數(shù)學分析課件平面點集與多元函數(shù)第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五一、平面點集※平面點集的一些基本概念由于二元函數(shù)的定坐標平面上滿足某種條件P

的點的集合,稱為平對與平面上所有點之間建立起了一一對應.在平面上確立了直角坐標系之后,所有有序實數(shù)義域是坐標平面上的點集,因此在討論二元函數(shù)之前，有必要先了解平面點集的一些基本概念.

面點集,記作第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五例如：

(2)(3)第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五圖16–1

(a)

圓C

(b)矩形S

圖16–2

(a)

圓鄰域

(b)

方鄰域

第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五由于點

A的任意圓鄰域可以包含在點

A的某一方鄰域之內(反之亦然),因此通常用“點A的鄰用記號或來表示.

點

A的空心鄰域是指:或并用記號

來表示.域”或“點A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五注意:不要把上面的空心方鄰域錯寫成

:(請指出※

點和點集之間的關系以下三種關系之一

:任意一點

與任意一個點集

之間必有是E的內點;由E的全體內點所構成的集合稱為(i)內點——若則稱點

AE的內部,記作intE.

錯在何處?)第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五(ii)外點——若則稱點A是

E的外點；由

E的全體外點所構成的集合(iii)

界點——若

恒有(

其中

),則稱點A是E的界點;由E的全體界點所構成的集合稱為E的邊界;記作注

E的內點必定屬于E;E的外點必定不屬于E;

E的界點可能屬于E,也可能不屬于E.并請注意:稱為E的外部.

第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五只有當時,E的外部與

才是兩個相同的集合.圖16–3例1

設平面點集（見圖16–3）于D;滿足的一切點也是D的內點;滿足的一切點是D的界點,它們都屬滿足的一切點都是D的界點,但它們都不屬于D.第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五點A與點集E的上述關系是按“內-外”來區(qū)分的.此外，還可按“疏-密”來區(qū)分，即在點A的近旁是否密集著E中無窮多個點而構成另一類關系:(i)

聚點——若在點A的任何空心鄰域內都含有E中的點，則稱點A是點集E的聚點．注1聚點本身可能屬于E，也可能不屬于E.注2聚點的上述定義等同于:“在點A的任何鄰域內都含有E中的無窮多個點”.注3

E的全體聚點所構成的集合稱為E的導集,記第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五作

又稱為E

的閉包,記作例如,對于例1中的點集D,它的導集與閉包同為其中滿足

的那些聚點不屬于D,而其余

所有聚點都屬于D.(ii)

孤立點——若點

,但不是E的聚點（即有某δ

>

0,使得

則稱點A是

E的孤立點.注孤立點必為界點;內點和不是孤立點的界點必第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五為聚點;既非聚點,又非孤立點,則必為外點.例2

設點集

顯然,E中所有點(p,q)全為E的孤立點;并有※

一些重要的平面點集根據(jù)點集所屬的點所具有的特殊性質,可來定義一些重要的點集.開集——若E所屬的每一點都是E的內點(即E=

intE),則稱E為開集.第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五E為閉集.例如前面列舉的點集中,(2)式所示的C是開集;(3)式所示的S是閉集;(4)式所示的D既非開集,又

非閉集;而(1)式所示的R2

既是開集又是閉集.在平面點集中,只有R2

與

是既開又閉的.開域——若非空開集E具有連通性,即E中任意兩點之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,閉集——若E的所有聚點都屬于E

則稱E為閉集.若E沒有聚點這時也稱

第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五則稱E為開域.簡單地說,開域就是非空連通開集.

