2020-2021蘇州蘇州外國語學校高一數學下期中模擬試題（附答案）一、選擇題1.已知三棱錐D-ABC的外接球的表面積為128冗，AB=BC=4,AC=4v,2，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）A.2732D32加+1662.A.圓心在乂+丫A.2732D32加+1662.A.圓心在乂+丫=0上，且與x軸交于點A（x+1）2+（y-1）2=5（-3,0）和B（1,0）的圓的方程為（ ）B.C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x一1)2+(y+1)2=<5(x+1)2+(y-1)2=<53.A.23.A.2B.4C.3D.6若圓C:x2+y2+2x-4y+3=0關于直線2ax+by+6=0對稱，則由點(a,b)向圓所作的切線長的最小值是（）.直線y=k（x-2）+4與曲線x+<3+2y-y2=0有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是（ ）(53A(53A.(12,4]/51]B.(—,]

122C.(2，3].〈九章算術>中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA，平面ABC,PA=AB=2,AC=4，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）8n12n20nD.24n6.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示其中俯視圖是等腰直角三角形則該三棱錐的外接球表面積為A8n12n20nD.24n6.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示其中俯視圖是等腰直角三角形則該三棱錐的外接球表面積為A.D.12幾()B.2j3兀C.4<13k7.四棱錐P一ABCD的底面ABCD為正方形，PA1底面ABCD,AB=2,PA=7，若該四棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A.81幾

~281幾B.TC.65冗D.65A.81幾

~281幾B.TC.65冗D.65幾萬8.用一個平面去截正方體，則截面不可能是（A.直角三角形B.等邊三角形C.）正方形D.正六邊形9.矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B—AC—D，則四面體ABCD的外接球的體積是（）A.125 兀12A.125 兀12125V兀125~6~兀125D.—"10.在長方體ABCD-A1B1clq中，H=A]q=a,A1B[=10.在長方體ABCD-A1B1clq中，動，當異面直線CP與Bq所成的角最大時，則三棱錐C-pA1D1的體積為（）a3 a3 a3A. B. C. D.a3a3.一錐體的三視圖如圖所示,則該棱錐的最長棱的棱長為 （）岬即s岬即sA.b.J：C.D.I”.如圖在正方體月，"力'w：a小中，點口為線段改打的中點.設點尸在線段匚的上，直線。F與平面M所JJ所成的角為昭則%—的取值范圍是（）二、填空題.在學習公理四“平行于同一條直線的兩條直線平行”時，有同學進行類比，提出了下列命題：①平行于同一平面的兩個不同平面互相平行；②平行于同一直線的兩個不同平面互相平行；③垂直于同一直線的兩個不同平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個不同平面互相平行；其中正確的有.已知菱形ABCD中，AB=2,/A=120o，沿對角線BD將AABD折起，使二面角A-BD-C為120o,則點A到VBCD所在平面的距離等于 ..若過點P（8,1）的直線與雙曲線x2-4w=4相交于A,B兩點，且P是線段AB的中點，則直線AB的方程為.

.直線ax+y+1=0與連接A(4,5),B(-1,2)的線段相交，則a的取值范圍是.如上圖所示，在正方體ABCD—AB1clR中，M,N分別是棱AB、CQ的中點,AMB1p的頂點P在棱cc］與棱C1R上運動，有以下四個命題：A.平面MB1P1ND1；b.平面MB1P，平面NR々；AMB1p在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值；AMB1p在側面D1cleD上的射影圖形是三角形.其中正確命題的序號是.若直線I:kx—y—2=0與曲線C：\：1-(y-1)2=x—1有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍..三棱錐A-BCD中，e是AC的中點，f在AD上，且2AF=FD，若三棱錐A-BEF的體積是2,則四棱錐B-ECDF的體積為..已知圓x2+y2=5和點A(1,2)，則過點A的圓的切線方程為三、解答題.如圖，梯形ABCD中，AB//CD,E,F是線段AB上的兩點，且DE1AB,CF1AB,AB=12,AD=5,BC=4<2,DE=4.現將△ADE,△CFB分別沿DE,CF折起,使兩點A,B重合于點G，得到多面體CDEFG(1)求證：平面DEG1平(1)求證：AD1PB；

