數學教學論課件命題及論證的教學第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五（一）形式邏輯的基本規律1、同一律同一律的內容是：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確定，且前后保持一致．同一律的公式是：A→A，即A是A．根據同一律的內容，它具體有兩點要求：一是思維的對象應保持同一（在思維的過程中所考察的對象必須確定，要始終如一，不能中途變更．）；二是表示同一事物的概念應保持同一（在思維的過程中，要以同一概念表示同一思維對象，不能用不同的概念來表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起來用同一個概念來表示）．違反同一律的錯誤，在概念中主要表現為偷換概念或所使用的概念不明確等；在推理中主要是論題不明確或偷換論題等．第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2、矛盾律

矛盾律的內容是：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么．即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假．矛盾律的公式是：即A

不是

矛盾律實為“不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形式表達同一律內容的．矛盾律是否定判斷的邏輯基礎，其作用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性．這里所說的思維矛盾，是人們思想陷入混亂狀態或故意玩弄詭辯時所產生的邏輯矛盾．它與客觀事物本身所存在的矛盾是不同的．兩個矛盾判斷不能同真，但可能同假．例如，△ABC是銳角三角形與△ABC是鈍角三角形是兩個矛盾的判斷，其中一個正確，另一個必錯誤；但其中一個錯誤，另一個未必正確，這是因為還存在△ABC為直角三角形的第三種情況．第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3、排中律排中律的內容是：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷．即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。排中律的公式是：，即或。排中律要求人們的思維有明確性，它是反證法的邏輯基礎。例如，是無理數與是有理數，這是兩個互相矛盾的判斷，但不能同時存在，其中必有且只能有一個是正確的。第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五排中律和矛盾律的關系排中律和矛盾律既有聯系，又有區別．其聯系在于：它們都是關于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假．但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答．其區別在于：矛盾律指出兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則指出兩個互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真．矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判斷的邏輯基礎，而排中律是反證法的邏輯基礎．第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五4、充足理由律充足理由律的內容是：任何一個真判斷，必須有充足理由，即對于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根據．充足理由律可表示為：若有B，則必有A，使得由A可以推出B．充足理由律是進行推理和證明的邏輯基礎，它與判斷有著密切的聯系．例如，在數學命題中，充分條件、充要條件都可以作為結論的充足理由，原定理可作為它的逆否命題的充足理由等等。第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五充足理由律和前面三個規律有著密切的聯系

同一律、矛盾律和排中律是為了保持同一判斷(或概念)本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了保持之間的聯系有充分根據和說服力．因此，在思維過程中，如果違反了同一律、和排中律，那么就必然導致違反充足理由律．總之，數學推理、證明必須要求對象確定(同一律)，判斷不自相矛盾(矛盾律），不模棱兩可(排中律)，有充分根據(充足理由律)．在數學教學中，我們應注意培養學生嚴格遵守這些邏輯規律進行思考的習慣，以培養學生的邏輯思維能力。第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五（二）推理、證明與學習心理推理是數學的基本思維方法，是數學的靈魂，沒有推理就沒有數學。推理與證明，是數學的基本思維過程，推理一般包括合情推理和演繹推理。證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明，數學結論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規則得出結論。第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五中學階段對推理、證明的學習要求是：了解合情推理與演繹推理，體會二者之間的關系與差異；體會證明的特點。了解證明的基本方法，包括直接證明和間接證明的方法；感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，通過學習使學生表達清楚、養成言之有理、論證有據的習慣；學會用數學的思維方法解決數學和日常生活中的問題。第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五1.數學推理推理：根據判斷間的關系，從一個或幾個已有的判斷作出一個新的判斷的思維過程叫做推理．推理結構：包括前提和結論兩部分；所根據的已有判斷叫做推理的前提，作出的新判斷叫做推理的結論．正確的推理要求合乎邏輯形式，遵守推理規則．推理作用：在實踐中有兩方面的作用，一是幫助人們從已知的知識推出新的知識;二是證明的工具；第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五推理的形式：由于劃分的標準不同,推理可以分成許多種類。直接推理與間接推理．直接推理的前提只有一個，比較簡單；間接推理則是由兩個或兩個以上前提組成的推理，它又可分為歸納推理、類比推理和演繹推理三類．數學推理：是指從數學的已知事實或假設事實出發，依據數學邏輯引出結論的過程。數學推理包括合情推理與演繹推理。例1角平分線上任一點到這個角兩邊的距離相等,因此,到角兩邊的距離不等的點不在這個角的平分線上。例2矩形的對角線平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的對角線平分且相等。第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五合情推理：是根據已有的事實和正確的結論(包括實驗和實踐的結果)以及個人的經驗和直覺等推測某些結果和推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法．在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養．例如工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發明了鋸子；人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發明了潛水艇.演繹推理：是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程．合情推理和演繹推理之間聯系緊密，相輔相成．第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五(1)合情推理①歸納推理

