濾波器設計方法第1頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一7.0引言濾波器：一種特別重要的線性時不變系統線性時不變系統選頻濾波器：對信號的頻率成分進行選擇（通過或拒絕）的系統濾波器的廣義定義：能對某些頻率進行修正的系統兩點說明：（1）重點討論選頻濾波器設計-----設計方法具有廣泛應用價值（2）濾波器是因果的（作一些修正可以得到非因果濾波器）濾波器內容包括： （1）濾波器設計 （2）濾波器實現（結構、算法）----第六章濾波器設計的步驟： （1）給出系統所要求特性的技術指標（頻域）

（2）用因果離散時間系統逼近這些技術指標第2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一濾波器-----離散時間系統數字濾波器（digitalfilters）對連續時間信號進行離散時間濾波的基本系統：技術指標（有效連續和離散時間濾波器）：頻域的技術指標如圖所示連續與離散時間濾波器的等效條件：

輸入帶限；采樣頻率避免混疊即：有效連續濾波器指標（轉換為）離散濾波器指標-------ω=ΩT離散濾波器的特性：第3頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一例7.1離散時間濾波器指標的確定低通離散時間濾波器：對連續時間信號進行低通濾波采樣頻率為10000樣本/秒，即10000Hz（10kHz），（T=10-4s）圖示系統的特性：（1）在頻帶0≤Ω≤2π(2000)內,

增益|Heff(jΩ)|應當在單位幅度±0.01之內（2）在頻帶Ω≥2π(3000)內,

增益|Heff(jΩ)|應當不大于0.001第4頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一|Heff(jΩ)|的指標如圖所示：圖中的具體參數為：理想的通帶增益為1通帶增益：1+δ1~1-δ1阻帶增益：0~δ2以分貝表示：第5頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一相應的離散時間濾波器指標（圖）：與上圖基本相同，以歸一化頻率：ω=ΩT，0≤ω≤π其余頻段：周期性導出相應的通帶幅度：其中δ1=0.01ωp=2π(2000)10-4=0.4π-----通帶截止頻率阻帶幅度：δ2=0.001ωs=2π(3000)10-4=0.6π------阻帶截止頻率實際可實現性------對理想濾波器的逼近------過渡帶（ωs-ωp

）從通帶光滑過渡到阻帶。虛線表示實際濾波器的幅度響應第6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一實際數字濾波器設計，考慮到：（1）實際應用中的離散時間信號并不都是由連續時間信號導出；（2）離散時間系統的討論，采樣周期無影響（歸一化頻率）濾波器設計-------離散頻率變量ω表示的技術指標（ω域指標）主要的技術指標：幅度響應（ω域）相位響應

------不是非常重要（滿足濾波器隱含的穩定性和因果性要求；FIR濾波器的線性相位要求）具體的濾波器設計：

確定符合頻率指標要求的系統函數（頻率響應、脈沖響應）

即：H(z)，H(ejω)，h[n]

------------函數逼近問題對于IIR濾波器------利用z的有理函數逼近對于FIR濾波器-------多項式逼近第7頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一7.1由連續時間濾波器設計離散時間IIR濾波器IIR濾波器的傳統設計方法：連續時間濾波器(變換)滿足預定指標的離散時間濾波器理由：連續IIR濾波器設計方法成熟，簡單（公式），方便，快捷濾波器設計技術指標：離散（濾波器）頻率域指標設計過程：原型連續時間濾波器(變換)

離散時間濾波器

即：Hc(s)(變換)

H(z)s域z域的變換或映射

檢驗：Hc(jΩ)

