第三篇動力學理論力學第12章動能定理

整理ppt第12章動能定理

動能是物體因為運動而具有的機械能，它是作功的一種能力。動能定理描述質點系動能的變化與力作功之間的關系。求解實際問題時，往往需要綜合應用動量定理、動量矩定理和動能定理。動力學普遍定理動量定理動量矩定理動能定理矢量形式標量形式整理ppt力的功動能定理及其應用結論與討論質點與質點系的動能勢能、機械能守恒定律動力學普遍定理的綜合應用參考性例題第12章動能定理

功率、功率方程、機械效率整理ppt力的功力的功定義變力Fi的元功

需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函數的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W僅僅是Fi?dri的一種記號。M2M1常力對直線運動質點所作的功：

整理ppt力的功力的功定義變力Fi的元功

M2M1力

Fi在其作用點的軌跡上從

M1點到

M2點所作的功：

整理ppt重力的功

對于質點：

對于質點系:

力的功幾種常見力的功

其中：z1、z2分別是質點在初位置和末位置的z

坐標其中：zC1、

zC2分別是質點系質心在初位置和末位置的z

坐標重力的功與路徑無關。整理ppt彈性力的功

其中，1、2是彈簧初始位置和最終位置的變形量。力的功幾種常見力的功

彈性力的功與路徑無關。整理ppt

定軸轉動剛體上作用力的功剛體以角速度ω繞定軸z轉動，其上A點作用有力F

，則則力F的元功為——力F

對軸z的矩

于是，力在剛體上由1轉到2時所作的功為力的功作用在剛體上力與力偶的功

整理ppt

定軸轉動剛體上外力偶的功

若力偶矩矢量為M

，則力偶所作之功為其中Mz為力偶矩矢M

在z軸上的投影，即力偶對轉軸z的矩。力的功作用在剛體上力的功、力偶的功

整理ppt假設扭簧上的桿處于水平時扭簧未變形，且變形時在彈性范圍之內。變形時扭簧作用于桿上的力對點O之矩為其中k為扭簧的剛度系數（扭轉單位角度所需要的力矩）。

θ為扭簧的扭轉角度。思考題：扭轉彈簧力矩的功

?力的功當桿從角度θ1轉到角度θ2時，扭轉彈簧力矩所作的功為?

整理ppt

質點系的內力總是成對出現的，且等值、反向、共線。因此，質點系的內力對質點系的動量和動量矩沒有影響。力的功內力作功的情形

事實上，在許多情形下，物體的運動是由內力作功而引起的。當然也有的內力確實不作功。*

人的行走和奔跑是腿的肌肉內力作功。

*所有的發動機從整體考慮，其內力都作功。*

機器中有相對滑動的兩個零件之間的摩擦力是內力，作負功。*有勢力的內力作功，如系統內的彈簧力作功。那么，質點系的內力對質點系作不作功呢？整理ppt

剛體內任何兩點間的距離始終保持不變，所以剛體的內力所作功之和恒等于零。

*剛體的內力不作功

力的功不作功的力*理想約束約束反力不做功

光滑的固定支承面、軸承、光滑的活動鉸鏈、銷釘和活動支座都是理想約束。理由是它們的約束力不作功或作功之和等于零。

柔性約束也是理想約束。因為它們只有在拉緊時才受力，這時與剛性桿一樣，內力作功之和等于零。整理ppt*純滾動時，滑動摩擦力(約束力)不作功OC*FFN約束力不做功的約束稱為理想約束

