勾股定理的PCK內涵解析

一、PCK的內涵及已有研究講述PCK是學科教學知識(PedagogicaiContentKnowledge)的簡稱，最早是由美國舒爾曼(Schulman)教授于1986年提出來的。他認為這種知識是學科知識在教學應用中的轉換形式，是特定的內容與教學法的整合或轉換，是教師獨特的知識領域，是他們專業理解的特殊形式。具體來說，就是“對于一個人的學科領域中最一般的要教授的內容，表達那些概念的最有用的形式，最有效的比喻、說明、例子、解釋以及演示——一句話，就是使人易于懂得該學科內容的表達和闡述方式”，它還包括“知道不同年齡和背景的學生在學習那些最經常教授的課題時已具有的一些日常概念和先人之見，這些日常概念和先入之見會使具體內容的學習變得容易或困難”[1]。1990年，格羅斯曼(Grossman)作為舒爾曼理論的繼承者，對于學科教學知識概念給予了重要闡釋。他認為PCK由四部分組成：(1)教師關于一門學科教學目的的統領性觀念——關于學科性質的知識、關于學生學習哪些重要內容的知識或觀念；(2)關于學生對某一課題理解和誤解的知識；(3)關于課程和教材的知識，它主要指關于教材和其他可用于特定主題教學的各種教學媒體和材料的知識，還包括了學科內容特定主題如何在橫向和縱向上組織和結構的知識；(4)特定主題教學策略和表征的知識[2]。PCK在上世紀90年代引起國外眾多學者的重視和研究興趣；我國最早引介的文章見于2000年；自2005年以來，PCK日益成為我國教學研究和教師教育研究的熱點問題。但只有為數不多的研究者嘗試將PCK理論應用到學科教學問題中，如科學、外語、數學。國內關于數學學科的PCK研究，筆者目前查閱到的主要文獻共有22個，其中期刊文章17篇，博士論文4篇，專著1本。研究內容主要涉及教師PCK的對比研究、PCK的來源及發展、PCK的結構、以PCK為分析框架的案例分析等。二、研究緣起1.為什么要研究勾股定理的PCK內涵從上述研究內容我們可以發現，對于某個特定課題的PCK內涵還缺乏研究。而這恰恰是筆者最為關注的問題，同時筆者還認為這是研究教師PCK相關問題的基礎，鑒于此，筆者把“勾股定理的PCK內涵”確定為自己的研究主題。2.為什么選擇勾股定理這個內容勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系。它與（歐氏）幾何中的許多數學命題有著密切的聯系，是幾何的基本定理之一，陳省身教授認為它是幾何的兩個最主要的定理之一。勾股定理在數學發展史上具有重大的意義：它的證明是論證數學的發端；它是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何和代數聯系起來的定理；它導致了無理數的發現，引起了第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；它是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程，引出了費馬大定理；它是歐式幾何的基礎定理，并有巨大的實用價值。[3]勾股定理是初中平面幾何中有關度量的最基本定理之一，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，學習勾股定理及其逆定理是進一步認識和理解直角三角形的需要，也是后續有關幾何度量運算和代數學習必要的基礎，其在現實生活中也具有普遍的應用性。在數學教科書中，勾股定理一般出現在八年級，而八年級被認為是學生學習數學的一個重要發展階段，也即具體思維向形式化思維轉變的時期。所以可以說，勾股定理教學也處于學生數學思維轉折階段。但另一方面，勾股定理的教學卻始終是一個難點。讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的。基于以上理由，筆者選擇勾股定理這個內容作為研究數學教師PCK的切入點。三、理論框架及研究問題1.理論框架在舒爾曼和格羅斯曼的理論基礎上，我們根據需要對教師的PCK內涵進行了改進，使之成為分析數學教師特定課題PCK的理論框架。