先學后教，全程評價，合理引導，及時鞏固

一、教學內容簡介（“一元二次方程”復習）1.內容分析一元二次方程是初中階段學習的最后一類方程，是在學習了平方根、整式的因式分解、一元一次方程的基礎上進行的學習內容，其同解原理與一次方程及分式方程有所不同。基本的同解原理有：(1)方程等價；(2)方程(x-a)(x-b)=0等價于x-a=0或x-b=0。解一元二次方程需要同時用到等式的基本性質（方程兩邊都加上同一個數或整式，等式仍然成立；等式兩邊都乘以同一個不為0的數或整式，等式仍然成立）和上述兩個基本原理。另一方面，方程是刻畫數量關系的典型模型，一元二次方程是最基本的代數方程之一，它在今后的二次函數研究、解析幾何中的圓錐曲線研究、二階微分方程的學習（微分方程的特征方程）中有基礎性作用；同時它是刻畫面積、距離等度量屬性和生活中兩個線性變量的乘積關系的重要數學模型，在數學領域以及生活領域有著廣泛的應用。2.學情分析學生經歷了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程的解法和應用的學習，也經歷了一元二次方程的解法和應用的學習，具有方程解法和應用的初步經驗，但對一元二次方程模型和解法的認識是初步的，沒有形成系統的知識結構。3.復習重、難點重點是從數和形兩個方面理解一元二次方程的本質，通過一元二次方程的實際應用活動加深對方程建模的體驗；難點是從一元二次方程的代數結構及其幾何意義的角度對其基本應用進行合理歸類和總結。4.學習目標(1)以實際問題為背景線索，能獨立回顧一元二次方程的相關知識，并能進行初步的知識組織，通過相互交流建立一元二次方程的相關知識結構；(2)會根據一元二次方程的特點選擇合理的方法解一元二次方程；會用判別式判斷一元二次方程根的情況，會用根與系數之間的關系檢驗解方程結果的正確性；會根據實際問題建立一元二次方程模型并通過解方程解決問題；初步學會從一元二次方程的本質（代數結構和幾何意義解釋）出發對一元二次方程的應用進行歸類；(3)通過實際問題的解決，體會方程模型是描述實際問題中數量關系的重要模型，感受數學來源于生活、應用于生活。二、教學設計思路第一課時激發動機，明確任務，自主復習在本課時中，教師為學生創設知識回顧和組織的線索，使學生明確自主回顧和重組知識結構以及進行知識運用的學習任務，這些都以學案的形式發給學生。一元二次方程復習學案一元二次方程是刻畫現實問題的重要模型，請大家從簡單的面積問題開始：引例矩形的周長為14，面積為10，求這個矩形的邊長。(1)你所設的未知數是______，列出的方程為______。(2)試用盡可能多的方法解出你所列的方程。(3)怎樣檢驗你所得到的解正確與否？(4)試寫出這個問題的解題過程。(5)若周長不變，面積為15，求這個矩形的邊長。(6)若矩形周長為14，猜想：這個矩形的最大面積是多少？總結：由上述問題的解決過程能想到一元二次方程的哪些知識和方法？試用適當的方法寫出來。基礎訓練7.某市2008年國內生產總值(GDP)比2007年增長了12%，由于受到國際金融危機的影響，預計2009年比2008年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的關系是()。(A)12%+7%=x%(B)(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)(C)12%+7%=2x%(D)8.選擇適當的方法解方程，并檢驗根的正確性（限時5分鐘）：綜合應用9.2009年以來，H1N1在全球蔓延，某城市一例輸入病人把病毒傳給了一批人（稱為一代傳染），而被傳染者又各自把病毒傳染給另一批人（稱為二代傳染），當局發現1641人被傳染后進行了流行病調查，確認這些病人中除了輸入性病例1人外均屬于一代或二代被傳染者，試問，在該城市H1N1病毒平均每代傳染了多少人？10.某商店經營一種水產品，成本為40元每千克，據市場分析，若按50元每千克銷售，一個月能售出500千克；銷售價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產品的銷售情況，若該商店想從這批水產品銷售中獲得8000元的毛利潤（毛利潤＝銷售收入－進貨成本），應該把銷售價格定為多少？11.把一張8K的試卷進行對折再對折，會有什么發現？會求8K紙和16K紙的長與寬的比值嗎？這兩個比值有什么關系？問題：如果把一張矩形紙片進行上述的對折再對折，每次對折后對應的鄰邊的比值相等，求這個不變的比值。12.如果一條平行于直線y=-2x的直線被坐標軸截得的線段長為，求這條直線與坐標軸的交點坐標。13.在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0，2)。