閉域——開域連同其邊界所成的集合稱為閉域.區(qū)域——開域、閉域、開域連同其一部分界點所成的集合,統(tǒng)稱為區(qū)域.不難證明:閉域必為閉集;而閉集不一定為閉域.在前述諸例中,(2)式的C是開域,(3)式的S

是閉域,(1)式的R2既是開域又是閉域,(4)式的D是區(qū)域(但既不是開域又不是閉域).又如第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五它是I、III兩象限之并集.雖然它是開集,但因不具有連通性,所以它既不是開域,也不是區(qū)域.有界點集——對于平面點集E,若使得其中O是坐標原點(也可以是其他固定點),則稱E

為有界點集.否則就為無界點集(請具體寫出定義).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)與(5)是無界集.E為有界點集的另一等價說法是:存在矩形區(qū)域第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五此外，點集的有界性還可以用點集的直徑來反映,

所謂點集E的直徑,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

與P2(x2,y2)之間的距

離,即

于是,當且僅當d(E)為有限值時,E為有界點集.根據(jù)距離的定義,不難證明如下三角形不等式:

第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五※

舉例討論上述點集的性質例3

證明:對任何恒為閉集.證如圖16–4所示,設的任一聚點，欲證（即亦為的界點）.為此由聚點定義，存在圖

16–４

再由為界點的定義,

在

第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五的點.由此推知在內既有的點,又有非的任意性,

為的界點,即,也就證得為閉集．注類似地可以證明:對任何點集

亦恒為閉集.(

留作習題

)例4設

試證

E

為閉集的充要條件是：

內既有的點,又有非的點.所以,由第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五證下面按循環(huán)流程圖16–5來分別作出證明.

已知為閉集(

即),欲證

反之顯然有

①

②

③圖16–5

第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五綜合起來,便證得②已知欲證為此

外點,反之顯然

③第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五注此例指出了如下兩個重要結論:

(i)閉集也可用“”來定義

(只是使用

起來一般不如“”方便,因為有關聚點

有許多便于應用的性質)．(ii)閉集與開集具有對偶性質——閉集的余集為開

集;開集的余集為閉集.利用此性質,有時可以通

過討論

來認識E.第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五例5

以下兩種說法在一般情形下為什么是錯的?(i)

既然說開域是“非空連通開集”，那么閉域就是

“非空連通閉集”；(ii)

要判別一個點集是否是閉域,只要看其去除邊界后所得的是否為一開域,即答(i)例如取

這是一個非空連

通閉集.但因它是前面(5)式所示的集合G與其邊界(二坐標軸)的并集(即),而G不是第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五開域,故S

不是閉域(不符合閉域的定義).(a)(b)(c)

圖16–6

(ii)如圖16–6所示,集為

(c)

中的點集為易見E為一開域,據(jù)定義F則為閉域；然而

(a)中的點集為D;(b)中的點第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五顯然不符合它為閉域的定義.由此又可見到:二、R2上的完備性定理

※

平面點列的收斂性定義及柯西準則反映實數(shù)系完備性的幾個等價定理,構成了一元函數(shù)極限理論的基礎.現(xiàn)在把這些定理推廣到R2,它們同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎.

第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五定義1

設

為一列點,為一固定點.則稱點列{Pn}收斂于點P0,

記作同樣地有第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五由于點列極限的這兩種等價形式都是數(shù)列極限,因

此立即得到下述關于平面點列的收斂原理.

定理16.1(柯西準則)收斂的充要條件是:證（必要性）第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五應用三角形不等式,立刻得到(充分性)

當(6)式成立時,同時有這說明{xn}和{yn}都滿足關于數(shù)列的柯西準則,

所以它們都收斂.

由點列收斂概念,推知

{

Pn

}

收斂于點P0(x0,y0).

第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五

(這是一個重要命題,證明留作習題.)※

下述區(qū)域套定理,是區(qū)間套定理在R2

上的推廣.定理16.2(閉域套定理)

設{Dn

}是R2中的一列閉

域,它滿足：第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五圖16–7

則存在惟一的點證如圖16–7所示,任取點列從而有

由柯西準則知道存在第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五任意取定n,對任何正整數(shù)p,有再令由于Dn是閉域,故必定是閉集,

因此

Dn的聚點必定屬于Dn

,則得最后證明

的惟一性.若還有則由第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五推論對上述閉域套{Dn},

注把{Dn

}改為閉集套時,上面的命題同樣成立.定理16.3(聚點定理)

若為有界無限點集,則

E在R2中至少有一個聚點.