(2)E是側棱PC上一點，記PE=九，當PB1平面ADE時，求實數九的值JL.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點.AB1AC,AB=ACAA=2(I)求直線AC1與平面BCCAB=ACAA=2(II)求二面角A—A1B—C的余弦值..如圖，已知三棱錐A—BPC中，AP1PC,AC1BC,M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形.(1)求證：DM//平面APC；(2)求證：BC，平面APC；(3)若BC=4,AB=10，求三棱錐D—BCM的體積..(1)用符號表示下來語句，并畫出同時滿足這四個語句的一個幾何圖形：①直線l在平面a內；②直線m不在平面a內；③直線m與平面a交于點A；④直線l不經過點A.(2)如圖，在長方體ABCD-A1B1clR中，E為棱BB1的中點，F為棱CJ的三等分點，畫出由DE,F三點所確定的平面P與平面ABCD的交線.(保留作圖痕跡)

A B.如圖，在直三棱柱ABC'-A1B1C1中，/ACB=90°,ZBAC=30°,BC=1,A1A=<?,M是CC1的中點.(1)求證：A1B±AM；⑵求二面角B-AM-C的平面角的大小..【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題D解析：D【解析】【分析】先求出球心。到底面距離的最大值，從而可求頂點D到底面的距離的最大值，利用該最大值可求體積的最大值.【詳解】

設外接球的球心為O，半徑為R，則4兀R2=128兀，故R=4v,2.設球心O在底面上的投影為E，因為OA=OC=OB，故E為AABC的外心.因為AB=BC=4,AC=4v2，所以AC2=AB2+BC2，故AABC為直角三角形，故E為AC的中點，所以OE=%；OA2—AE2=2<6，十32^2+16而

3設D到底面ABC的距離為h，則h<OE+R=2<6+422，十32^2+16而

311所以三棱錐D—ABC的體積的最大值為―乂—義4義4義32故選：D.【點睛】幾何體的外接球、內切球問題，關鍵是球心位置的確定，必要時需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，注意球心在底面上的投影為底面外接圓的圓心.如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補成規則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.A解析：A【解析】【分析】由題意得：圓心在直線x=-1上，又圓心在直線x+y=0上，故圓心M的坐標為(-1,1),再由點點距得到半徑。【詳解】由題意得：圓心在直線x=-1上，又圓心在直線x+y=0上，???圓心M的坐標為(-1,1),又A(-3,0),半徑IAMI=\；(-1+3)2+(1-0)2=<5,則圓的方程為(x+1)2+(y-1)2=5.故選A.【點睛】這個題目考查的是直線和圓的位置關系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數形結合來

