哈爾濱師范大學學年論文題目凍土中的熱傳導學生孟琳指導教師張宏偉副教授年級2008級專業應用數學系別數學系學院數學科學學院哈爾濱師范大學2011年04月論文提要為了解決凍土中的熱傳導問題，我們設計的幾種方案并且找到了切實的解決方案。將此問題用數學建來解決，我們建立了一個建筑物下熱流的完全三維模型，區別出三種不同的熱傳遞模式（輻射、對流和傳導）。同時我們分別考慮了地下的不同層的不同情況。主要用到物理熱學中的熱量的傳導和數學中的外界值問題來使建筑物和道路下面的頂層永久冰凍。我們可以討論地下各層用什么樣的材料才能保持永凍，所以我們逐層的研究它的熱傳導問題，確定出具體的溫度及材料。我們建立了模型討論了層是均勻的和無水的；層是均勻的但含有呈現冰水混雜狀態的水分。最后為了達到我們心目中的結構由均勻的但不相同的若干層組成，我們將繼續假定為理想的溫度連接，以致在這里溫度和熱通量都是連續的。有了這些建立的模型通過數學手段將其求解從而得到我們想要的結果進而解決了這個實際問題。它的意義在于可以在這樣一個冰凍的地方進行石油的開采。凍土中的熱傳導孟琳摘要：為了解決凍土中的熱傳導問題，我們設計的幾種方案并且找到了切實可行的解決方案。將此問題用數學建來解決，我們建立了一個建筑物下熱流的完全三維模型，區別出三種不同的熱傳遞模式（輻射、對流和傳導）。同時我們分別考慮了地下的不同層的不同情況。主要用到物理熱學中的熱量的傳導和數學中的外界值問題來使建筑物和道路下面的頂層永久冰凍。我們可以討論地下各層用什么樣的材料才能保持永凍，所以我們逐層的研究它的熱傳導問題，確定出具體的溫度及材料。我們建立了模型討論了層是均勻的和無水的；層是均勻的但含有呈現冰水混雜狀態的水分。最后為了達到我們心目中的結構由均勻的但不相同的若干層組成，我們將繼續假定為理想的溫度連接，以致在這里溫度和熱通量都是連續的。有了這些建立的模型通過數學手段將其求解從而得到我們想要的結果進而解決了這個實際問題。它的意義在于可以在這樣一個冰凍的地方進行石油的開采。關鍵字：數學建模熱量傳導外界值問題問題：在北冰洋和阿拉斯加的布魯克斯嶺之間橫沃著北斯洛普。在這塊寒、荒蕪的冰原上已經發現了石油，而且預期在未來的年代里需要進行大量的石油勘探和開采活動。在這種活動中很大部分需要工程機構（比如，打井機、輸油管、工棚，與此同時還要有道路和機場）的安裝。由于所處的地理位置，在北斯洛普施工，像在北極與南極地帶一樣，由于場地處于永凍狀態而復雜難辦。除了幾尺的活性表面層，土壤中的水分永久的保持著冰凍深度可達6000多尺厚。一年中的大部分時間，頂層都是冰凍的，但在夏日里，土壤中融化的冰平均表面有2~3尺深。容易想象，如果位于地下的冰融了，那么置于凍土上的人造設備將會陷進土壤中去，如果設備發熱，比如輸送熱油的地下管道，那么問題就變得更加嚴峻了，所造成的損失也是不可估量的。方案：為了解決這個問題。也就是為了順利將這種地理位置下的石油順利開采出來，我們必須保證設備穩固以及開采輸送過程中的安全問題。在解決這些問題的過程中，我們已經逐步的將此問題轉化為使建筑物和道路下面的頂層永久冰凍的問題。一種可能的途徑是用某種方式使建筑物和大地隔熱,去防止因冰的融化所引起的支撐強度的降低。這種隔熱通常采用如下基本方法，建筑物由沙、石子、木料，可能還有人造材料裝配到不同厚度的各個夾層中構成。如果用這種解決方案，那么我們又將面臨新的問題:施工費用問題。結合地理位置在運輸大量建筑材料時，由于此地與材料產地距離很遠，用飛機、履帶式車輛運輸，這樣就會撕裂大地的保護層同時也會傷害植被，這樣所造成的經濟損失是會大大超出我們所能承受的范圍。因此我們要設計出合理的方案使它成為最經濟的結構設計。為了得到適用于這個問題的方法我們將模擬層狀介質中的熱流的數學模型公式及其應用。模型：I）需要一個數學模型來描述建筑在永凍狀態下的分層土地之上的結構的內部及其下面的熱流II）建立一個在建筑物之下的熱流的三維模型III）區別出三種不同的熱傳遞模式：輻射、對流和傳導IV）考慮沒有水分的同類土質的單層開始。（1） 熱流朝著溫度降低的方向流動（2） 在溫度變化過程中，物體得到的或失去的熱量與物體的質量和溫度的變化成正比。（3） 通過一個面的熱率流與這個面的面積和垂直于這個面的溫度梯度成正比。假設卩為控制體積的平均溫度，e為它的含熱量，p為它的密度，那么，第二個法則可以表示為：AO=cA卩pAxA （1）比例常數c叫做物質的比熱容；PAxA為控制體積的質量。第三個法則稱為熱傳導的傅里葉法則。如果我們假定在層中所考慮的點的臨近的熱流為嚴格的垂直的，那么，對于在指定時刻t經過時間間隔At,通過面積A深度為x的沿x增加方向的熱TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"門 、AO 如損失aO可以寫成：=-kA=—（x,t） （2）At dx