H(ejω)首先需要：離散（濾波器）頻率域指標

（轉換）原型連續（濾波器）頻率域指標設計（變換）的兩個基本要求：（1）頻率響應的一致性，即s平面虛軸（代表連續頻率變量）必須映射到z平面單位圓（代表離散頻率變換），保持頻率與頻率對應；第8頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一（2）因果穩定性，即因果穩定的Hc(s)因果穩定的H(z)， 亦即s左半平面映射到z平面單位圓內連續時間濾波器的主要類型（設計方法）（附錄B）巴特沃茲濾波器（Butterworthfilter）切比雪夫濾波器（Chebyshevfilter）橢圓濾波器（ellipticfilter）由模擬濾波器設計IIR數字濾波器的主要方法：脈沖響應不變法（impulseinvariance）階躍響應不變法（stepinvariance）雙線性變換法（bilineartransformation）第9頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一7.1.1濾波器設計的脈沖響應不變法連續濾波器（變換）離散濾波器hc(t),Hc(s)h[n],H(z)脈沖響應不變法： 通過hc(t)h[n]（離散，即保持不變） 實現Hc(s)（連續系統）H(z)（離散系統）的變換即：h[n]=Tdhc(nTd)Td------采樣間隔H(z)h[n]的z變換，設計完成？給定的濾波器設計指標------濾波器的頻率響應設法方法必須考慮：Hc(jΩ)H(ejω)之間的聯系根據以前的采樣討論，時域離散頻域關系，可以得到：第10頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一如果連續時間濾波器是帶限的，則有兩者之間關系：頻率軸的線性關系，即|ω|＜π時，ω=ΩTd實際情況：任何連續時間濾波器都不能是完全帶限的（即使低通） 因此，混疊存在。如圖，第11頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一方法的實用性（逼近）：如果Hc(jΩ)高頻部分趨近于零，則混疊很小，可以忽略-------逼近。由H(ejω)指標Hc(jΩ)指標：Ω=ω/Td確定出Hc(jΩ)Hc(s)，再由脈沖響應不變法，由Hc(s)得到H(z)。具體的方法（直接，不通過hc(t)h[h]的過程）：設連續時間濾波器的傳遞函數具有一階極點的形式（不失一般性）：

對應的脈沖響應：根據脈沖響應不變（采樣），有第12頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一作z反變換，得到離散時間濾波器的系統函數：比較連續時間濾波器的系統函數：可見，(1)s平面中的極點s=sk變換成z平面中的極點

(2)除了比例系數Td外，完全相同表示：可以通過極點的對應關系直接由Hc(s)得到H(z)

幾點說明：（1）Hc(s)因果穩定（極點在左邊平面）H(z)

因果穩定（極點在單位圓內），因為Re[sk]＜0，；|zk|＜1第13頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一（2）s平面與z平面只有極點有對應關系，s平面與z平面之間沒有這種對應關系（唯一），（如系統的零點就沒有這種對應關系）表示脈沖響應不變法，其s平面到z平面的映射關系（變換）并非是的簡單映射關系（單映射）。不能直接代入Hc(s)得到H(z)例7.2用脈沖響應不變法設計Butterworth濾波器設計一低通離散時間濾波器，步驟：（1）由低通離散時間濾波器指標求出低通連續時間濾波器指標（2）確定相應的連續時間Butterworth濾波器（3）由脈沖響應不變法，求得所需的低通離散時間濾波器第一步，離散時間濾波器的技術指標：說明：

過程（1）和過程（3），系數Td抵消，可選Td=1，ω

=Ω第14頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一可得連續時間Butterworth濾波器的技術指標為：由于Butterworth濾波器頻率響應的幅度響應是單調的，則應和第二步，Butterworth濾波器的幅度平方函數為：需確定出滿足所需技術指標的參數N和Ωc將上式帶入指標式，并取等號，有：第15頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一兩個方程的解為：

N=5.8858和Ωc=0.70474取N為整數6，代入方程得Ωc=0.7032（參數選取的原則：超過指標）幅度平方函數的12個極點均勻分布在半徑Ωc=0.7032的圓周上取左半平面的三對極點：

說明s=jΩ第16頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一作為Hc(s)，即第三步，將上式作部分分式展開，進行極點映射，得到H

(z),根據上式，可以直接用并聯形式實現。第17頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一設計得到的離散時間系統（濾波器）的頻率響應如圖：通帶邊緣滿足指標阻帶邊緣超過指標混疊基本沒有影響有混疊情況：調整參數；高階第18頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一脈沖響應不變法的討論（連續濾波器變換為離散濾波器）：（1）時域逼近較好，脈沖響應波形是連續與離散的關系；（2）頻率成線性關系，頻率響應形狀基本保持不變（3）保持相位的線性特性，（4）頻域有混疊，只適用帶限濾波器設計（如低通，帶通）（5）頻域的混疊不能通過減少采樣周期Td消除 若離散低通濾波器的截止頻率給定ωc