解決的，聯立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經常用到垂徑定理。B解析：B【解析】試題分析：X2+y2+2x-4y+3=0即(x+1)2+(y-2)2=2,由已知，直線2ax+by+6=0過圓心C(-1,2)，即一2a+2b+6=0,b=a-3,-4+-4+由平面幾何知識知，為使由點(a,b)向圓所作的切線長的最小，只需圓心。(-1,2)與直線x-y-3=0上的點連線段最小，所以，切線長的最小值為故選B.考點：圓的幾何性質，點到直線距離公式.B解析：B【解析】【分析】利用數形結合，作出圖象，計算得直線1與直線12的斜率，即可得到結論.【詳解】曲線可化簡為x2+(y-1)2=4(x<0)，如圖所示：TOC\o"1-5"\h\z3—2k 5直線l:y=k(x—2)+4，此直線與曲線相切，此時有=2，解得k=-，k2+1 12直線12:y=k(x—2)+4，此直線與曲線有兩個交點，此時有k=2.所以，過點(2,4)的直線與該半圓有兩個交點，數形結合，解得工<k<：.\o"CurrentDocument"12 2故選：B.【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：恒過定點的直線方程，點到直線的距離公式，以及直線斜率的求法，利用了數形結合的思想，其中抓住兩個關鍵點是解本題的關鍵.C解析：C【解析】【分析】先作出三棱錐P—ABC的圖像，根據P—ABC四個面都為直角三角形和PA，平面ABC,可知PC中點即為球心，利用邊的關系求出球的半徑，再由S=4nR2計算即得.【詳解】三棱錐P—ABC如圖所示，由于P—ABC四個面都為直角三角形，則VABC是直角三兀 - 一 一角形，且/ABC=-,ABC=\；AC2—AB2=2<3，又PA，平面ABC,且VPAC是2直角三角形，，球O的直徑PC=2R=\PA2+AB2+BC2=<20=2<5,aR=屈,則球O的表面積S=4兀R2=20兀.故選：C【點睛】本題考查多面體外接球的表面積，是常考題型.C解析：C【解析】【分析】由三視圖知幾何體是一個側棱與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高為'：'2的等腰直角三角形，與底面垂直的側面是個等腰三角形，底邊長為2，高為2，故三棱錐的外接球與以棱長為2的正方體的外接球相同，由此可得結論【詳解】由三視圖知幾何體是一個側棱與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高為%方的等腰直角三角形，與底面垂直的側面是個等腰三角形，底邊長為2，高為2，故三棱錐的外接球與以棱長為2的正方體的外接球相同，其直徑為2<3，半徑為,,：3二三棱錐的外接球體積為4兀義（；3）=4<3k故選C【點睛】本題主要考查了三視圖，幾何體的外接球的體積，考查了空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.B解析：B【解析】【分析】根據題意可知，該四棱錐的外接球即為其所在長方體的外接球，根據公式即可求得【詳解】根據題意，為方便說明，在長方體中找出該四棱錐如圖所示：由圖可知在長方體中的四棱錐P-ABCD完全滿足題意，故該四棱錐的外接球即是長方體的外接球，22F7S2故外接球半徑 ，+22+12J9，R==2 4「，…81兀故該球的表面積為S-4兀R2=—.4故選：B.【點睛】本題考查四棱錐外接球的問題，關鍵的步驟是將問題轉化為求長方體的外接球A解析：A【解析】【分析】【詳解】畫出截面圖形如圖顯然A正三角形C正方形：D正六邊形可以畫出三角形但不是直角三角形；故選A.用一個平面去截正方體，則截面的情況為：①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面為五邊形時，不可能是正五邊形；④截面為六邊形時，可以是正六邊形.故可選A..C解析：C【解析】【分析】由矩形的對角線互相平分且相等即球心到四個頂點的距離相等推出球心為AC的中點，即可求出球的半徑，代入體積公式即可得解.【詳解】因為矩形對角線互相平分且相等，根據外接球性質易知外接球球心到四個頂點的距離相等，所以球心在對角線AC上，且球的半徑為AC長度的一半，一1i —5 4 4 （5、125兀即r=—AC=-ABB2+BC2=—，所以V=4兀r3=4兀?5= .2 2 3 312） 6故選：C【點睛】本題考查球與幾何體的切、接問題，二面角的概念，屬于基礎題.B

解析：B【解析】【分析】當P與A重合時，異面直線CP與BA1所成的角最大，由此能求出當異面直線CP與BA1所成的角最大時，三棱錐C-PA1D1的體積.【詳解】如圖，當P與如圖，當P與A重合時，異面直線CP與BA1所成的角最大，???當異面直線CP與BA1所成的角最大時，三棱錐C-PA1D1的體積:1=V=-xSC-鵬D1=V=-xSC-鵬D13 vMD1義AB=—義—xAA義AD義AB=—義—xa義a義2a=——故選:B.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法一一分割法、補形法、等體積法.①割補法：求一些不規則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決.②等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形（或三棱錐）的高，而通過直接計算得到高的數值.C解析：C【解析】試題分析：該幾何體為一個側面與底面垂直，底面為正方形的四棱錐（如圖所示），其中底面AHC'fJ邊長為1,側面PAD平面ABC：,點尸在底面的射影為上‘，所以PS吐?"乜匕所以PA二4同+4戌=5PB二月聲:R諾二聲PC=\國+審二*~乙底面邊長為1,所以最長的棱長為\TI,故選C.

