不等關系與不等式要點一、符號法則與比較大小實數的符號：任意xeR,則（％為正數）、x=。或x<。（％為負數）三種情況有且只有一種成立.兩實數的加、乘運算結果的符號具有以下符號性質：①兩個同號實數相加，和的符號不變：符號語言：a>Q,b>Q^>a+b>Q；a<0,b<0=>a+b<0②兩個同號實數相乘，積是正數：符號語言：a>O,b>Onab〉O；a<0,b<0^>ab>0③兩個異號實數相乘，積是負數符號語言：a>0,b<0^>ab<0④任何實數的平方為非負數，0的平方為0符號語言：xe7? %2>0,x=0oX2=0.比較兩個實數大小的法則：對任意兩個實數。、b①〃—Z7〉Oo”>b；②a—Z?<Oo“<b；③a—Z7=Oo”=b.對于任意實數〃、b,a>b,a=b,a<b三種關系有且只有一種成立.要點二、不等式的性質不等式的性質可分為基本性質和運算性質兩部分基本性質有：(1)對稱性：a>bob<a(2)傳遞性：a>b,b>cna>c(3)可加性：a>boa+c〉b+c(C￡R)c>0=>ac>be(4)可乘性：a>b,<c=0=ac=bcc<0=>ac<bc運算性質有：(1)可加法則：a>b,c>d=>a+c>b+d.(2)可乘法貝ij：a>b>O,c>d>0a-c>b-d>0(3)可乘方性：a>b>0,neN an>bn>0+(4)可開方性：a>b>0,n￡N,n〉ln版,JF+要點三、比較兩代數式大小的方法作差法：任意兩個代數式。、b,可以作差。后比較6與。的關系，進一步比較。與匕的大小.〃—Z7>0o〃>b；〃—Z7<0o“<b；a—Z7=0oo=b.作商法：任意兩個值為正的代數式〃、b,可以作商〃+8后比較?與1的關系，進一步比較〃與匕的大小.bay ,①一>loa>b；ba②一<1oa<b；ba③一=1oa=b.b中間量法：若a>b且b>c，則a>c(實質是不等式的傳遞性).一般選擇0或1為中間量.利用函數的單調性比較大小若兩個式子具有相同的函數結構，可以利用相應的基本函數的單調性比較大小.作差比較法的步驟：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化為“積”；第三步：定號，就是確定差是大于、等于還是小于0；最后下結論.【典型例題】類型一：用不等式表示不等關系例1.某人有樓房一幢，室內面積共180m2，擬分割成大、小兩類房間作為旅游客房，大房間面積為18m2，可住游客5人，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為15m2，可住游客3人，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他只能籌款8000元用于裝修，試寫出滿足上述所有不等關系的不等式.【解析】假設裝修大、小客房分別為1間，y間，根據題意，應由下列不等關系：總費用不超過8000元總面積不超過180機2；大、小客房的房間數都為非負數且為正整數.即有：1000%+600y<8000 [5%+3yV4018x+15y<180 6x+5y<60I 即Ix>0(%gN*) x>0(%gN*)y>0(y￡N") >0(yeN*)此即為所求滿足題意的不等式組舉一反三：【變式】某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產的要求，600mm的數量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足所有上述不等關系的不等式呢？【答案】假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據題意，應有如下的不等關系：(1)截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm;(2)截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；(3)截得兩種鋼管的數量都不能為負.要同時滿足上述的三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：50b+600]仁4000:3x>y;x>0;尸之(X類型二：不等式性質的應用兀 兀a+Ba—0例2.已知—了Va<Bv3,求,—y上的取值范圍.乙 乙 乙 乙

【解析】兩式相加,71 c兀 71OC71 71B71【解析】兩式相加,因為—所以一:下TOC\o"1-5"\h\z2 2 424 4247ia+B7i得一一< <一..B71

因為：＜=所以一7171 B 714 2 47ia-B7i貝i]——K ..B71

因為：＜=所以一7171 B 714 2 47ia-B7i貝i]——K <一2 2 2a-B八7ia-B又 所以一yt<0,則—54一^乙 乙 A<0.舉一反三:【變式1】【變式】已知2＜。＜3 求(1)a-b,(2)，的取值范圍.b【答案】(1)—2<a—b<2；【變式2］已知實數x,y滿足1<x+y<3i i,則4x+2y的取值范圍是-1<x—y<1【答案】方法一：??FWx+yW3①—l<x—y<l,(2由①+②，得到g2xW4④； ④x2得到g4xW8⑤由①一②，得到2g2yW2⑥；最后⑤+⑥得到2*x+2yQ0故答案為：［2,10］方法二：令4x+2y=m(x+y)+n(x—y)解得m=3解得；即4x+2y=3(x+y)+(x—y)n=I

\*1<x+y<3； /.3<3(x+y)<9①/.2<3(x+y)+(x—y)<10故答案為：［2,10］例3.若a>b>0,c<d<0,則一定有( )B.ab°d>CabB.ab°d>CabD.〈一dc【答案】選D。c<d<0,「.—c>—d>0,a>b>0,—ac>—bd,acbd:.———>—-cdcdab<_dc舉一反三：ab?【變式1］若a>0>b>—a,c<d<0,則下列命題：(1)ad>bc；(2) +—<0； (3)a—c>b—d；dea-(d—c)>b(d—c)中能成立的個數是( ).A.1B.2C.3D.4【答案］C例4.船在流水中航行，在甲地與乙地間來回行駛一次的平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？［解析］設甲地與乙地的距離為S,船在靜水中的速度為u,水流速度為v(u>v>0),