C*

為瞬時速度中心，在這一瞬時C*點的速度為零。作用在C*點的摩擦力F所作元功為vO理想約束的約束反力不做功

力的功不作功的力整理ppt質點系的動能與剛體的動能質點系的動能

剛體的動能

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整理ppt質點系的動能與剛體的動能質點系的動能

物理學中對質點的動能的定義為

質點系的動能為質點系內各質點動能之和。

動能是度量質點系整體運動的另一物理量。動能是正標量，其數值與速度的大小有關，但與速度的方向無關。

整理ppt

設重物A、B的質量為mA=mB=m，三角塊D的質量為m0

，置于光滑地面上。圓輪C和繩的質量忽略不計。系統初始靜止。解：重物A、B的運動可以看成質點的運動，三角塊D做平動，也可以看成質點的運動。

開始運動后，系統的動能為

其中

質點系的動能與剛體的動能質點系的動能——例題1

求：當物塊A以相對速度下落時系統的動能。

整理ppt或者寫成質點系的動能與剛體的動能質點系的動能——例題1

？整理ppt質點系的動能與剛體的動能質點系的動能——例題1

注意到,系統水平方向上動量守恒，故有怎樣求vD(用vr表示vD)?整理ppt

通過本例可以看出，確定系統動能時，注意以下幾點是很重要的：系統動能中所用的速度必須是絕對速度。需要綜合應用動量定理、動量矩定理與動能定理。

正確應用運動學知識，確定各部分的速度。質點系的動能與剛體的動能質點系的動能——例題1

整理ppt●平移剛體的動能

剛體平移時，其上各點在同一瞬時具有相同的速度，并且都等于質心速度。因此，平移剛體的動能

上述結果表明，剛體平移時的動能，相當于將剛體的質量集中于質心時的動能。

質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

整理ppt剛體以角速度繞定軸

z轉動時，其上－點的速度為：

因此，定軸轉動剛體的動能為

質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

●定軸轉動剛體的動能

其中

為剛體對定軸z的轉動慣量。

整理ppt

平面運動剛體的動能，等于隨質心平動的動能與相對質心轉動動能的和。質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

●平面運動剛體的動能

設P為平面運動剛體某瞬時的速度瞬心，

則剛體的動能為：整理ppt質點系的動能與剛體的動能剛體的動能

思考題：均質圓盤質量為m，在平面上做純滾動，輪心速度為vo，求圓盤的動能？OvO問：若質量m集中在輪緣上，輪在平面上做純滾動，輪心速度為vo，求輪的動能？整理ppt

坦克或拖拉機履帶單位長度質量為ρ，輪的半徑為r，輪軸之間的距離為d，履帶前進的速度為v0。求：全部履帶的總動能。dC2C1rv0

質點系的動能與剛體的動能——例題2

整理ppt解：把履帶看成一質點系在C1C2

上建立平動坐標系C1x′y′，則牽連運動為水平平移，牽連速度為v0。

相對運動為繞在兩個作定軸轉動圓輪上履帶的運動。圓輪的角速度為ω＝v0/r,履帶上各點的相對速度均為v0。dC2C1rx′y′v0

質點系的動能與剛體的動能——例題2

整理ppt

因此，全部履帶的總動能為：解：質點系的動能等于系統跟隨質心平移的動能與相對于質心平移系運動的動能之和。（柯尼希定理）dC2C1rx′y′v0

質點系的動能與剛體的動能——例題2

整理ppt動能定理及其應用質點系的動能定理

動能定理應用舉例

第12章動能定理

整理ppt質點的動能定理的微分形式：質點的動能定理的積分形式：

動能定理及其應用質點系的動能定理

整理ppt質點系的動能定理的微分形式：動能定理及其應用質點系的動能定理

所有可以作功的力——既包括外力，也包括內力；既包括主動力，也包括約束力。在理想約束系統中，只包括主動力(外力和內力)。質點系的動能定理的積分形式：整理ppt動能定理及其應用質點系的動能定理

整理ppt均質圓輪A、B的質量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉動，B處摩擦不計。物塊C的質量也為m。A、B、C用無質量的繩相聯，繩相對B輪無滑動。系統初始為靜止狀態。試求：1．當物塊C下降高度為h時，輪A質心的速度以及輪B的角速度。2．系統運動時，物塊C的加速度。

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

整理ppt解：以整個系統為研究對象。

1．運動分析，確定各部分的速度、角速度，寫出系統的動能

注意到輪A作平面運動；輪B作定軸轉動；物塊C作平移。于是，系統的動能：根據運動學分析，得到動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

整理ppt解：2.確定所有力的功：

3．應用動能定理的積分形式：

由此解出物塊C的重力作正功，輪A的重力作負功，約束反力不作功。于是，所有力的總功為動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

整理ppt解：4．確定物塊C的加速度：

將下降高度h視為變量，其對時間的一階導數即為物塊C的速度因為物塊C作直線平移，故有

于是，物塊C的加速度為

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題3

整理ppt根據動能定理的微分形式力的功率由下式計算作用在轉動剛體上力的功率為

功率方程、機械效率第12章動能定理

可以得到其中P為功率，上式稱為功率方程：質點系動能對時間的一階導數，等于作用于質點系的所有力的功率的代數和。整理ppt工程上,機器的功率分別有：輸入功率、輸出功率、損耗功率。其中：輸出功率是對外作功的有用功率；損耗功率是摩擦、熱能損耗等不可避免的無用功率。功率方程、機械效率第12章動能定理

