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構造法求特殊角三角函數值

對于30°、45°、60°角的三角函數值，我們都可通過定義利用特殊直角三角形三邊的關系進行計算；而在實際應用中，我們常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函數值的計算，同樣我們也可以構造相關圖形，利用數形結合思想進行巧算．知識點睛如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延長CA到D，使AD＝AB，連接BD，則∠D＝15°，設BC＝a，則AB＝2a，AC＝

a，∴AD＝2a，CD＝(2＋)a.在Rt△BCD中，BD＝∴sin15°＝sinD＝

cos15°＝cosD＝tan15°＝tanD＝1技巧巧構造15°與30°角的關系的圖形計算15°角的三角函數值1．求sin15°，cos15°，tan15°的值．解：2巧構造22.5°與45°角的關系的圖形計算22.5°角的三角函數值技巧2．求tan22.5°的值．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延長CA到D，使DA＝AB，連接BD，則∠D＝22.5°，設AC＝BC＝a，則AB＝

a，∴AD＝

a，DC＝(＋1)a，∴tan22.5°＝tanD解：3巧用折疊法求67.5°角的三角函數值技巧3．小明在學習“銳角三角函數”中發現，將如圖所示的矩

形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，

使點A落在BC邊上的點E處，還原

后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，求出67.5°

角的正切值．∵將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點E處，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°.∵還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.設AB＝x，則AE＝EF＝

x，∴tan∠FAB＝tan67.5°＝

＋1.解：4巧用含36°角的等腰三角形中的相似關系求18°、72°角的三角函數值技巧4．求sin18°，cos72°的值．如圖，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于D點，過點A作AE⊥BC于E點，設BC＝a，則BE＝

a，BD＝AD＝a，易得△ABC∽△BCD，解：即AB2－a·AB－a2＝0，∴AB＝

a(負根舍去)，∴sin18°＝sin∠BAE＝

，cos72°＝cos∠ABE＝.5巧用75°與30°角的關系構圖求75°角的三角函數值技巧5．求sin75°，cos75°，tan75°的值．方法一：利用第1題的圖形求解．易知∠CBD＝75°，∴sin75°＝

，cos75°＝

，tan75°＝.解：方法二：如圖，作△ABD，使∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，延長BD到C，使DC＝DA，連接AC，過B作BE⊥AC于E，則∠BAE＝75°，設AD＝DC＝a，則AC＝a，BD＝

a，AB＝

a，∴BC＝BD＋CD＝

a.∴CE＝BE＝BC·sin45°＝

a

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