有限元原理及其在中的應用第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.1有限元概述有限元法（或稱有限單元法、有線元素法）是求解復雜工程問題的一種近似數值值分析方法它的基本概念是將一個形狀復雜的連續體的求解區域分解成有限個單元組成的等效組合體，通過將連續體離散化，把求解連續體的場變量（應力、位移、壓力和溫度等）問題簡化為求解有限個單元節點上的場變量值此時求解的基本方程將是一個代數方程組，而不是原來的描述真實連續體場變量的微分方程組第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.1有限元概述大大降低求解的難度，其解的精度取決于所采用的單元類型、數量以及對單元的插值函數有限元法是近30年來工程計算方法領域中的一項重大的成就第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.1有限元概述它不僅廣泛的應用在機械設計的力學分析中，而且也成功應用在求解復雜的非線性工程中有限元軟件則是有限元法及其應用的集中和完善的體現，它是CAD/CAM系統中的重要組成部分利用有限元這一先進的技術，我們在設計階段就可以預測產品的性能，減少許多原型制造及測試實驗工作這樣既可以縮短產品設計周期節省實驗費用，又可以優化產品的設計，避免了產品的大儲備設計及不足設計第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.2有限元分析的原理及步驟通過對彈性力學領域中最簡單的平面靜力問題的討論，來說明有限元方法的基本思路和主要概念它推導過程與空間三維等其它問題是一致的第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.2.1彈性力學平面問題的類型實際上任何彈性物體都是處在三維受力狀態，因而都是空間問題但是在一定條件下，相當多的實際問題可以近似地按平面問題處理，從而使問題大大簡化平面應力問題平面應變問題第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五平面應力問題如圖所示的薄板，板的厚度z方向的尺寸相對尺寸很小，板邊上受有平行于oxy平面并沿z軸均勻分布的載荷可以將板內各點上沿z軸方向的應力分量近似處理為零，而各點上的三個應力分量都平行于oxy平面，故稱之為平面應力問題在平面應力問題中，雖然應力，但應變第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五平面應變問題例如如圖所示的圓柱體，其長度z方向比直徑大很多，載荷平行于截面oxy，且沿著z軸均勻分布這時，可以將體內各點上沿著z軸方向的三個應變分量近似地處理為零，而各點上其他的三個應變分量都平行與oxy面，故而稱為平面應變問題在平面應變問題中，雖然，但應力有些機械零件如花鍵軸等，可以簡化為平面應變問題來處理第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.2.2平面問題有限元分析的步驟基本問題：已知物體區域的邊界上的約束條件所受的作用力，求解區域內各點的位移和應力解決這個基本問題的有限元分析過程一般遵循下列步驟離散化單元分析整體分析求解未知量第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五離散化由無限個質點的連續體簡化為有限個單元在節點出連接而成的集合體，稱為離散化離散化的總目標是：將物體分解成充分小的單元，使得簡化的位移模型能夠在單元內足夠近似地來表示精確解，從而在整體上獲得滿意的計算結果另一方面又必須注意到，單元不能分得太細，以免工作量過大，充分小而有限小，這是離散化的基本原則第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五離散化有限元分析的結果是在物體的這些離散點出計算出位移和應力的近似值有限元平面問題中常用的單元形式有三角形三節點單元，矩形四節點單元，三角形六節點單元，等參四邊形八節點單元等三角形三節點單元在平面問題中是最簡單最常用的單元形式第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五離散化要注意以下問題當分析對象的結構具有對稱性時，結構的幾何形狀和支撐條件，外載荷的大小和分布對稱于x軸和y軸,這是只需對四分之一的結構進行分析，這樣可節省近四分之三的計算工作量，如果只對稱于某一軸也可計算一半任意三角形單元的頂點，必須是相鄰單元的頂點，而不能是相鄰單元的內點，三角形單元各邊邊長不應相差太大，不要出現鈍角第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五離散化要注意以下問題在應力集中或應力變化較大的區域，單元應分得細一點，厚度成材料發生突變的地方，應規定為單元的邊界線節點是一個很重要的概念，單元之間僅在節點處鉸接，單元之間的力只通過節點傳遞，每個單元所受的載荷均應該按精力等效原則移置到節點上。