第一章矩陣矩陣的概念：A*（零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣)mn矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）---------交換、結(jié)合律數(shù)乘kA(ka)---------分配、結(jié)合律ijm*nlA(a*Bik)**(b)(ab)mlkjl*nikkjm*n1（一般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0）(T)TA(AB)TTBT()TkA(AB)TBTTTA1Ak2A1k2(AkkAkk1)(AkkAkk212逆矩陣：設(shè)A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的，且A1B矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律：1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且(A1)1A112、可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且(A1)k3、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置A也是可逆的，且(T)1(A1)TT4A與B的乘積AB)(ABBA111陣A與B的和A+B)(ABA1BA為N|A|=0，1則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。5、若A可逆，則11AAA逆矩陣注：①AB=BA=I則A與B一定是方陣BA=AB=I則A與B一定互逆；③不是所有的方陣都存在逆矩陣；④若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法都類似普通矩陣轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置注：把分出來(lái)的小塊矩陣看成是元素初等變換：1、交換兩行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性，初等矩陣都可逆初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣IO

Dr等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣rOO第二章行列式N階行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的和ij(aaajjj(..)12n1j2jnjn12njjj12nDDT）②行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。③常數(shù)kk乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。④行列式具有分行（列）可加性⑤將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式M、代數(shù)余子式ijA(ijijMijij定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零。克萊姆法則：D非齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D0時(shí)，有唯一解：(j12n)xjjD齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D10時(shí)，則只有零解（逆否命題：若方程組存在非零解，則D等于零）特殊行列式：a11a12a13a11a21a31①轉(zhuǎn)置行列式：a21a22a23a12a22a32a31a32a33a13a23a33②對(duì)稱行列式:ijaaji③反對(duì)稱行列式:ijaa奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零jia11a12a13④三階線性行列式:a21a220a310a33解法：用1a把22a21⑤上（下）三角形行列式第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣的秩r(A)：若A可逆，則滿秩若A是非奇異矩陣，則r（）=r（B）初等變換不改變矩陣的秩求法：1.定義；2.轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形AA伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣：*1112AAA2122特殊矩陣的逆矩陣：ABAA111、分塊矩陣D則D11OCOCA1AA，則2A3A41A1A11A21A31A4、**AAI4、*AA1（A可逆）、1*6、*AAAAA1n1*1（A可逆）、A、*B***TT*判斷矩陣是否可逆：充要條件是A0，此時(shí)11*AA求逆矩陣的方法：定義法AA1I伴隨矩陣法A11A*A初等變換法A||II1n只能是行變換。n初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系：設(shè)Aa是階矩陣，則對(duì)A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等ijm*n于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對(duì)A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A（行變左乘，列變右乘）線性方程組解的判定：非齊次線性方程組：增廣矩陣→簡(jiǎn)化階梯型矩陣r(AB)=r(B)=r當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng)rn時(shí)，有無(wú)窮多解

r(AB)r(B)，無(wú)解齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)<未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|A|=0齊次線性方程組若有零解，一定是無(wú)窮多個(gè)N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系:線性組合或線性表示向量組的秩：定理：如果,jj12jr是向量組1的線性無(wú)關(guān)的部分組，則它是,,.....2s極大無(wú)關(guān)組的充要條件是：1中的每一個(gè)向量都可由,,.....,j2sjj12r線性表出。秩:極大無(wú)關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。定理：設(shè)A為矩陣，則r()r的充要條件是：A的列（行）秩為r。線性組合或線性表示注：兩個(gè)向量α，β，若則α是β的線性組合任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)注：1.n個(gè)n維單位向量組一定是線性無(wú)關(guān)2.一個(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)，零向量是線性相關(guān)3．含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)4.若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量β可由,,..nTTTrTTrTT1線性表示的充要條件是(12...)(12...)2nn判斷向量組是否線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)1k2kn，求1k2kn2、向量間關(guān)系法：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)3、分量法（n個(gè)m1TT)T4、線性相關(guān)（充要）rn2n線性無(wú)關(guān)（充要）rnTT)T2n推論①當(dāng)時(shí)，相關(guān)，則T0；無(wú)關(guān)，則01TTTTT2323時(shí)，線性相關(guān),,...1s為奇數(shù)時(shí)，向量組12,2312ss也線性無(wú)關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)。定理：如果向量組1,,...s,可由向量組,,...s

122表示法唯一的充分必要條件是1線性無(wú)關(guān)。,,...2s極大無(wú)關(guān)組注：向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的；不全為零的向量組的極大無(wú)關(guān)組一定存在；無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組是其本身；向量組與其極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的。第四章向量空間向量的內(nèi)積α，）=Tabab....ab1122nn性質(zhì)：非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性(α,kβ)=k(α,β);(kα,k)=k2(α,β);(α+β,)=(α,)+(α,)+(β,)+(β,);rsrsk(i,lkl(,),,,Rn,)ijjijiji1j1i1j1向量的長(zhǎng)度：,)0的充要條件是α=0；α是單位向量的充要條件是（α，α）=1正交向量：α，β是正交向量的充要條件是（α，β）=0正交的向量組必定線性無(wú)關(guān)正交矩陣：ｎ階矩陣ＡTTAI性質(zhì)：1、若A為正交矩陣，則Ａ可逆，且A1T，且A1也是正交矩陣；A２、若A為正交矩陣，則A1；３、若A、Ｂ為同階正交矩陣，則ＡＢ也是正交矩陣；４、ｎ階矩陣Ａ＝（a）是正交矩陣的充要條件是Ａ的列（行）向量組是ij標(biāo)準(zhǔn)正交向量；線性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系齊次線性方程組（I）解的結(jié)構(gòu)：解為1,2（I）的兩個(gè)解的和12仍是它的解；（I）解的任意倍數(shù)還是它的解；（I）解的線性組合cs也是它的解，1,c2cs是任意常數(shù)。122非齊次線性方