性

在對稱軸左側在對稱軸右側當x＝時，y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而a＞0yOa＜0x當x＝時，y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而銳角三角函數

【思想方法】

1.常用解題方法設k法2.常用根本圖形雙直角

【