(1)試討論過點A的直線與反比例函數圖象交點的個數；(2)當直線與反比例函數的每個象限中的圖象有且只有一個交點時，叫這條直線是反比例函數圖象的切線，寫出過點A的反比例函數圖象的切線的解析式。14.如圖1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P是CD上一動點，CP的長為t，把矩形沿著對角線BD對折，點P的對應點為Q。圖1(1)如圖2，若點Q落在邊AB上，求t的值；此時，四邊形BPDQ是什么四邊形？證明你的結論；圖2(2)如圖3，如果△PCB的外接圓與AD相切，求此時t的值；圖3(3)如圖4，設PQ與BD交于點F，以BF為直徑的圓與直線DQ相切，求t的值。圖415.如圖5，在平面直角坐標系中，△BCA是直角三角形，∠BCA=90°，點A(-15，0)，AB=25，AC=15，點C在第二象限，P是y軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉。使邊AO與AC重合，得到△ACD。(1)求直線AC的解析式；(2)當點P運動到點(0，5)時，求點D的坐標及DP的長；(3)是否存在點P，使△OPD的面積為5，若存在，試求出符合條件的點P的坐標；若不存在，試說明理由。圖5第一課時的任務是根據引例回顧和重組一元二次方程的相關知識結構，完成1～8題的基礎練習，而9～15題作為課后作業（其中9～13題為中等難度問題，所有學生必做，14～15題為較難題，由學生選做），當天放學后，收回學生的學案，進行答題分析，分析哪些問題是學生容易解決的，哪些問題是有幫助需求的，確定第二課時中重點分析的樣例。【說明】本課時為學案導學，為學生的自主復習提供問題背景線索，讓學生通過解決引例中的問題以及反思問題解決順利回顧一元二次方程的概念、解法、根的判別、韋達定理等相關知識，在此基礎上讓學生進行自主的知識重組活動。通過1～8題的基礎練習鞏固相關知識；通過9～13題的中等難度的一元二次方程建模問題感受方程建模中的審題、尋找相等關系的過程；體會運用一元二次方程解決問題的基本過程；初步感受一元二次方程的基本應用問題。同時，通過分析學生完成學案的情況進行交流指導課前的前置性評價，評估學生相關知識學習中的優勢與不足，為進行有針對性的復習交流指導課教學決策提供依據。第二課時相互交流，合理引導1.讓學生相互交流自己的知識回顧與重組結果，教師進行適當引導。學生可以根據自己的喜好進行知識的組織，教師也展示自己的知識組織結構（如圖6所示）。圖62.一元二次方程的基本解法測試與總結。測試一下解一元二次方程的水平（限時5分鐘）。3.方程的應用：從不同的觀點看一元二次方程。(1)從引例“矩形的周長為14，面積為10，求這個矩形的邊長”出發，如果把一元二次方程看作(ax+b)(cx+d)=k，a、b、c、d、k為常數，可以構成面積問題（如圖7所示）。圖7問題1：能把這個問題中的邊長和面積用其他具有實際意義的量表示，使這個問題變成一個實際問題嗎？問題2：如果涉及成本、銷售價格和利潤等問題，則可以讓矩形的邊長固定一部分，變化一部分（如圖8所示），則可以構成學案中題10的問題。圖8問題3：如果矩形的一組鄰邊長同步增長（如圖9所示），則可以構成連續兩次變化的變化率問題。圖9例如，可以形成如下的問題：(1)某城市的商品房均價從7月份的6000元每平方米漲到9月份的9000元每平方米，求該城市這兩個月商品房均價的月平均增長率。(2)根據勾股定理，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，利用這一定理，可以求兩點之間的距離的平方，這樣也可以構建一元二次方程，如學案中的題12、14、15。(5)在上述(1)～(3)的學習活動中，引導學生通過相互交流體會怎樣建立方程模型，從中感悟方程模型的應用（如圖10所示）。圖104.引導學生總結一元二次方程應用的基本類型（從方程式的不同意義解析出發）：面積型、距離型、交點型、比例型。5.引導學生總結尋找等量關系，建立方程模型的基本方法：尋找聯系已知與未知的基本結構模型、畫結構流程圖、用式子表示數量、用等式表示數量關系。【說明】本課時是交流指導課，是教師進行合理引導的核心教學活動。本課時的核心任務是：(1)引導學生交流上一節課的自主復習活動的成果，交流對一元二次方程的基本知識的理解，交流自己的知識整理結果，同時接受同伴與教師的指導，優化知識結構；(2)進行一元二次方程相關知識的查漏補缺和解一元二次方程的課堂限時測試；同時，基于一元二次方程的基本應用類型，選擇有代表性的例題進行方程建模的分析交流，通過對面積問題的實際意義的不同解析，編制出行程問題、銷售問題和二次變化率問題，使學生對一元二次方程應用的4種基本類型有較深刻的理解，在此基礎上對一元二次方程的基本應用類型進行及時總結；(3)引導學生反思方程建模的基本過程，總結方程建模時思考的基本程序。