連續低通濾波器的截止頻率為Ωc

=ωc/Td

頻率Ω的頻帶范圍為：[-π/Td,π/Td]

Td減小，Ω的頻帶范圍增加 保持ωc不變，Td減小時，Ωc也應增加

Ωc增加表示原有的混疊仍然存在（6）映射關系，只是針對極點，s與z平面之間的映射關系是一個多重映射關系，即：第19頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一s平面虛軸jΩ上長度為2π/Td的每一段映射到z平面單位圓一周，

如[-π/Td,π/Td]映射到單位圓一周（-π

≤

ω

≤

π）s平面每一條寬度為2π/Td的橫條映射到整個z平面s平面寬度為[-π/Td,π/Td]的左半橫條映射到z平面單位圓內多重映射-------混疊（系統函數，頻率響應）7.1.2雙線性變換法解決混疊------改變映射關系，即-∞≤Ω≤∞

（單）映射到-π

≤

ω

≤

π

s左邊平面z平面單位圓內（單映射）整個s平面整個z平面（單映射）頻率的映射關系非線性（頻率變換）第20頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一雙線性變換法定義設s與z的映射關系為：離散系統與連續系統之間的變換關系為：表示可以直接將s與z的映射關系代入連續濾波器系統函數。討論s平面z平面的映射關系s與z的映射關系也可寫為：將s=σ+jΩ代入上式，得雙線性第21頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一σ＜0|z|＜1，對于所有Ω -----s左邊平面映射到

z平面單位圓內σ＞0|z|＞1，對于所有Ω -----s右邊平面映射到

z平面單位圓外分析頻率映射關系，將s=jΩ代入，可得對于所有的Ω值，|z|=1

-----jΩ

軸（s平面虛軸）映射到

z平面單位圓即有z=rejω，r=1第22頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一ω與Ω的關系，將z=ejω代入s與z的雙線性關系式，得等式兩邊實部與虛部相等，有和或歸納：（1）s平面與z平面關系頻率的非線性關系第23頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一（2）連續濾波器頻率與離散濾波器頻率關系非線性關系----連續頻率軸被壓縮------避免了混疊避免混疊是以頻率非線性為代價頻率非線性頻率響應的變形應用范圍：頻率響應形狀要求不高的情況，（如分段恒定幅度） 設計中特殊頻率點（如截止頻率）須預畸變第24頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一雙線性變換法在連續濾波器到離散濾波器變換中頻率響應的畸變第25頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一頻率非線性造成的相位響應畸變

線性相位因子e-sα的雙線性變換結果

離散相位函數為-(2α/Td)tan(ω/2)第26頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一雙線性變換方法討論（1）s平面與z平面單映射關系（2）s左半平面映射到z平面單位圓內（3）s右半平面映射到z平面單位圓外（4）連續因果穩定系統離散因果穩定系統（5）s平面整個虛軸單值映射到z平面單位圓一周（6）連續頻率Ω與離散頻率ω之間成非線性關系（7）避免了頻率響應的混疊現象（圖示說明）（8）頻率響應形狀畸變，線性相位特性破壞（9）適合分段恒定幅度響應的濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）（10）設計中需要預畸（截止頻率點等）第27頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一7.1.3雙線性變換法設計舉例例7.3用雙線性變換法設計Butterworth濾波器同例7.2脈沖響應不變法設計低通離散濾波器，技術指標：求得連續濾波器指標時，須對上述兩個截止頻率進行預畸變處理：即ω=0.2π

Ω=(2/Td)tan(0.2π/2)ω=0.3π

Ω=(2/Td)tan(0.3π/2)連續濾波器的技術指標：第28頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一與例7.2相同，取Td=1，并根據Butterworth濾波器的幅度響應Butterworth濾波器的平方幅度函數：由前兩式中取等號，得第29頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一解出N取整數，N=6，代入阻帶方程可得Ωc=0.766（超過通帶指標）幅度平方函數的極點分布：12個極點，半徑0.766，均勻分布第30頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一同樣，取左半平面中的三對極點，得連續Butterworth低通濾波器的系統函數：同雙線性變換公式代入，得離散連續Butterworth低通濾波器的系統函數：第31頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一六階Butterworth低通濾波器頻率響應：ω=0.2π

