專題15相似三角形一．選擇題1．（2022·湖南衡陽）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（

）（結果精確到．參考數據：，，）A． B． C． D．2．（2022·山西）神奇的自然界處處蘊含著數學知識．動物學家在鸚鵡螺外殼上發現，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現了數學中的（

）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．黃金分割3．（2022·浙江麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）A． B．1 C． D．24．（2022·湖南湘潭）在中（如圖），點、分別為、的中點，則（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片，其中，，，，，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是（

）A． B． C．10 D．6．（2022·甘肅武威）若，，，則（

）A． B． C． D．7．（2022·云南）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江舟山）如圖，在和中，，點A在邊的中點上，若，，連結，則的長為（

）A． B． C．4 D．9．（2022·江蘇連云港）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．2110．（2022·四川涼山）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（

）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm11．（2022·重慶）如圖，與位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶912．（2022·重慶）如圖，與位似，點為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（

）A．4 B．6 C．9 D．1613．（2022·浙江金華）如圖是一張矩形紙片，點E為中點，點F在上，把該紙片沿折疊，點A，B的對應點分別為與相交于點G，的延長線過點C．若，則的值為（

）A． B． C． D．14．（2022·浙江湖州）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F分別在邊AD，BC上，連結BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF．則下列結論不正確的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC15．（2022·四川眉山）如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．（2022·湖南株洲）如圖所示，在菱形中，對角線與相交于點，過點作交的延長線于點，下列結論不一定正確的是（

）A．B．是直角三角形C．D．17．（2022·浙江溫州）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，連結，作于點M，于點J，于點K，交于點L．若正方形與正方形的面積之比為5，，則的長為（

）A． B． C． D．18．（2022·湖北十堰）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．二、填空題19．（2022·陜西）在20世紀70年代，我國著名數學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優選法”，在全國大規模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為______米．20．（2022·浙江湖州）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，，．若DE＝2，則BC的長是______．21．（2022·湖南懷化）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．22．（2022·四川成都）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是_________．23．（2022·湖南婁底）如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與、不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉角度時點落在處，連接．給出下列結論：①；②；③當時，的面積取得最小值．其中正確的結論有________（填結論對應的序號）．24．（2022·湖南常德）如圖，已知是內的一點，，，若的面積為2，，，則的面積是________．25．（2022·天津）如圖，已知菱形的邊長為2，，E為的中點，F為的中點，與相交于點G，則的長等于___________．26．（2022·江蘇宿遷）如圖，在矩形中，=6，=8，點、分別是邊、的中點，某一時刻，動點從點出發，沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運動；同時，動點從點出發，沿方向以每秒1個單位長度的速度向點勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接，過點作的垂線，垂足為．在這一運動過程中，點所經過的路徑長是_____．27．（2022·四川宜賓）如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．28．（2022·河北）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點E，則（1）AB與CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．29．（2022·湖南邵陽）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請添加一個條件_________，使．30．（2022·新疆）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC的延長線上，點F在邊AB上，以點D為中心將繞點D順時針旋轉與恰好完全重合，連接EF交DC于點P，連接AC交EF于點Q，連接BQ，若，則______．三、解答題31．（2022·浙江杭州）如圖，在ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．32．（2022·四川樂山）華師版八年級下冊數學教材第121頁習題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設CE與DF交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數學興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．(2)【知識遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．(3)【拓展應用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．33．（2022·浙江嘉興）小東在做九上課本123頁習題：“1：也是一個很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規作AB上的一點P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段AB于點P，點P即為所求作的點．小東稱點P為線段AB的“趣點”．(1)你贊同他的作法嗎？請說明理由．(2)小東在此基礎上進行了如下操作和探究：連結CP，點D為線段AC上的動點，點E在AB的上方，構造DPE，使得DPE∽CPB．①如圖3，當點D運動到點A時，求∠CPE的度數．②如圖4，DE分別交CP，CB于點M，N，當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），猜想：點N是否為線段ME的“趣點”？并說明理由．34．（2022·浙江湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點N，連結FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內），連結EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關系，并說明理由．35．（2022·江西）如圖，四邊形為菱形，點E在的延長線上，．(1)求證：；(2)當時，求的長．36．（2022·江蘇揚州）如圖1，在中，，點在邊上由點向點運動（不與點重合），過點作，交射線于點．(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段與的數量關系，并說明理由；①點在線段的延長線上且；②點在線段上且．(2)若．①當時，求的長；②直接寫出運動過程中線段長度的最小值．37．（2022·浙江寧波）(1)如圖1，在中，D，E，F分別為上的點，交于點G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若平分，求的長．38．（2022·湖北武漢）問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．(1)先將問題特殊化．如圖（2），當時，直接寫出的值；(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點，是邊上一點，，延長至點，使，延長交于點．直接寫出的值（用含的式子表示）．39．（2022·湖南岳陽）如圖，和的頂點重合，，，，．(1)特例發現：如圖1，當點，分別在，上時，可以得出結論：______，直線與直線的位置關系是______；(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉，使點恰好落在線段上，連接，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展運用：如圖3，將圖1中的繞點順時針旋轉，連接、，它們的延長線交于點，當時，求的值．40．（2022·山西）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．41．（2022·江蘇蘇州）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．42．（2022·湖北黃岡）問題背景：一次數學綜合實踐活動課上，小慧發現并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，構造相似三角形來證明＝．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；(2)應用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長（用含m，的式子表示）．43．（2022·甘肅武威）已知正方形，為對角線上一點．(1)【建立模型】如圖1，連接，．求證：；(2)【模型應用】如圖2，是延長線上一點，，交于點．①判斷的形狀并說明理由；②若為的中點，且，求的長．(3)【模型遷移】如圖3，是延長線上一點，，交于點，．求證：．44．（2022·江蘇揚州）【問題提出】如何用圓規和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請你用圓規和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯想】如圖2，已知線段，請你用圓規和