這樣，對機器而言，功率表達式可以改寫為：整理ppt

任何機器在工作時都需要從外界輸入功率，同時也不可避免的要消耗一些功率，消耗越少則機器性能越好。工程上，定義機械效率為

這是衡量機器性能的指標之一。若機器有多級（假設為n級）傳動，機械效率為輸輸其中功率方程、機械效率第12章動能定理

整理ppt均質圓輪A、B的質量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉動，B處摩擦不計。物塊C的質量也為m。A、B、C用輕繩相聯，繩相對B輪無滑動。系統初始為靜止狀態。現在圓盤A的質心處加一不計質量的彈簧，彈簧剛度系數為k

求：系統的等效質量、等效剛度與系統的固有頻率。

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題4

整理ppt以整個系統為研究對象，作功的力A、B輪的重力和彈簧的彈性力。以物塊C的位移x為廣義坐標，靜平衡位置取為坐標原點系統的動能表達式為動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題4解：這是一個單自由度振動的剛體系統，現研究怎樣將其簡化為彈簧－質量模型。

整理ppt則動能表達式可以寫為

作用在系統上的外力所作之功為

由于系統初始于靜平衡狀態，對輪A、輪B

和物塊C

分別列出靜平衡方程，整理后，有

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題4其中δst為彈簧在系統靜平衡時的伸長整理ppt根據質點系動能定理，有

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題4兩邊對時間求導整理ppt化成標準方程,于是，剛體系統便簡化為一彈簧——質量系統。其振動方程為據此，系統的固有頻率為

動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題4即系統的等效質量為3m，等效剛度就是彈簧的剛度k整理ppt根據功率方程，有動能定理及其應用動能定理應用舉例——例題4利用功率方程求解

作用于質點系各力的功率之和為已求得整理ppt

勢能、機械能守恒定律返回返回總目錄第12章動能定理

有勢力和勢能

機械能守恒定律

整理ppt●有勢力

如果作用在物體上的力所作之功僅與力作用點的起始位置和最終位置有關，而與其作用點所經過的路徑無關（path-independent），這種力稱為有勢力或保守力(conservativeforce)。

勢能、機械能守恒定律

重力、彈性力等都具有這一特征，因而都是有勢力。整理ppt●勢能（potentialenergy）

承受有勢力作用的質點系，其勢能的表達式為

其中M

0

為零勢能位置，

M為所要考察的任意位置。

勢能是質點系從某位置運動到任選的零勢能位置時，有勢力所作的功。

勢能、機械能守恒定律整理ppt

由于零勢位置（零勢點）可以任選，所以，對于同一個所考察的位置的勢能，將因零勢位置（零勢點）的不同而有不同的數值。

為了使分析和計算過程簡便，對零勢能位置（零勢點）要加以適當的選擇。●勢能

勢能、機械能守恒定律例如對常見的彈簧－質量系統，往往以其靜平衡位置為零勢能位置，這樣可以使勢能的表達式更簡明。

整理ppt●有勢力的功與勢能的關系

根據勢能的定義，可得到有勢力的功和勢能的關系

有勢力所作的功等于質點系在運動過程起始位置與最終位置的勢能差。

勢能、機械能守恒定律整理ppt●機械能守恒定律

質點系在某瞬時動能和勢能的代數和稱為機械能。

當作用在系統上的力均為有勢力時，其機械能保持不變。這就是機械能守恒定律(theoremofconservationofmechanicalenergy)。

勢能、機械能守恒定律整理ppt其中W′12為非保守力的功。例如若系統上除了保守力外還有摩擦力，

W′12

就是摩擦力的功。

事實上，在很多情形下，質點系會受到非保守力的作用，這時的系統稱為非保守系統。在保守系統動能定理中加上一附加項，就可以得到機械能之間的相互關系

●機械能守恒定律

勢能、機械能守恒定律整理ppt動力學普遍定理的綜合應用返回返回總目錄第12章動能定理

動力學普遍定理動量定理動量矩定理動能定理矢量形式標量形式整理ppt動力學普遍定理的綜合應用

動量定理

給出了質點系動量的變化與外力主矢之間的關系，可以用于求解質心運動或某些外力。

動量矩定理

描述了質點系動量矩的變化與外力主矩之間的關系，可以用于具有轉動特性的質點系，求解角加速度等運動量和外力。

動能定理

建立了作功的力與質點系動能變化之間的關系，可用于復雜的質點系、剛體系求運動。

應用動量定理和動量矩定理的優點是不必考慮系統的內力。應用動能定理的好處是理想約束力所作之功為零，因而不必考慮。整理ppt

在很多情形下，需要綜合應用這三個定理，才能問題的解答。正確分析問題的性質，靈活應用這些定理，往往會達到事半功倍的作用。

另外，這三個定理都存在不同形式的守恒形式，也要給予特別的重視。

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt例題5

均質圓輪A、B的質量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉動，B處摩擦不計。物塊C的質量也為m。A、B、C用無質量繩相聯，繩相對B輪無滑動。系統初始為靜止狀態。試求：1．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力；2．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt而故有取輪B和物塊C組成的質點系為研究對象，分析受力，對點B應用動量矩定理，有解：