-0.56dB(0.937)ω=0.3π

-15dB(0.1778)阻帶比連續濾波器下降快ω

=π

Ω=∞頻率軸被壓縮第32頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一連續Butterworth濾波器幅度平方函數：可用雙線性變換的頻率關系式：直接代入得到離散Butterworth濾波器幅度平方函數：式中實際設計并不首先用，因為上式無法獲得在z平面的極點，從而得到單位圓內的極點濾波器的系統函數H(z)第33頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一雙線性變換法的Butterworth，Chebyshev,elliptic濾波器逼近例子所設計低通離散濾波器的技術指標：即δ1=0.01，δ2=0.001，ωp=0.4π，ωs=0.6例7.4Butterworth逼近省去具體計算過程，可得N=14，頻率響應如圖：對數幅度圖第34頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一通帶的幅度圖：群延遲圖：第35頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一例7.5Chebyshev逼近Chebyshev的類型：I型：頻率響應----通帶呈紋波特性，阻帶單調II型：頻率響應-----阻帶呈紋波特性，通帶單調兩種類型逼近階數N均為八階（比Butterworth要低）I型逼近的頻率響應圖：第36頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一通帶中幅度細節圖：群延遲圖：第37頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一II型逼近的頻率響應圖通帶中的細節圖：第38頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一群延遲圖：若通帶和阻帶均容許紋波濾波器的階數可以減少兩種類型逼近的零極點分布（I型零點對應于連續濾波器s=∞）I型II型第39頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一例7.6elliptic逼近滿足指標的有理函數最低階逼近，N=6通帶中的細節圖：第40頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一群延遲圖：零極點分布：第41頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一討論：（1）各種濾波器逼近的雙線性變換法是IIR濾波器設計標準方法（2）H(z)的極點在單位圓內（穩定性），零點在單位圓上（3）非線性頻率響應特性，非線性群延遲（4）通帶邊緣處或過渡帶出現最大群延遲（其它頻帶中群延遲變化較小）（5）II型Chebyshev具有最小的群延遲以及相應群延遲近似為常數的最寬通帶區域（6）elliptic逼近具有最低階次的系統函數，因此計算量也最少。第42頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一7.2用窗函數法設計FIR濾波器IIR濾波器設計-----連續濾波器變換

（1）連續濾波器設計方法成熟 （2）IIR濾波器直接設計困難（在離散域）FIR濾波器設計------可以直接在離散域進行（頻率域逼近） 線性相位條件避免了直接設計的復雜性最簡單的方法：窗函數法（windowmethod）基本思想：對理想濾波器的脈沖響應hd[n]（無限長，非因果序列） 截斷，得到具有對稱性的有限長因果序列h[n] FIR濾波器（線性相位、因果）------逼近問題：時域截斷頻域逼近（關系、影響）？ 即，hd[n]h[n]

Hd(ejω)H(ejω)第43頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一理想濾波器的頻率響應：脈沖響應：

----非因果、無限長序列頻率響應的不連續性實際因果FIR濾波器的脈沖響應（因果、有限長）：相當于：其中窗函數：矩形窗第44頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一時域處理簡單，討論頻域關系：由傅立葉變換性質：時域相乘頻域卷積得：如圖所示（周期性）若w[n]=1,對于所有n,即沒有截斷則W(ejω)是周期為2π的δ函數（周期脈沖串）并有

H(ejω)=

Hd(ejω)可見，W(ejω)（頻域）能量集中（波形窄）-----逼近性越好但，W(ejω)越窄w[n]（時域）越長-----矛盾性第45頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一可求出矩形窗的頻率響應：線性相位特性（滿足對稱性），當M=7時的幅度：主瓣寬度4π/(M+1)第一旁瓣第46頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一M增大主、旁瓣寬度減小 主、旁瓣幅度增大，主、旁瓣相對幅度不變M增大主、旁瓣的面積為常量 對理想濾波器加窗后的逼近（頻率響應）（卷積結果）：第47頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一頻率響應產生的波動現象-----吉布斯現象（Gibbsphenomenon）理論上