這個框架包括以下四個方面的內容：(1)學科某個特定課題的內容及其教育價值；(2)學科某個特定課題與其他內容的聯系；(3)學生學習這個特定課題過程中的經驗和可能出現的困難；(4)幫助學生學會這個特定課題的教學策略。雖然PCK是上述四個方面的有機統一體，但在研究教師的PCK時，我們需要采用還原分析的方法，將PCK解析為上述四個方面。下面就對這四個方面進行簡要的闡述。(1)學科某個特定課題的內容及其教育價值教師在教授某個特定課題之前應該對這個特定課題的知識內容有清晰的認識，并且能夠根據對這個課題的理解挖掘出它的教育價值，包括知識和方法的應用價值，知識探索、形成或應用過程中的思維價值，學習過程中對于人的情感態度價值觀形成的價值。(2)學科某個特定課題與其他內容的聯系教師不應將某個特定課題當成一個孤立的內容教給學生，因此教師需要了解：在學習該特定課題之前，學生已經學過了哪些相關的內容，今后還要繼續學習的相關內容是什么，這些內容之間的實質性聯系是什么；該特定課題與哪些課題在思想方法上有著實質性的聯系。(3)學生學習這個特定課題過程中的經驗和可能出現的困難困難一方面指的是特定課題本身給學生學習帶來的困難，另一方面指的是由于不同學生的認知水平差異而造成的對于該特定課題的典型誤解。在學習某一特定課題之前，教師需要了解學生已有的學習經驗和可能存在的困難，以在教學中更好地利用學生的已有經驗及使用適宜的教學策略幫助學生克服困難。教師可以通過測試、訪談、課堂觀察等方式了解學生已有的經驗和困難。(4)幫助學生學會這個特定課題的教學策略教學策略主要指教學內容的選擇與組織，教學內容的表征與呈現手段，學生學習活動的設計。使用什么樣的教學策略基于教師對某個特定課題PCK前三個方面的理解。使用的教學策略一方面要能夠幫助學生克服學習該課題可能遇到的困難，另一方面還要能夠充分發揮該課題的教育價值。2.研究問題在上述理論框架下，本研究的研究問題是：勾股定理的PCK是什么？即具體研究以下四個問題：(1)勾股定理的內容及其教育價值是什么？(2)勾股定理與其他數學內容的聯系是什么？(3)學生在學習勾股定理時可能出現的困難是什么？(4)幫助學生學習勾股定理的教學策略有哪些？四、研究方法本研究主要采用課例研究方法，將文獻分析、錄像帶分析、教學設計文本分析、課堂觀察與問卷調查相結合。課例選擇：新課標教材勾股定理第一課時。文獻分析主要分析并試圖回答研究問題中的前兩個問題。在文獻分析的基礎之上，筆者還觀看了兩節北京市市級骨干教師的錄像課，現場聽課兩節（重點中學和農村中學各一節），分析了若干篇教學設計（包括公開發表的以及未發表的），并對24名北京市市級骨干教師進行了問卷調查，主要分析并試圖回答研究問題中的后兩個問題。五、研究的主要結論1.勾股定理的內容及其教育價值(1)勾股定理的內容從代數角度敘述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么。從幾何角度敘述：以直角三角形斜邊為邊的正方形的面積等于以直角三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和（如圖1）。圖1(2)勾股定理的教育價值①在勾股定理的發現、驗證中蘊含著豐富的思維材料，是發展學生探究能力不可多得的素材，通過讓學生經歷勾股定理的探索和證明過程，有助于豐富學生的數學活動經驗：探究圖形的基本元素之間的關系、多角度探究幾何結構、經歷空間推理過程，體驗數形結合的思想方法；有助于學生獲得更多的數學工具去探索和了解我們生存的空間；有助于發展學生的推理能力，理解證明的意義和過程，體會推理和證明的力量。②勾股定理具有幾何和代數的雙重特征，是幾何與代數的橋梁，勾股定理的證明主要有三種方法——演繹法、變換法（拼圖法）和代數法，通過對變換法（拼圖法）的學習，有助于學生感受運動和變換。③勾股定理的發現、驗證及應用的過程蘊涵了豐富的文化價值，通過讓學生了解勾股定理的歷史、人類對它的研究、它的廣泛應用等，有助于激發學生的學習興趣和自豪感，并體會它的重大意義和文化價值。2.