考點8-2橢圓及其性質1．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據離心率及，解得關于的等量關系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.2．（2019·福建·高考模擬（文））設圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線r上存在點P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，則曲線r的離心率等于A． B．或2 C．2 D．【答案】A【詳解】試題分析：根據題意可設出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲線為橢圓和雙曲線兩種情況，分別利用定義表示出a和c，則離心率可得．解：依題意設|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲線為橢圓則2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t則e==，若曲線為雙曲線則，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故選A點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．關鍵是利用圓錐曲線的定義來解決．3．（2020·浙江·高考模擬（文））如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點.若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是A．3 B．2 C． D．【答案】B【詳解】是雙曲線的兩頂點，將橢圓長軸四等分橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的倍雙曲線與橢圓有公共焦點，的離心率的比值是故答案選4.（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據對稱性將的周長轉化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.5．（2021·福建·高考模擬（理））橢圓的左右焦點分別為,焦距為，若直線與橢圓的一個交點滿足,則該橢圓的離心率等于_____【答案】【詳解】注意到直線過點即為左焦點，又斜率為，所以傾斜角為，即．又故，那么．，，．【考點定位】考查離心率的算法，要求學生要有敏銳的觀察力，比如直線的特征．屬于難題．6.（2022·全國·高三練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點M在橢圓C上，若，則該橢圓的離心率不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，代入中，可得，再利用，即可求出離心率的取值范圍，從而可判斷出離心率不可能的值【詳解】設．因為點M在橢圓C上，所以，所以．因為，所以，解得．由題意可知，即．由，可得，即，顯然成立．由，可得，則．又，所以，因為，，，，故選：A．7．（2022·湖北武漢·高三開學考試）已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與交于A，B兩點.若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件以及橢圓的定義,將,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【詳解】設,則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C8．（2022·北京市十一學校高三模擬）已知橢圓C：（）的左?右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．.【答案】B【分析】由題設以線段為直徑的圓為，根據直線與圓相交，利用點線距離公式列不等式求橢圓C的離心率的范圍.【詳解】由題設，以線段為直徑的圓為，與直線相交，所以，可得，即，又，所以.故選：B9.（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為分別為橢圓的上、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為若則直線的斜率為___.【答案】【分析】由，可得的值，即可求出的值，設，可得，從而可得，進而由，可求出.【詳解】由題意，，解得，因為，所以，故.設，則，即，則，因為，所以，所以，故.故答案為：10．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：1的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．【答案】(，]【分析】設，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關系，代入、換元，求出e的范圍.【詳解】設，由，知，因為，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.11.（2022·陜西·西北工業大學附屬中學模擬預測（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對變形得到，進而得到以，結合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉化，需要作出輔助線，結合內心的性質得到三角形三邊關系，求出離心率.12．（2021·江蘇省天一中學高三預測）如圖，設、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，由已知條件及橢圓、圓的性質得，，且，根據勾股定理列方程求x，進而求橢圓離心率.【詳解】連，若，則，，，又，則，即，得，又，即，代入得.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：根據橢圓的定義、圓的性質，由垂直關系，利用勾股定理列齊次方程求離心率.13．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與過的直線交于點，線段的中點為，線段的垂直平分線與的交點（第一象限）在橢圓上，若為坐標原點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的中位線、線段的中垂線、橢圓的定義對轉化，用P點的坐標表示，通過P點在第一想象的范圍，求出范圍.【詳解】如圖所示，點在軸右邊，因為為的垂直平分線，所以．由中位線定理可得．設點．由兩點間的距離公式，得，同理可得，所以，故，因為，，所以，+故，所以．因為，所以．故的取值范圍為．故選：D．【點睛】本題考查了橢圓的定義、直線和橢圓的關系、三角形中位線和線段的中垂線的幾何性質，考查了數學運算能力和邏輯推理能力，轉化的數學思想，屬于難題.14．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：1的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．【答案】(，]【分析】設，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關系，代入、換元，求出e的范圍.【詳解】設，由，知，因為，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.15．（2022·全國·高三專題練習（文））已知橢圓的方程為，，為橢圓的左右焦點，P為橢圓上在第一象限的一點，I為的內心，直線PI與x軸交于點Q，橢圓的離心率為，若，則的值為___________.【答案】