證現(xiàn)用閉域套定理來證明.由于E有界,因此存在一個閉正方形.如圖16–8所示,把D1分成四個相同的小正方形,則在其中至少有一小閉

正方形含有E中無限多個點,把它記為D2.再對

第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五圖16–8

D2如上法分成四個更小

的正方形,其中又至少有一個小閉正方形含有E

的無限多個點.如此下去,

得到一個閉正方形序列：很顯然,

{

Dn

}

的邊長隨著而趨于零.

于是由閉域套定理,存在一點第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含有E的無限多個點,這就證得了M0是E的聚點.推論任一有界無限點列

必存在收斂子定理16.4(有限覆蓋定理)

設為一有界閉域

,為一族開域

,它覆蓋了D

中必存在有限個開域

它們

同樣覆蓋了D,

即

(

證明可仿照R中的相應命題去進行.

)

列第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)相仿,在此從略.

注

將本定理中的D改設為有界閉集,而將改設為一族開集,此時定理結論依然成立.

例7

設試證E為有界閉集的充要條件

是:E的任一無窮子集Eq必有聚點,且聚點恒屬第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五證(必要性)E有界

有界,由聚點定理

,必有聚點.又因的聚點亦為E的聚點,而E是閉集,所以該聚點必屬于

E．(充分性)

先證E為有界集.倘若E為無界集,則

存在各項互異的點列易見這個子集無聚點,

這與已知條件相矛盾.再證

E為閉集.為此設P0為E

的任一聚點,由聚

點的等價定義,存在各項互異的點列

使第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五現(xiàn)把看作,由條件的聚點(即)必屬于

E,

所以E為閉集.

三、二元函數(shù)

※

函數(shù)(或映射)是兩個集合之間的一種確定的對

應關系.R到R的映射是一元函數(shù),R2到R的映射則是二元函數(shù).

第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五定義2

設平面點集,若按照某對應法則f,

D中每一點P(x,y)都有惟一確定的實數(shù)z與之對應,則稱f為定義在D上的二元函數(shù)(或稱f為

D到R的一個映射),記作也記作或點函數(shù)形式第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五與一元函數(shù)相類似,稱D為f的定義域;而稱

為f在點P的函數(shù)值;全體函數(shù)值的集合為f的

值域,記作.通常把P的坐標x與y稱為f的自變量,而把z稱為因變量.

當把和它所對應的

一起組成

三維數(shù)組(x,y,z)時,三維點集便是二元函數(shù)f的圖象.通常該圖象是一空間曲

第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五面,f的定義域D是該曲面在xOy平面上的投影.

例8

函數(shù)的圖象是R3

中的一個平面,其定義域是R2,值域是R.例9的定義域是xOy平面上的

單位圓域,值域為區(qū)間[0,1],

它的圖象是以原點為中心的單位球面的上半部分

(圖16–9).

例10是定義在R2上的函數(shù),它的圖象是過原點的雙曲拋物面(圖16–10).第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五圖16–9

圖16–10

圖16–11

第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五例11

是定義在R2上的函數(shù),值域是全體非負整數(shù),它的圖象示于圖16–11.

※若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集,則稱函數(shù)在D上為一有界函數(shù)(如例9中的函數(shù)).否則,

若是無界數(shù)集,則稱函數(shù)在D上為一無界

函數(shù)(如例8、10、11中的函數(shù)).與一元函數(shù)類似地,設則有第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五例12設函數(shù)(

此函數(shù)在以后還有特殊用處

)試用等高線法討論曲面

的形狀.解用為一系列常數(shù)

)去截曲面得等高線方程第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五當時,得平面上的四條直線當時,由等高線的直角坐標方程難以看出它

的形狀.若把它化為極坐標方程,即令得到如圖16–12所示,為所對應的一

族等高線.

第42頁，共48頁