歸納推理是一種由特殊到一般的推理，即從個別或特殊的事物所作判斷擴大為同類一般事物的判斷的思維過程，且根據前提與結論所作判斷的范圍是否相同，又分為完全歸納法與不完全歸納法．如果歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和等于結論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納法．就是根據對某類事物的全部對象的考察而進行的歸納推理。完全歸納法：第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

S1、S2、……、Sn是A類事物中所有的對象

S1

具有(或不具有)PS2

具有(或不具有)P………Sn

具有(或不具有)P----------------------A類事物具有(或不具有)P例如，分別考察某班每一個同學，確認全班五十位同學在期終考試中每門功課都及格，從而推出結論，該班全體同學在期終考試中全部過關。其表示形式是：第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五完全歸納推理的特點：

1、前提完備：前提應包括某類事物的全部對象。

2、結論可靠：結論的斷定范圍沒有超出前提的斷定范圍，所以它確實可靠。由于完全歸納法在前提判斷中已對結論的判斷范圍作出了判斷，如果皆是真實的，則所得結論是完全可靠的，所以完全歸納法可作為數學上的一種嚴格推理方法．但在應用時，須注意前提的判斷范圍既不能重復，也不能遺漏，即前提判斷范圍的總和不能小于結論判斷的范圍．第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結論判斷的范圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法．是從一個或幾個（但不是全部）特殊情況作出一般性結論的歸納推理。其表示形式是：

、、……、是A類事物中部分的對象具有(或不具有)P

具有(或不具有)P………

具有(或不具有)PA類事物具有(或不具有)P不完全歸納法：第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五例如，中學數學中從具體實數的運算概括出實數的運算律以及指數運算性質等的推理都是不完全歸納法，一些氣象諺語、農業諺語、人們的養生之道等也是根據不完全歸納法得到的．歸納推理的作用：

數學學習中歸納的作用主要表現在啟發解題思路，預測解題答案．利用歸納法考察原問題的特殊情形，為我們提供信息，幫助從特殊性到普遍性的認識，指明探索方向，發現解題途徑．

第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五②類比推理類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據兩個(或兩類)事物的某些相同或相似的性質，判斷它們在別的性質上也可能相同或相似．稱為類比推理.(簡稱:類比)。其表示形式是：

A類事物具有性質abcd

B類事物具有性質abc-------------------------B類事物可能具有性質d第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五例如，代數中根據分式與分數都具有分子、分母這個相同的形式，從而推測分式可以如同分數一樣進行化簡與計算；由平面上直線與直線之間的關系可以推測空間中平面與平面之間的關系等，這都是類比推理．類比推理的作用：在數學發展中類比的作用是提出新問題作出新發現．類比能提供線索、幫助分析猜想、發現解決問題的途徑．類比是擴大知識范圍、獲得新知識、發現真理的重要手段，類比在獲得科學成果和數學命題中有重要作用．第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五類比推理的幾個特點：1.類比是從人們已經掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎,類比出新的結果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結果是猜測性的不一定可靠,有些結論，還有待于實踐和理論的證明．但它卻有發現的功能.第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五（2）演繹推理演繹推理是一種由一般到特殊的推理，即以某類事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個別、特殊事物判斷的思維形式．簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實現的．三段論推理—由兩個前提(大前提、小前提)推出一個結論的思維形式稱為三段論推理,又稱三段論法。三段論推理是演繹推理的最主要形式，是中學階段學習的重點．第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五其表現形式是：集合M中的元素具有(或不具有)Pz∈M---------------------------

也具有(或不具有)P

三段論的結構包括大前提-----是指一般性事物,如已知的公理、定理、定義、性質等,反映一般原理的判斷，小前提----反映個別對象與大前提有關系的判斷，以及結論三個判斷．如果大前提、小前提都正確，則結論一定正確。第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

例1，因為負數無對數(大前提)；

-1是負數(小前提)；所以，-1無對數(結論)．例2，因為平行四邊形的對角線互相平分(大前提)；

ABCD是平行四邊形(小前提)；所以，ABcD的對角線AC與BD互相平分(結論)．第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五（3）合情推理與演繹推理的關系