圖1-1其中比例常數k稱為物質的傳導率。在圖中控制體積的能量平衡。流經x+Ax處那個面的熱的總量一定等于在時間間隔At內熱損失的總量，即即， 4 Ay-kA （x+Ax,t）+kA （x,t）=-cPAxA-dx dx At假定溫度隨時間光滑的變化，我們就可以取當Ax,Atto時的極限，從而得到在空間和時間中一點（x,t）處溫度卩的傅里葉傳導方程：TOC\o"1-5"\h\zd2y 創K （x，t）=cp（x，t） （3）ex2 Ct在x=x處，溫度保持某個固定值y，即y（x，t）=y （4）x x我們將簡單的假設土地頂層的溫度是時間的一個確定函數，比如說y（o,t）=q⑴最后我們還需要一個關于土地在我們觀察的開始時刻t的初始溫o度分布。為了方便起見我們將選擇t=o并寫成y（x,o）=y（x） （6）o oy的實際形式可能因問題而異。等式（3）?（6）定義了一個適定的初始邊界問題。o它關于合理的數據的解存在，而且它能非常好的預言在均勻媒質中的溫度場服從一維熱流規律。同時我們還必須知道有關函數d（t）,卩（x）以及物理常數k、c和oP。至此，我們已討論了層是均勻的和無水的。下面我們假設這層仍然是均勻的，但是含有呈現冰水混雜的狀態的水分。我們選取圖中的沙子層，假定在已知時刻t，沙o子在直線oo以上是潮濕的，而在這直線以下是凍結的（這要求d（t））A32oF，o卩Y32oF）。此刻把沙子看做兩層是方便的，對于上一層，方程3）和邊界條件x（5）都是成立的，其中k，c和P的值是就潮濕沙子來測定的。凍結線以下的那一層，當k，c和P的值就是凍結沙子的情況來選取時方程（3）也成立。自然，邊界條件（4）繼續有效。為了計算將來時刻的溫度分布，我們必須聯合所謂的自由界面oo處潮濕的和冰凍的沙子間的溫度和熱通量。潮濕沙子層的底部和凍結沙子層的頂部兩者都必定正好具有水的凍結溫度（取做32oF）以致卩（s（t）,t）=卩（s（t）,t）=32sw si（7）其中sw和si表示沙子的潮濕層和冰凍層，而s（t）表示在時刻t時自由界面的位置。自然，自由界面隨時間的推移會移動的。假定在時間間隔V內，界面向下運動了距離As，那么，融化一塊凍結沙子As?A用去的熱量為：0=PXAs?Asi其中Psi為凍結沙子的密度，而九為凍結沙子融化的潛熱融化所需的熱量，又由從潮濕沙子流出的熱量減去傳導進冰凍沙子的熱損失提供。因此：TOC\o"1-5"\h\z,3^ ，。口 As,AkF_Ak令=P九丁A令Atto,我們找到了第二個自由界面條件為：siox sw3x si At,0卩 ,k金一k”=P九s，（t） （8）為了找到部分凍結的均勻土質中siox swox si的溫度分布，我們需要同時求出s（t）上面和下面能成立的兩個熱方程服從已知界面和界面條件的解｛卩，卩，s（t）｝。至I」此為止我們所建立的模型還不完全。我sw si們的心中的結構由均勻的但不相同的若干層組成，這些層可以依次建立在層狀土壤上。對于每一個均勻層，上面的推導都適用。在兩層之間的邊界，我們將假定為理想的溫度連接，以致在這里溫度和熱通量都是連續的。例如，如果在深度x=x處,一個界面出現在沙子層和在下面的石子層之間，那么，lim屮k ￡To字(x_￡,t)]=0其中記oxk\o"CurrentDocument"1. 字(x_￡,t)]=0其中記oxk\o"CurrentDocument"(x+￡，t)_卩(x_￡,t)]=0,lim[k—(x+￡，t)_k

k k ￡Tog0x k s號s和g表示沙子和石子。我們將假定總共M個固定的不同的層，在那里存在從深度x一直到x的第i層。i-1 i在建筑物下面選取一個具有坐標（深度）x的點，這個點將落進某個特定的材料層中，比如說，第i層（可能是石子、土，或諸如此類的其它材料）。這個點在時刻t的溫度為卩（x,t）.它或者在冰點以上或者在冰點以下。如果卩（x,t）a32o,那么，在這點的水分就是水，而熱量參數用丫=?表明。如果卩（x,t）Y32o，那么，水分呈現為冰，而熱量參數用丫=f表明。潮濕材料和冰凍材料之間的分解線位于深度為s（t）的地方，它落進某一層，比如說第j層。并且一定被連同所有M層的溫度卩（x，t）所確定。解法：對于這個模型解法是很自由的，可以用格林和諾依曼函數項的表示，但它通常只用于初等計