在位移受約束的節點上，應根據實際情況設置約束條件，當節點沿某一方向上的位移為零時，則設置相應的連桿支座；當節點為固定點，即在oxy平面上不能移動時，則設一個鉸鏈支座第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五離散化要注意以下問題單元劃分之后，要對全部單元和全部節點進行編碼，要總體節點編碼和局部節點節點的總體編碼是由人們自行選定的，然而編碼安排得適當，得到的總體剛度矩陣回緊湊得多，可以接生計算機存儲量和計算時間離散化是一個重要的環節，單元劃分的形式、大小及節點排列對有限元分析計算的結果有很大的影響第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五單元分析單元分析的基本任務是：對于基本未知量與其對應量，推導出節點位移和節點力之間的關系——單位剛度矩陣，并建立單元的平衡方程式單元位移模式幾何方程彈性方程虛功方程第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五單元位移模式對整個彈性體而言，內部各點的位移情況極為復雜，不大可能用某種函數來描述由于進行了離散化，整個彈性體分割成為細小的單元，在細小的單元內，內部各點的變化情況比較簡單，因而可以用單元內點坐標的函數來表示內點的唯一，這種函數關系稱為單元位移模式第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五單元位移模式由于彈性體的化整為零，是我們可以對內點位移函數關系進行簡化，這是有限元素法的關鍵技術之一，選擇位移模式時，簡便的方法是將位移u,v表示為坐標x,y的函數，即采用多項式模式而最簡單的，則是采用線性函數選擇位移模式時，應當保證有限元法解的收斂性，即當單元劃分趨向于無窮小時，有限元素法的結果應趨向于問題的正確解答可以證明，對于三角形三節點單元，上述線性函數位移模式是滿足收斂條件的第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五幾何方程由彈性力學理論可知，平面內的應變為用矩陣可簡寫為[B]稱為應變矩陣，是形狀函數經微分算子矩陣作用的結果由于采用線性位移模式，矩陣[B]中各個元素均為常數，因而單元內各點的應變亦為常數，所以三角形三節點單元通常稱為常應變三角形單元第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五彈性方程這里討論單元內點應變和單元內點應力的轉換關系，即推導出其轉換矩陣——彈性矩陣[D]，使[D]稱為彈性矩陣，它反映了應變與應力的內在轉換關系由于應變是常數，相應應力也當然是常數，這常數可認為是單元形心處的應力值，在相鄰的各單元中，應力可能是不同的常數，因而在節點處應力有突變，隨著單元減小，突變的程度也相應減小第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五虛功方程單元節點力是作用于單元頂點的外力，必然在單元內部引起相應的應力設此單元各節點有虛位移，則在單元內有相應的虛應變根據虛功原理，節點力在頂點的虛位移上所作的虛功應與單元內部應力在虛應變上所作的虛功相等，以此可以推導出單元內點應力與單元節點應力之間的轉換關系第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五整體分析顯然，單元分析得出的僅僅是局部的信息，各個單元靠節點連接起來組成整體，因而必須從全局進行分析將各個單元的方程（單元剛度矩陣）按照保持節點處位移連續性的方式組合起來，就可以得到整個物體的平衡方程（整體剛度矩陣），再按照給頂的位移邊界條件修改這些方程，使平衡方程有解第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五求解未知量求解位移求解應力、應變和約束力第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五求解位移求解未知位移向量的關鍵在于求解平衡方程組，當單元個數越多時，節點未知量個數也越多，由此建立起來的平衡方程組，將是一個高階的線性代數方程組求解這樣的方程組，即使利用大型計算機來運算，也存在著存儲容量大和計算速度慢的問題針對這兩個問題，可以采取以下措施：利用整體剛度矩陣的特性，尋找接生存儲容量的措施選擇有效的計算方法和優良軟件，以克服計算速度的困難第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