考點：簡單幾何體的三視圖.12考點：簡單幾何體的三視圖.12.B解析：B【解析】【分析】【詳解】設正方體的棱長為I則」設正方體的棱長為I則」iG工\3/|。0cl，所以33八一:33八一:cosZj4iOCi= X21c口5上AiQC 2xT1 2、2一 一不一，6又直線與平面所成的角小于等于90?，而匚為鈍角，所以、山我的范圍為!」，選B.【考點定位】空間直線與平面所成的角.二、填空題.①③【解析】【分析】對4個命題分別進行判斷即可得出結論【詳解】解：①平行于同一平面的兩個不同平面互相平行正確；②平行于同一直線的兩個不同平面互相平行或相交不正確；③垂直于同一直線的兩個不同平面互相平解析：①③【解析】【分析】對4個命題分別進行判斷，即可得出結論.【詳解】解：①平行于同一平面的兩個不同平面互相平行，正確；②平行于同一直線的兩個不同平面互相平行或相交，不正確；③垂直于同一直線的兩個不同平面互相平行，正確；④垂直于同一平面的兩個不同平面互相平行或相交，不正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查類比推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題..【解析】【分析】【詳解】設AC與BD交于點O在三角形A8口中因為NA=120°AB=2可得AO=1過A作面BCD的垂線垂足E則AE即為所求由題得NAOE=180°-NA0C=180°-120°=60解析：避2【解析】【分析】【詳解】設AC與BD交于點O.在三角形ABD中，因為NA=120°,AB=2.可得AO=1.過A作面BCD的垂線，垂足E,則AE即為所求.由題得，NAOE=180°-NAOC=180°-120°=60°.在RTAAOE中，AE=AO?sinNAOE=—.2.【解析】【分析】設出的坐標代入雙曲線方程兩式相減根據中點的坐標可知和的值進而求得直線的斜率根據點斜式求得直線的方程【詳解】設則直線的方程為即故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的方程直線的斜率公式直線解析：2%—y-15=0【解析】【分析】設出A,B的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減,根據中點的坐標可知\+%2和yi+y2的值,進而求得直線ab的斜率，根據點斜式求得直線的方程.【詳解】設A(%jy),B(%2,yJ，則%i+%2=16,1+y2=2,Q%.2一4y2=4,%2一4y2=4,

」.(x+x)(%-x)-(y+y)(y-y)=0」.16(x-x)-8(y-y)=0—t-—t-'

x-x/.kAB16—2

-8【解析】【分析】判斷直線ax【解析】【分析】判斷直線ax+by+c=0恒過定點P(0,-1),計算PA、PB的斜率，再利用數形結合求a的取值范圍.【詳解】計算鼠5+1 3k==-3PB—1—0??直線的方程為y-1=2(x-8),即2x-y-15=0，故答案為2x-y-15=0【點睛】本題主要考查雙曲線的方程、直線的斜率公式、直線點斜式方程的應用，意在考查靈活運用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.涉及弦長的中點問題，常用'點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化..或【解析】【分析】判斷直線恒過定點P(0-1)計算PAPB的斜率再利用數形結合求a的取值范圍【詳解】解：由直線ax+y+1=0的方程判斷直線恒過定點P(0-1)如圖所示計算且或則或即實數a的取值范圍， 」3 」解析：a<--或a>3-4-0—2，PA或k<kPB，a<-k或a>-kPA PB'3即實數a的取值范圍是：a<--或a>3.3故答案為：a<--或a>3.【點睛】本題考查直線的斜率與直線方程的應用問題，是基礎題..【解析】由正方體的幾何性質對4個命題進行判斷對于A當動點P與點重合時以等腰三角形與不垂直所以不能得出平面A為假命題；對于B易證所以平面所以平面，平面故B為真命題；對于C在底面上的射影圖形的面積為定值解析：BC【解析】由正方體的幾何性質對4個命題進行判斷，對于A,當動點P與點D1重合時，AMNP以等腰三角形，PM與ND1不垂直，所以不能得出平面MB1p1嗎,A為假命題；對于B,易證ND11MB,MB11A1D1，所以MB11平面ND1A1，所以平面MB1P,平面ND1A1，故B為真命題；對于C,AMB1p在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值，因為AMB1p在底面ABCD的射影是三角形，底邊是MB,點P在底面的射影在CD上，到MB的距離不變，若正方體棱長為a時，則射影面積為4a2為定值，所以c為真命題；對于D,當P點與點C1重合時，則點B1與點P的投影重合，此時AMB1p在側面D1cleD上的射影圖形是線段，不是三角形，故D是假命題。真命題有BC.點睛：本題主要考查面面之間的關系以及投影的概念，屬于中檔題，解決本題的關鍵是對正方體中的點線面之間的關系有比較透徹的了解，對其中的空間位置比較熟悉。.【解析】【分析】由題意可知曲線為圓的右半圓作出直線與曲線的圖象可知直線是過點且斜率為的直線求出當直線與曲線相切時k的值利用數形結合思想可得出當直線與曲線有兩個公共點時實數的取值范圍【詳解】對于直線則一(41解析：-,2V3.【解析】【分析】由題意可知，曲線C為圓G-1》+(y-1〉=1的右半圓，作出直線l與曲線C的圖象，可知直線l是過點(0,-2)且斜率為k的直線，求出當直線l與曲線C相切時k的值，利用數形結合思想可得出當直線l與曲線C有兩個公共點時實數k的取值范圍.【詳解】對于直線l:J=kx-2，則直線l是過點P(0,-2)且斜率為k的直線，對于曲線C:\；1-(y-1)2=x-1,則x-1>0nx>1,曲線C的方程兩邊平方并整理得(x-11+(y-1)=1,則曲線C為圓(x-1〉+(y-1〉=1的右半圓，如下圖所示：