勾股定理與其他數學內容的聯系(1)橫向聯系勾股定理與初高中的其他數學內容有著廣泛的聯系，如初中的無理數、方程、三角函數、四邊形、圓和變換，高中的立體幾何和平面解析幾何。(2)縱向聯系小學階段，學生已經了解了三角形三邊之間的關系：兩邊之和大于第三邊。初中階段，在學習勾股定理之前，學生探索并掌握了直角三角形的性質：斜邊上的中線等于斜邊的一半，30°角所對直角邊是斜邊的一半。而勾股定理從邊的角度進一步定量刻畫了直角三角形的特征，加深了學生對直角三角形的認識和理解。高中階段，學生繼續學習任意三角形中邊長與角度之間的數量關系，需要掌握正弦定理和余弦定理，而勾股定理就是余弦定理的一種特殊情況。從上述學習鏈條我們可以發現，學生對于三角形邊角關系的學習，經歷了從定性到定量，一般到特殊再到一般的過程。3.學生在學習勾股定理時可能出現的困難雖然勾股定理的證明方法據說超過400種，但是讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的，而且，從讓學生體驗知識發現過程的角度講，要想讓學生“再發現”勾股定理更是難上加難。[4]對北京市市級骨干教師的問卷調查結果也表明，70.6%的老師認為勾股定理的證明思路難以想到。通過教學設計文本分析進一步可以發現在勾股定理第一課時的學習過程中，學生可能出現的困難主要是勾股定理的發現和證明思路的獲得。4.幫助學生學會勾股定理的教學策略通過課例分析發現，目前探究勾股定理常用的教學方法有兩種，一種是讓學生測量直角三角形三條邊的長，讓學生猜想三條邊長之間的數量關系，但采用這種方式，學生是不容易猜想出三邊之間的平方關系的，一是測量本身有誤差，二是學生很難想到平方關系。第二種探索勾股定理的方法是利用如下方格紙（圖2、圖3）進行探究。首先讓學生計算直角三角形三邊的平方分別是多少，只要能計算出三邊的平方，直角三角形三邊之間的平方關系就很容易猜想出來。而直角三角形邊長的平方實際上就是每邊上的正方形的面積。其中正方形1和正方形2的面積可以通過數方格的方法直接數出來，而斜邊上正方形（正方形3）面積的計算則有一定的困難。常用的方法有“割”，如圖4、圖5所示。另一種常用的方法是“補”，如圖6、圖7所示。上述在方格紙上運用內割法或外補法求斜邊上正方形面積的活動蘊含了勾股定理的證明思路，由圖5可得：，由圖7可得：，化簡之后就得到。因此，利用方格紙探究可以幫助學生較順利地猜想出直角三角形三邊的關系，同時水到渠成地獲得定理的證明，使勾股定理的學習一氣呵成。證明勾股定理有的老師采取的是直接告訴的策略，這種方法雖然能夠讓學生知道勾股定理的各種證明方法，但是卻失去了培養學生思維能力的良好契機。還有的老師課前讓學生準備四個全等的直角三角形，讓學生用這四個直角三角形進行拼圖，拼成含有至少一個正方形的正方形。通過筆者的課堂觀察發現，在農村中學，學生拿著這四個全等三角形不知如何擺放，拼不出正方形來。而在北京排名靠前的重點中學的重點班，學生則能夠比較順利地拼出如下（圖8、圖9）兩個正方形。由此可見，采用讓學生動手操作的策略（拼圖）啟發學生獲得證明勾股定理的思路比較適合重點中學的學生。綜上，利用方格紙溝通猜想與證明的關系是較好的教學策略。六、思考及有待進一步研究的問題要清晰界定勾股定理的PCK是一件不太容易的事情，尤其是勾股定理：PCK的第(3)(4)方面，因為學生的狀況太復雜。上述研究事實上并未對學生進行分層，所呈現的困難和策略都是針對“大多數”學生而言的，另外，即使是同一種教學策略，在真實的課堂教學中，教師的具體處理也是不同的，效果自然也不一樣。另外，筆者一直有一個困惑，教師采用何種教學策略是否一定受他PCK前兩方面知識的影響？比如說，教師讓學生探索勾股定理的證明方法而不是采取直接告知的教學策略，是因為該教師知道勾股定理對于學生的思維價值，還是新課程倡導探究的學習方式？再比如說，教師采用方格紙的策略幫助學生探索勾股定理，是因為該教師自己清楚勾股定理中包含的面積關系、方格紙能夠溝通猜想和證明之間的關系，還是教材當中提供了方格紙這樣一種方法？事實上，筆者曾經在所任教的兩個數學教師培訓班問過同樣一個問題，那就是你如何看待教