SS2uS則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時間/=——+——= U+Vu-VU2—V2一—2S u2-V2平均速度u=—= u2-v2 v2?u—u- —u———<0,??u<uu u因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度.【變式1】甲乙兩車從A地沿同一路線到達B地，甲車一半時間的速度為a,另一半時間的速度為b;乙車用速度為a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若aWb，試判斷哪輛車先到達B地.【答案】甲車先到達B地;【解析】設從A【解析】設從A到B的路程為S,甲車用的時間為(,乙車用的時間為tJt 2S貝U4a+4b-S，.二t- 2 2ia+b2SSa+b22S2SSa+b22S(a+b)S4abS—(a+b”Sa+b 2ab2ab(a+b)(a—b)2S<02ab(a+b)所以，甲車先到達B地.類型三：作差比較大小例5.已知a,b,c是實數，試比較a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小.【解析】:a2+b2+c2—(ab+bc+ca)二二(a2—2a+1)+(b2—2b+1)+(a2-2ab+b2)+1=-[(a-b)2+(b-c)2(c-a)2]>0,21當且僅當a=b=c時取等號.舉一反三：【變式1】在以下各題的橫線處適當的不等號(1)?3+%.■-2)26+2加；(2)(<3-v■'12)2(示-1)2；1 1【答案】(1)＜； (2)＜； (3)＜；【變式2】比較下列兩代數式的大小：(x+5)(x+9)與(x+7)2； (2)2a2+2b2-2ab與2a+2b—3.【答案】(x+5)(x+9)<(x+7)2(2a2+2b2—2ab)—(2a+2b—3)二(a-1)2+(b-1)2+(a—b)2+1>1>0,???2a2+2b2-2ab>2a+2b-3.11,,,例6.已知a>b(ab豐0),試比較一和7的大小.ab,11b-a【解析】--7=—1，abab,/a>b即b-a<0,TOC\o"1-5"\h\zb-a 1 1.,.當ab>0時 <0,—<—；ab a bb-a 1 1當ab<0時——>0,->-.ab a b舉一反三：a2b2,【變式】已知a>0,b>0<a中b，比較丁+一與a+b的大小ba一/a2b2、， ,、【答案】???(丁+—)-(a+b)baa3+b3=----(a+b)ab/ ，、/a2-2ab+b2、二(a+b)( )ab(a+b)(a-b)2八= —>0aba2b2+—>a+b.ba類型四：作商比較大小例7.已知:a、且。比較。“從與碘瓦的大小.【解析】。、beR+,aabb>0,abba>0TOC\o"1-5"\h\z,,—aabb 刀、,b、 4,a、 ’a、作商：——=(7)fl(->=(-)fl(—)-^={—)a-b (*)abba b a bb b(1)若a>b>0,則1>1,a-b>0,(—)a-z?>1,此時。。瓦瓦成立；(2)若b>a>0,則。<1<1,a-b<0,(—)?-*>1,此時。血>。防"成立.綜上，aabb>瓦總成立.舉一反三：【變式】已知a、b、c為互不相等的正數，求證：a2ab2bC2c>ab+cbc+aCa+b.【答案】a、b、c為不等正數，不失一般性，設a>b>c>0,這時a2ab2bC2c>0,Qb+cbc+aCa+b>0,則有：TOC\o"1-5"\h\za2ab2t>c2c a b c =a(a-b)+(a-c)D(b-c)+(b-a)C(c-a)+(c-b)=(一)a-b(—)b-c(一)c-aab+cbc+aCa+b b C Ha t) c?.a>b>c>0/.—>l,a-b>0;—>l,b-c>0;0<—<l,c-a<0b c a由指數函數的性質可知：(,a-b>l,(-)b-c>l,(-)c-a>1bcaa2ab2bC2c >1,gpa2ab2bC2c>ab+cbc+aCa+bab+cbc+aCa+b

【鞏固練習】一、選擇題.設a,b￡R,若a-|bl>0,則下列不等式中正確的是（ ）A.b-a>0 B.a3+b3<0C.a2-b2<0 D.b+a>0.【答案】D【解析】a-lbl>0即一a<b<a；.< /.D正確.a—b>0對于A：由a-b>0則b-a<0/A錯.1一.3一—…對于B：a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2)=(a+b)[(a-2b)2+4b2]>0/B錯.乙 l1對于C：a2-b2=(a—b)(a+b)>0/.C錯..若a,b,c為實數，且a<b<0.則下列命題正確的是（ ）A.ac2<bc2A.ac2<bc2B.C.—>—D.a2>ab>b2

ab2.【答案】D【解析】人為實數一?.取c=0,ac2=0,bc2=0，此時ac2=bc2。故選項A不成立；TOC\o"1-5"\h\z1b—a b—a八1 1又—一=——，:a<b<0,/b-a>0,ab>0,?——>0,即一>不，故選項B錯。選項C,Va<b<0,??.取abab ababb 1a b aa=-2,b=-1，則一二—,y=2，./此時一<7,故選項C不成立；故只有D正確。a 2b a b3.已知a,b,ceR,則下面推理中正確的是（ ）A.a>bnA.a>bnam2>bm2C.a3>b3,ab>0n1<1abab.B.—>-na>bccD.a2>b2,ab>0n1<1ab.【答案】C【解析】用淘汰法。(A)中若m=0不成立；(B)中若cvO,不成立；(C)中a3-b3>0=(a-b)(a2+ab+b2)>0。a2+ab+b2>0恒成立，故a-b>0。a>b,又曾心。，①)中a2>b2=>(a+b)(a-b)>0,不能說明a>b,故本題應選(C)。.若x+y>O,avO,ay>O,則x-y的值為( )A、大于0B、小于0C、等于0D、符號不確定.【答案】A【解析】用直接法。a<0,ay>0/y<0,又,.,x+y>0,—x>0,.,.x-y=x+(-y)>0。故本題應