1．確定繩子拉力本例的條件與例題2相同。在例題2中已經求得例題5

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt解得例題5

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt

解：

2．確定B處的約束力對圖示系統應用質心運動定理，有由此解得B處的約束力例題5

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt解：

3．確定A輪與斜面之間的摩擦力

取輪A為研究對象，分析受力，應用相對質心的動量矩定理，得到注意到

于是，得到摩擦力例題5

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt本例小結：

本例中幾乎應用了三個定理的所有主要形式。還可以發現，每種問題的解法都并不是唯一的。這說明，對于具體問題，必須進行具體分析，沒有統一的方法可循。

例題5

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt均質細長桿長為l，質量為m，靜止直立于光滑水平面上。桿受微小干擾而倒下。求：桿剛剛到達地面時的角速度和地面的約束力。

例題6

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt解：桿在水平方向不受外力，且由靜止倒下，則在倒下過程中其質心將鉛直下落。由運動學知，P為桿的瞬心。例題6

動力學普遍定理的綜合應用v

CCA桿剛到達地面時，A點成為桿的瞬心，桿的的動能為：

整理ppt例題6

動力學普遍定理的綜合應用v

CCA桿在滑倒過程中，只有重力作功。由動能定理，有整理ppt例題6

動力學普遍定理的綜合應用AFNmga

CC桿剛到達地面時，受力及加速度分析如圖。其中

其中

由運動學知

由剛體平面運動微分方程，得整理ppt例題6

動力學普遍定理的綜合應用AFNmga

CC其中

由運動學知

將加速度矢量式向鉛垂方向投影，得

聯立以上諸式，可以解得

整理ppt

均質桿長為l，質量為m1，B端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質圓盤的質心相連。圓盤的質量為m2，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示θ=45°時由靜止開始純滾動。試求:

A點在初瞬時的加速度。

例題7

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt解：以桿和圓輪組成的系統為研究對象。題中只有保守力作功，故機械能守恒，用機械能守恒定律求解。

注意到桿和圓盤質心到速度瞬心的距離恒定，則構件對瞬心的轉動慣量為常數。因此系統的動能為例題7

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt因此系統的動能為設輪心A的速度為vA，則有取經過輪心A的水平線為零勢位置，系統的勢能為

零勢點m2gm1g例題7

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt根據機械能守恒定律，有

將上式對時間求一次導數零勢點m1gm2g例題7

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt于是，點A在初瞬時的加速度為注意到初瞬時例題7

動力學普遍定理的綜合應用整理ppt解：以桿和圓輪組成的系統為研究對象。用動能定理求解。

系統的動能為例題7

動力學普遍定理的綜合應用設輪心A的速度為vA，則有代入系統的動能表達式，得整理pptm2gm1g例題7動力學普遍定理的綜合應用只有桿的重力對系統作功根據動能定理上式對時間求導注意到初瞬時可解得整理ppt解：以桿和圓輪組成的系統為研究對象。用功率方程求解。

系統的動能為例題7

動力學普遍定理的綜合應用設輪心A的速度為vA，則有代入系統的動能表達式，得整理pptm2gm1g例題7

動力學普遍定理的綜合應用只有桿的重力對系統作功，其功率為根據功率方程等式左邊對時間求導注意到初瞬時可解得D整理ppt返回返回總目錄第12章動能定理——結論與討論

運動學方程的重要性

關于動量和動能關于幾個動力學定理的綜合應用整理ppt關于汽車驅動問題的結論

發動機給出的主動力偶克服阻力和阻力偶作功使汽車的動能增加；

與汽車行駛方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力與空氣的阻力使汽車的動量增加。結論與討論1、關于動量和動能整理ppt關于汽車驅動問題的結論

如果路面很滑，摩擦力很小，發動機功率再大汽車也只能打滑，而不能向前行駛；結論與討論1、關于動量和動能反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而發動機不能發出足夠大的功率，汽車同樣不能向前行駛。整理ppt