第三課時查漏補缺，及時鞏固第二課時后，以學案上未完成的問題為課后作業，教師收回學生的作業后，讓優秀的學生批改其他學生的作業。上課時，先讓做對的學生把自己的想法講給有困難的學生聽，再讓有困難的學生展示解題過程，由幫他的學生進行補充說明，對確實有困難的學生，或普遍有困難的問題（如學案中的題14、15），進行適當的引導或分析講解。【說明】本教學活動是在對學生復習結果進行評價的基礎上進行的。一般地，第二課時的教學以基礎檢測、基本技能訓練和基本思維訓練為主，其例題一般為中等及以下難度水平，對于較難的綜合性和學生普遍有困難的問題，需要在本課時教學中進行集中分析和指導。二、課例的特點1.為學生的復習活動提供了體現一元二次方程本質的學習線索認知心理學研究表明，學習活動的線索直接影響著個體知識的記憶和提取，而突出學科本質聯系的復習活動線索能有效提高學生對相關內容的學科知識本質以及學科思想觀念的認知水平。從代數角度認識一元二次方程，就是含有一個未知數且未知數最高次數為2的用等號連接的式子；從圖形的角度去理解，則可以理解為面積與線段長度的關系、線段的成比例關系、直線與圓錐曲線的交點坐標、平面上的距離關系的坐標表示等；從生活實際意義理解，則可看成是諸如價值、價格、數量之間的二維關系，工作總量、工作時間、工作效率之間的二維關系，二次變化率問題（它們都是二次函數模型所刻畫的變量之間的關系）。生活實際中的問題，本質上是數學模型中二維度量與其中的一維度量之間的數量關系的生活意義解釋，行程問題、工程問題、銷售問題最終歸結為(ax+b)(cx+d)=y+m的問題，而二次增長率問題則是a(1+bx)(1+cx)=d的問題，這幾類生活實際問題，可以歸結為幾何中圖形的面積變化問題。綜上所述，一元二次方程的應用問題可以劃分成以下基本數量關系模型：(1)面積度量關系問題；(2)線段成比例問題；(3)坐標平面上的距離問題；(4)坐標平面上直線與圓錐曲線的交點問題。在本教學案例的學案設計和教學過程中充分體現了以一元二次方程的上述本質屬性為學習活動線索的基本思想。2.采取學案與教案相結合，學案前移的方法此方法使學生在教師集中教學前有比較充分的自主復習的時間，在自主復習中，采用任務驅動、線索引導的方法保證學生學習的專注和合理的復習活動定向。讓學生獨立進行知識的回顧與重組、基礎訓練和典型應用等認知活動，體現了引導學生“能做的事盡量自己做”的基本教學思想，確保學生廣泛而有深度地參與數學復習活動。3.為學生提供了訓練機會從獨立做到教師集中啟發后做再到二次指導下做，能最大可能地保證學生的成功率，另外，由于每次所做的是相同系列的問題，可以起到加深對典型問題的認識、豐富知識與典型問題聯結模式的作用。同時，隨著學習進程的推進，學生所要進行的訓練逐步減少，減輕了學生的學業負擔。在學生的獨立復習訓練活動中，教師應逐次評價，并根據學生的學習情況進行有針對性的指導，使評價真正起到為教學決策提供依據、診斷學生學習問題的作用，使復習指導盡可能地與學生的幫助需求相匹配。4.為學生提供了集中交流的機會在交流中學生能相互啟發，堅持讓學生把自己的思考過程講給同伴聽，通過表達和傾聽，不同層次的學生在課堂上都有不同的事做，都能收到良好的思維訓練效果。同時，在復習活動中，教師可以根據學情，進行從集體層面到個別層面的有針對性的指導，使學生特別是后進學生接受針對性指導的機會大大增加。三、思考1.復習是一種特殊的學習活動，是對已有知識經驗的再加工作為復習的學習活動具有重復性、綜合性、概括性和系統性等基本特征。(1)數學復習學習活動包括學生對相關知識經驗的回顧、組織（系統化）、概括抽象、運用和評價等活動，這種學習活動對學生參與的廣度和深度要求更高，隨著學習任務的更廣泛、更綜合，對任務的專注程度的要求也更高。(2)復習活動具有重復性，其基本內容是學生學習過的，但部分學生由于種種原因會有很多基礎知識的缺陷，因此，數學復習活動中要求教師的教學更有針對性，這種針對性來自于對學生學情的準確把握，這是建立在及時評價的基礎上的。(3)由于數學復習活動中知識經驗、思想策略的運用背景更復雜，學生往往需要在教師的啟發下反復思考才能比較深刻地理解知識、思想、方法、策略的要義，正常情況下這不是在一次操作中能夠達成的，需要多次反復，經歷嘗試—幫助—指導—再嘗試—再應用的過程，而所有這些，都需要在一定時間內集中進行有效的訓練，需要及時鞏固。2.當前的復習教學中存在的普遍現象(1)要么學生已經事先看了復習用書，對相關的內容有了初步理解，而教師再重復一遍（教師的教學對這些學生來說是無效的）；要么學生事先沒有準備而教師代替學生包攬了諸如知識回顧、組織、反思、運用等本應由學生做的事，學生在復習活動中只剩下做題目，學生參與復習活動的積極性低下。(2)缺乏對學情的全面了解，教學沒有針對性。(3)教師講的題目多，而學生會做的題目少；教師講過的題學生不一定會做，教師沒有講的題（特別是綜合題）學生根本沒有思路；教師要求的多，學生落實的少。(4)為了應對升學考試，以少