k—1-2|_|k—3|_ 4當直線/與曲線c相切時，k>0，且有%=/7G=1，解得k=3,當直線/過點A（1,0）時，則有k-2=0，解得k=2.」4J 一結合圖象可知，當ke7,2時，直線1與曲線C有兩個交點.V3.r4j故答案為：TT,2.V3.【點睛】本題考查利用直線與曲線的交點個數求參數，解題的關鍵就是將曲線C化為半圓，利用數形結合思想求解，同時要找出直線與曲線相切時的臨界位置，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.19.【解析】【分析】以B為頂點三棱錐與四棱錐等高計算體積只需找到三角形AEF與四邊形ECDF的面積關系即可求解【詳解】設B到平面ACD的距離為h三角形ACD面積為因為是的中點在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】【分析】以B為頂點，三棱錐B-AEF與四棱錐B-ECDF等高，計算體積只需找到三角形AEF與四邊形ECDF的面積關系即可求解.【詳解】F在AD設B到平面ACD的距離為h,三角形ACD面積為S，因為E是F在ADS上，且2AFS上，且2AF=FD，所以廣F△ACDAE?AF1———二 SAC?AD6,nef6s,所以SECDF=5s6 ，1 1Sh=36，所以又1-BEF=2，所以3*Sh=36，所以一 1? 5V=Sh=——-36=10.B-ECDF 3ECDF18故答案為10.【點睛】本題考查空間幾何體的體積計算，考查空間想象能力和運算能力，屬于基礎題20.【解析】【分析】先由題得到點A在圓上再設出切線方程為利用直線和圓相切得到k的值即得過點A的圓的切線方程【詳解】因為所以點在圓上設切線方程為即kx-y-k+2=0因為直線和圓相切所以所以切線方程為所以解析：x+2y=5【解析】【分析】先由題得到點a在圓上，再設出切線方程為y-2=k(x-D,利用直線和圓相切得到k的值，即得過點A的圓的切線方程.【詳解】因為12+22=5，所以點A(1,2)在圓上，設切線方程為y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,因為直線和圓相切，所以'運=Jk+2 ,Jk=-1因為直線和圓相切，所以'運=<k2+(-1)2 21 1 -c所以切線方程為一5x-y+-+2=0,所以切線方程為x+2y=5,故答案為：x+2y=5【點睛】|Ax0+|Ax0+By0+C力.(2)點P(x0,y0)到直線I:Ax+By+C=0的距離d=三、解答題.：(1)見解析(II)16【解析】【分析】【詳解】(I)證明：因為DE1EF,CF1EF，所以四邊形平面CDEF為矩形，由GD=5,DE=4,GC=4<2,CF=4得GE=SGD2-CF2=3GF=GCC2-CF2=4,所以EF=5，在VEFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG1GF又因為CF1EF,CF1FG,