五求解位移考察整體剛度矩陣可以看出存在如下特點：對稱性：整體剛度矩陣是一個對稱矩陣，利用這個特性，可以在計算機中只存儲矩陣的上三角部分，從而節省近一半的存儲容量稀疏性：整體剛度矩陣是一個稀疏矩陣，其決大多數元素為零，對于大多數問題來說，非零元素占元素總數的50%，若設法只存儲非零元素，存儲信息又大大減少帶狀分布性：剛度矩陣的非零元素分布在以主對角線為中心的帶型區域內，這個矩陣稱為帶狀矩陣，利用帶狀矩陣的對稱性，可在計算機中只存儲半帶區域的元素第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五計算應力、應變和約束力采用位移法，一旦位移計算出以后，則其他各量均可以計算由于采用線性位移模式，各單元的應變與應力為常量在這種情況下，應把算出的應力看成為單元形心處的應力第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五計算應力、應變和約束力如果欲求出接點上的應力，還必須運用插值計算出每一個單元的節點應力值后，再將相鄰單元共用的節點上的應力值進行平均也可以計算出主應力及按照某種強度理論計算的復合應力，以便為后處理做準備將計算出的位移代入，即可求出各約束反力第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.3有限元分析的前處理有限元分析的前置處理實質有限元分析置前的諸多數據處理過程過去進行有限元分析時，常常采用人工生成有限元模型的數據，既耗費時間又易出錯，特別是結構復雜，計算精度要求高時，元素網格的劃分時間顯著增加第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五11.3有限元分析的前處理手工劃分有限元網格占有限元分析的工作量的45%，有限元分析結果的判斷和輸出占50%，而有限元分析本身只占5%因此為減少數據輸入的準備工作和提高分析、處理結果的效率，有限元系統都應配有使用方便、功能齊全的前、后置處理程序第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五有限元分析前處理的基本內容幾何模型生成有限元網格的自動生成有限元屬性數據的生成模型檢驗、錯誤診斷與修改第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五幾何模型生成這個環節主要是生成有限元計算的結構模型，有了結構模型后，可以按照許多方法生成有限元的計算數據一種途徑是設計專用的有限元模型交互生成軟件，實現造型與有限元前處理一體化另一種方法是利用目前已經有的商品化的圖形軟件（例如AutoCAD）通過的三維實體造型生成模型，在通過模型數據轉換與有限元網格劃分軟件相連接第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五有限元網格的自動生成要求生成節點坐標和編號，自動生成單元拓撲信息能夠產生多種類型的單元及其組合而成的網格，網格的疏密分布應能由用戶控制對生成的節點應能優化編號，以減少總剛度矩陣帶寬，節省內存第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五有限元屬性數據的生成將載荷、材料和邊界約束條件等屬性數據放入數據文件第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五模型檢驗、錯誤診斷與修改一般使用計算機圖形顯示方法來顯示結構輪廓線圖及網格劃分圖（還可包括節點編號、約束與載荷情況等），這樣可直觀的檢驗網格劃分正確與否此過程主要是發現并修正重復單元、重復節點、孤立單元、孤立節點、單元翹曲、單元法線不一致、單元內角與長度比異常、單元方向與自由面定義異常等第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五有限元網格的自動生成有限元網格的自動生成是建立有限元模型的重要技術，它在有限元前處理中占據極其重要的地位，目前常用的網格生成方法有以下幾種：以幾何模型的輸入數據為基礎的方法以幾何模型數據結構為基礎的方法第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五以幾何模型的輸入數據為基礎可分為自底向上的自頂向下兩中方法自底向上法：是指先定義節點，再定義元素，最后形成有限元模型自頂向下法：是指在已定義的結構上，根據點、線、面之間的關系，自動生成網格的方法在實際應用中兩者可以結合使用第35頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五以幾何模型數據結構為基礎可分為分塊分割法和整體分割法分塊分割法，是指先把組成復雜形體的幾何模型分