合情推理與演繹推理在實際問題推論中相輔相成．合情推理用于探索，猜測一些數學結論演繹推理用于確認結論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想．在探索自然規律時，首先要確定一個目標，或者提出一個要解決的問題；然后通過日常的實踐、分析和合情推理，總結出一個預期的解決方案或猜想；最后還需對此猜想作出嚴格的證明．證明的過程中則需要按演繹推理的規則進行，證明完前一步，下一步又該如何演繹，仍需依靠合情推理提供思路，直至完成全部證明．可見，合情推理與演繹推理在實際問題推論中相輔相成的。第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2、中學數學證明的學習數學證明是應用已經確定其真實性的公理、定理、定義、公式、性質等數學命題來論證某一數學命題的推理過程．邏輯證明是由論題、論據、論證三個部分組成的．論題是需要證明其真實性的判斷，論據是用來證明論題真實性所引用的那些判斷，論證就是由論據出發進行一系列推理來證明論題的真實性的過程．數學證明習慣上分成已知、求證、證明三個部分來寫．其中論據是包括論題給定的條件和證明論題時所引用的那些論據，以及已知的公理、定理、公式、定義、法則、性質等命題；求證就是論題的結論，即有待于證明具有真實性的命題；證明就是論證，即證明論題真實性的推理過程．第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五證明格式——常用的有聯用式與推進式兩種．聯用式——是聯用“因為、所以”表示推理關系的書寫格式.聯用式給人以“亂”的感覺。

推進式——是借助符號“”表示蘊含關系或推理關系的書寫格式，且都可分為橫、豎兩種基本形式．推進式給人以“繁”的感覺。中學常用的幾種證明方法．直接證明和間接證明第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五（1）直接證法在數學證明中，從正面證明論題真實性的證明方法，叫做直接證法．凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法．它是中學數學中常用的證明方法。在數學證明中，分析法與綜合法是直接證明的兩種基本的方法。一種是由已知走向求證，即從數學問題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求的問題，這一方法稱為綜合法；另一種則是反過來，由求證走向已知，即從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件，這種方法稱為分析法．第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五（2）間接證法不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證法．間接證法主要有反證法與同一法．①反證法反證法的一般步驟如下：(1)假設命題的結論不成立(即結論的否定成立)；(2)從否定結論出發，逐層進行推理，得出與公理，或前述的定理、定義或題設條件，或與臨時假設等自相矛盾(即說明結論不能否定)；(3)根據排中律，最后肯定原命題成立．第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五②同一法如前所述，兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當一個命題的條件和結論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題(或否命題)才等效，這個原理叫做同一原理．對于符合同一原理的命題，當直接證明有困難時，可以，改證與它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法．同一法的一般步驟如下：(1)當命題的條件與結論所含事項都唯一存在時，先作出(設定)符合命題結論的圖形(或算式)；(2)證明所作圖形(或設定的算式)符合已知條件；(3)根據唯一性，確定所作圖形(或設定的算式)與已知圖形重合(或與已知關系式相同)；(4)最后肯定原命題成立．第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五反證法與同一法都是間接證法．它們的主要區別是：①方法不同．反證法先否定結論，然后再予以反駁；同一法先作出(設定)符合命題結論的圖形(或算式)，然后推證所作圖形(或算式)與已知圖形(或關系式)相同．②根據不同．反證法的邏輯依據是排中律，利用原命題與其逆否命題的等價性來證明的；同一法的邏輯依據是同一律，利用原命題與其逆命題的等價性來證明的．③適用范圍不同．反證法是從否定命題的結論出發，只要能推出矛盾就行，而這個矛盾不一定由于圖形(或關系式)的“唯一存在性”引起的．因此，反證法可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則的命題．第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五內容歸納起來就是：

推理的方法思維的理路證明的方法歸納法類比法演繹法分析法綜合法直接證明法簡接證明法完全歸納法不完全歸納法反證法同一法歸謬法窮舉法推證同法以數學方法研究邏輯的分科，叫做數理邏輯或符號邏輯。第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3、推理論證的學習心理推理論證素質的形成主要依賴于批判性思維和邏輯修養．批判性思維是指善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的思維方式．批判性思維具體呈現在以下幾個特點上：分析性——在思維過程中不斷地分析解決問題所依據的條件和反復驗證業已擬定的假設、計劃和方案；策略性——在思維課題面前，根據自己原有的思維水平和知識經驗在頭腦中構成相應的策略或解決問題的手段，然后使這些策略在解決思維任務中生效；整體性——在思維活動中，善于客觀地考慮正反兩方面的論據，認真把握問題的進展情況，隨時堅持正確計劃，修改錯誤方案；獨立性——堅持規則，不為情境性的暗示所左右，不人云亦云，盲從附和。嚴謹性——思維過程嚴謹，組織有條理，堅持實事求是．第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五推理論證的學習心理：①以似真為必真(27