得CF1平面EFG,所以CF1EG，所以EG±平面CFG,即平面DEG±平面CFG;(II)：在平面EGF中，過點G作GH1EF于點H,貝°GH貝°GH二EG-GFEF12因為平面CDEF1平面EFG,得GH1平面CDEF,V=1S-GH=16CDEF3CDEF3.(1)證明見解析；(2)4.【解析】【分析】(1)證明AD16D,利用平面PBD1平面ABCD，交線為BD，可得AD1平面PBD，從而AD1PB；(2)作EF//BC，交PB于點F，連接AF，連接DF,APBD中，由余弦定理求得 3即可得出結論.cos/BPD=——二2J5，即可得出結論.【詳解】(1)證明：在^ABD中，QAD=2,AB=4,/BAD=60。，???由余弦定理可得BD=2<3，.二AD2+BD2=AB2，.二AD1BD.???平面PBD1平面ABCD，交線為BD,/.AD1平面PBD，又PBu平面PBD:.AD1PB.PP(2)解：作EF//BC，交PB于點F,連接AF,由EF//BC//AD可知A,D,E,F四點共面，連接DF，所以由(1)的結論可知，PB1平面ADE，當且僅當PB1DF.

在^在^PBD中，由PB=4,BD=2<3,PD=2芯,3余弦定理求得cos/bpd=-5,.?.在RtVPDF中，PF=PDcos/BPD=3,PEPF3因此九=——= =—PCPB4【點睛】本題考查立體幾何有關知識，考查線面、面面垂直，考查運算能力，屬于中檔題.徵（T【解析】【分析】（I）由題意結合線面垂直的判定可得AD1平面Be*B1，則/AC1D即為直線AJ與平面BCC面BCC1B1所成的角，求得AD=鼻AC1=55后即可得解;（II）作AE1A1B，垂足為E，連接A1C,CE,由題意可得BE=。，由余弦定理一9可得CE2=5，進而可得/BEC=90o，則ZAEC即為二面角A—A1B—C的平面角，再由余弦定理即可得解.【詳解】Q三棱柱ABC—A1B1cl是直三棱柱，???BB11平面ABC,，BB]1AD,QAB=AC,d是BC的中點，，AD1BC,又BB11BC=B, AD1平面BCC1B/???/AC1D即為直線ac]與平面BcqB]所成的角，QAb=AC=1,AA=2，.二AD=—,AC=vi+22=、5,TOC\o"1-5"\h\z1 2 1國_sin/ACD=AD-=2=工0，1AC<5 101??直線AC1與平面BCCB所成角的正弦值為S01 11 10（H）作AE1A1B，垂足為e，連接A1C,CE??.AB=AC1 1AE二"5QAB=AC=1,AA1=A1c=2由VABEsVA]BA??.AB=AC1 1AE二"5AB2+BC2—AC2在VABC中，cos/ABC=—t 1——1 i 2A]B?BC??在VEBC中，CE2=BE2+BC2—2BE?BC-cos/EBC=二CE2+BE2=BC2即/BEC=90o,?.ZAEC即為二面角A—AtB-C的平面角，491TOC\o"1-5"\h\z+——1 -AE2+CE2-AC2 ?+?1 2在VAFC中cosAAEC= =—— =在AEC中， 2AE-CE 22<53\；53.2x x 5 52面角A-AB-C的余弦值為§.【點睛】本題考查了線面角和面面角的求解，考查了空間思維能力和計算能力，屬于中檔題5/3(1)見詳解；(2)見詳解；(3)3.2【解析】【分析】⑴先證DM〃AP，可證DM//平面APC.(2)先證AP1平面PBC，得AP1BC,結合AC±BC可證得BC，平面APC.⑶等積轉換，由%-bcm=0-DBC，可求得體積?【詳解】⑴證明：因為M為AB的中點，D為PB的中點，所以MD是^ABP的中位線，MDPAP.又MDa平面APC,APu平面APC,所以MD〃平面APC.(2)證明：因為△PMB為正三角形，D為PB的中點，所以MD1PB.又MDPAP，所以ap工pb.又因為AP1PC,PBIPC=P，所以AP1平面PBC.因為BCu平面PBC，所以AP1BC.又因為BC1AC,ACcAP=A,所以BC1平面APC.(3)因為AP1平面PBC,MDPAP,所以MD