----傅立葉級數的非一致收斂性（作為傅立葉級數系數hd(t)的截斷）實際上-----窗函數的銳截止性（尤其是矩形窗）窗函數對濾波器幅頻特性的影響：

（1）主瓣越寬過渡帶越寬--------------M大過渡帶窄

（2）旁瓣相對主瓣（幅度）越大通帶和阻帶的波動也越大

（3）波動大小與M無關，取決于窗函數減小波動減小旁瓣幅度窗函數平滑增加主瓣寬度增加過渡帶寬度 FIR濾波器設計：波動與過渡帶的折中選擇第48頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一7.2.1常用窗函數的性質矩形窗：Barlett窗（三角窗）漢寧窗（Hanning）：海明窗（Hamming）：第49頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一Blackman窗：第50頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一窗函數主要用途：（1）FIR濾波器設計 （2）譜分析（用于對待分析時域信號的截斷）各窗函數的對數幅度圖（m=50）矩形窗主瓣最窄----過渡帶窄旁瓣幅度大-----波動大-13dB三角窗主瓣寬度增加2倍旁瓣幅度減小（-25dB）第51頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一漢寧窗主瓣寬度增加2倍旁瓣幅度明顯減小（-31dB）海明窗主瓣寬度增加2倍旁瓣幅度明顯減小（-41dB）第52頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一Blackman窗主瓣寬度增加3倍旁瓣幅度明顯減小（-57dB）阻帶最小衰減第53頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一7.2.2廣義線性相位的合并線性相位的條件：時域對稱性窗函數w[n]，脈沖響應h[n]---------對稱性上述的窗函數均滿足：關于M/2點對稱性頻率響應-----線性相位特性：We(ejω)------ω的實偶函數。上述窗函數的性質濾波器因果性

濾波器的線性相位性？h[n]=±h[M-n]?很顯然，若理想濾波器是關于M/2點對稱，hd[n]=±hd[M-n]則加窗后的h[n]滿足：h[n]=±h[M-n]第54頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一其頻率響應為：或其中Ae(ejω)------ω的實偶函數

Ao(ejω)-------ω的實奇函數證明：假設hd[n]=hd[M-n]，有

He(ejω)------ω的實偶函數若窗函數對稱，則有：濾波器是廣義線性相位的，其幅度是He(ejω)與We(ejω)的卷積:hd[n]偶對稱hd[n]奇對稱第55頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一例7.7線性相位低通濾波器所要求低通濾波器的頻率響應：（線性相位）相應的理想脈沖響應（對應于-∞＜n

＜∞

）:容易證明：

hlp[M-n]=hlp[n]對hlp[n]應用對稱窗函數（關于M/2對稱），就可得：因果、有限長、線性相位（關于M/2對稱）的低通濾波器。第56頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一理想濾波器頻率響應與所設計濾波器頻率響應（應用各種窗函數）：He(ejω)---理想濾波器Ae(ejω)---設計濾波器We(ejω)---窗函數Ae(ejω)=He(ejω)*We(ejω)卷積過程波動最大正峰、負峰產生最大正峰、負峰之間距離=Δωm=主瓣寬帶=過渡帶>

Δω

(定義)峰對稱性（通帶、阻帶δ）第57頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一第58頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一濾波器特性的調整： （1）窗函數的長度-------主要影響過渡帶 （2）窗函數的形狀-------主要影響逼近精度（波動）反復調整的不便性，探討窗函數參數濾波器性能指標（直接）7.2.3Kaiser窗濾波器設計法窗函數-----在頻域，能量最大限度集中在ω

=0附近 主瓣寬度旁瓣面積-------選擇（調整）Kaiser窗定義：式中：α=M/2I0(?)----第一類零階修正Bessel函數第59頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一兩個參數：α

---（M+1）-----長度參數

β------形狀參數主瓣寬度與旁瓣幅度之間調整第60頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一Kaiser窗函數的頻率響應幅度與參數M，β的關系：β

------旁瓣幅度（主要）M------主瓣寬度第61頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一濾波器指標與窗函數參數的關系：過渡帶寬度：Δω=ωs–ωp定義：A=-20log10δ--------波動幅度有：M滿足：第62頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一例7.8用Kaiser窗法設計低通濾波器設計步驟：（1）給出技術指標

ωp=0.4π,ωs=0.6π,δ1=0.01,δ2=0.001,δ=δ1=δ2=0.001（2）求出理想低通濾波器截止頻率（3）確定窗參數由得到：（4）計算濾波器的脈沖響應第63頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一脈沖響應：