在動量、動量矩、動能定理的應用中，運動學方程起著非常重要的作用。很多情形下，動力學關系非常容易得到，但運動學關系卻很復雜。參看下例。結論與討論3、運動學方程的重要性

整理ppt

均質桿AB重W，A、B處均為光滑面約束，桿從鉛垂位置無初速下滑。求:

圖示位置時A、B二處的約束力。

分析：為了確定約束力，可以采用質心運動定理。

W結論與討論3、運動學方程的重要性

關鍵是質心加速度如何確定？

整理ppt

可以寫出桿AB質心的坐標公式，然后求導數，表達出質心的加速度

結論與討論3、運動學方程的重要性

方法1：整理ppt方法2：桿端A和B的加速度方向已知，分別取其為基點，可得加速度一旦確定，其余問題便迎刃而解。以A為基點以B為基點結論與討論3、運動學方程的重要性

注意到方向鉛垂向下，方向水平向右，將上式分別向x、y方向投影問題是角速度、角加速度如何確定？

整理ppt

由于約束力FNA、FNB的作用線均通過桿的速度瞬心，所以，可以采用相對瞬心的動量矩定理，很容易確定桿的角加速度α。將?看成變量，對α積分可求得角速度ω。

C*結論與討論3、運動學方程的重要性

也可以由動能定理，很容易地求得角速度ω，進而可以求出桿的角加速度α。整理ppt確定速度和角速度的方法點的運動學分析方法——選擇合適的描述點的運動坐標系，寫出的運動方程或方程組，再將方程或方程組對時間求一次導數，即得點的速度。點的復合運動分析方法——正確選擇動點和動系，確定牽連速度、相對速度和絕對速度。剛體平面運動分析方法——建立在速度合成定理基礎上的基點法、速度投影法、瞬時速度中心法。結論與討論3、運動學方程的重要性

整理ppt動量定理、動量矩定理和動能定理的比較

動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質點系整體運動的變化與質點系所受的作用力之間的關系。

動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的兩類基本問題。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

整體運動的變化所受的作用力動量定理動量力(沖量)動量矩定理動量矩力矩動能定理動能力的功整理ppt

動量定理、動量矩定理一般限于研究物體機械運動范圍內的運動變化問題。

動能定理可以用于研究機械運動與其他運動形式之間的運動轉化問題。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

動量定理、動量矩定理和動能定理的比較整理ppt

動量定理、動量矩定理的表達式中含有時間參數。

動能定理的表達式中含有路程參數。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

動量定理、動量矩定理和動能定理的比較整理ppt

動量定理、動量矩定理的表達式為矢量形式，描述質點系整體運動時，不僅涉及有關運動量的大小，而且涉及運動量的方向。

動能定理的表達式為標量形式，描述質點系整體運動時，不涉及運動量的方向，無論質點系如何運動，動能定理只能提供一個方程。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

動量定理、動量矩定理和動能定理的比較整理ppt

動量定理、動量矩定理的表達式中只包含外力，而不包含內力(內力的主矢和主矩均為零)

動能定理的表達式中可以包含主動力和約束力，主動力中可以是外力，也可以是內力(可變質點系)；對于理想約束，則只包含主動力。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

動量定理、動量矩定理和動能定理的比較整理ppt分析和解決復雜系統的動力學問題時，選擇哪一個定理的原則是：

1、所要求的運動量在所選擇的定理中能比較容易地表達出來；

2、在所選擇的定理表達式中，不出現不必要求的相關未知力。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

動量定理、動量矩定理和動能定理的比較整理ppt

對于由多個剛體組成的復雜系統，如果選用動量定理或動量矩定理，需要將系統拆開，不僅涉及的方程數目比較多，而且會涉及求解聯立方程。動量定理、動量矩定理和動能定理的比較

如果選用動能定理，對于受理想約束的系統，可以不必將系統拆開，而直接對系統整體應用動能定理，建立一個標量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。結論與討論4、幾個動力學定理的綜合應用

整理pptAm1Oxm2BlvA已知滑塊A的質量為m1，質點B的質量為m2,AB桿的長度為l、不計質量，可以繞A點轉動，滑塊的速度為vA。求：系統的動能，并用廣義坐標表示。參考性例題1第13章動能定理

返回整理ppt解：1、廣義坐標滑塊作水平直線運動；質點B作平面曲線運動。系統具有2個自由度。廣義坐標選擇為

x和θ。θAm1Oxm2BlvAx參考性例題1整理pptvevr解：2、運動分析與速度分析滑塊作直線運動，速度為vA；在滑塊上建立動系Ax′y′質點B作平面運動。以A為基點，其牽連速度與相對速度分別為A