高三數學一模試卷一、單項選擇題，集合A.假設復數

滿足，那么C.〔 〕C.

5〔 〕D.B.，那么A.B.D.3.函數A.的圖象與函數的圖象關于直線對稱，那么〔 〕B.C.D.4.函數的最大值為〔

〕A.

4B.

5C.

6D.

75.數列的前 項和，那么數列的前

10

項和等于〔

〕A.

1023B.

556. ， 是兩個正數，4

是 與C.45 D.

35的等比中項，那么以下說法正確的選項是〔

〕A. 的最小值是

1 B. 的最大值是

1 C. 的最小值是 D. 的最大值是?算數書?是我國現存最早的系統性數學典籍，其中記載有求“困蓋〞的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術相當于給出了由圓錐的底面周長 與高 ，計算其體積 的近似公式，用該術可求得圓周率

的近似值.現用該術求得

的近似值，并計算得一個底面直徑和母線長相等的圓錐的外表積的近似值為

9，那么該圓錐體積的近似值為〔 〕A. B.

2 C.

3 D.

3假設 的展開式中 的系數為

3，那么 〔 〕1 B. C. D.

2二、多項選擇題曲線 ，且 ，那么以下結論正確的選項是〔 〕假設曲線 為橢圓或雙曲線，那么其焦點坐標為〔 ，0〕假設曲線

是橢圓，那么假設 且直線，那么曲線 是雙曲線與曲線

恒有兩個交點10. 是定義在

上的奇函數，的圖象關于對稱，當時，，那么以下判斷正確的選項是〔

〕A. 的值域為 B.的周期為

2C.是偶函數D.函數A.

假設函數，那么以下說法正確的選項是〔 〕的最小值為－5，那么〕，那么 使得 成立， x∈[0， ] 都有B.

假設C.

假設成立，那么D.假設函數 在 上存在最大值，那么正實數 的取值范圍是12.數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微．〞事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決.例如，與

相關的代數問題，可以轉化為點

與點

之間的距離的幾何問題.結合上述觀點，對于函數〔 〕，以下結論正確的選項是A. 無解B.的解為C. 的最小值為

2D.的最大值為

2三、填空題13. ， ，且 ，那么

．14.某圓形廣場外圍有

12

盞燈，如下列圖，為了節能每天晚上

12

時關掉其中

4

盞燈，那么恰好每間隔

2盞燈關掉

1

盞的概率是

.，二面角為，那么四面的焦點，且與

交于

，

兩點，假設為坐標原點〕的面積為

．在四面體 中，體 的外接球的外表積為

．斜率為 的直線過拋物線，那么

,四、解答題17.記

為數列〔1〕求數列的前 項和，

，

．的通項公式；，〔2〕假設 ，設數列 的前 項和為 ，證明：從以下三個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線中，然后對題目進行求解.．條件①：

，

；條件②： ，；條件③： +1， ．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.在 中，角 ， ， 的對邊分別是 ， ， ，．〔1〕求角的大小；〔2〕假設，，點 滿足中，平面，求的面積19.如圖，在四棱錐平面，，，，〔1〕證明：平面；與平面〔2〕線段 上是否存在一點 ，使得出 的值；假設不存在，請說明理由.20.橢圓

的離心率為所成角的正弦值為?假設存在，請求，過橢圓右焦點并垂直于軸的直線交橢圓于 ， 〔點 位于 軸上方〕兩點，且〔1〕求橢圓 的標準方程；〔2〕假設直線

交橢圓 于 ， 〔 ，〔 為坐標原點〕的面積為

．異于點 〕兩點，且直線與的斜率之積為求點 到直線21.函數〔1〕討論函數距離的最大值.．的零點個數；〔2〕設

，

是函數

的兩個零點，證明： ．22.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫務人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰，我國企業依靠自身強大的科研能力，果斷轉產自行研制新型全自動高速口罩生產機，“爭分奪秒、保質保量〞成為口罩生產線上的重要標語．〔1〕在試產初期，某新型全自動高速口罩生產流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢．批次

的成品口罩生產中，前三道工序的次品率分別為 ， ．①求批次

I

成品口罩的次品率 ．②第四道工序中紅外線自動檢測為次品的口罩會被自動淘汰，合格的口罩進入流水線并由工人進行抽查檢驗.批次I

的成品口罩紅外線自動檢測顯示合格率為

92%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品的概率〔百分號前保存兩位小數〕.〔2〕某批次成品口罩的次品率為

，設

100

個成品口罩中恰有

1

個不合格品的概率為 ，記 的最大值點為 ，改進生產線后批次 的口罩的次品率 ．某醫院獲得批次

， 的口罩捐贈并分發給該院醫務人員使用．經統計，正常佩戴使用這兩個批次的口罩期間，該院醫務人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求 ，并判斷是否有

99.9%的把握認為口罩質量與感染新冠肺炎病毒的風險有關？附：．P〔K2≥k〕k答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】解：∵∴ .故答案為：A.，，【分析】

可求出集合

M，N，然后進行并集的運算即可.2.【解析】【解答】解：由 ，得，，∴那么.故答案為：D.【分析】

把等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求解.3.【解析】【解答】解：因為函數

的圖象與函數

的圖象關于直線

對稱，與 互為反函數，，.所以故所以故答案為：C.【分析】

利用圖象關于直線y=x

對稱，求出的反函數即為

y=f

(x)

，將

x=2e

代入y=f

(x)求解即可.4【.

解析】【解答】解：函數，由于，故，由于函數的對稱軸為

，當時，取得最大值，故答案為：B【分析】

直接利用三角函數的關系式的變換和二次函數的性質的應用求出結果.5.【解析】【解答】因為,所以當時,;當時,亦滿足;所以,當 時,,所以前

10

項和等于,所以,故答案為：C.【分析】

利用

an=Sn-Sn-1

可知當

n≥2

時an=2n-1,進而可知

an=2n-1,利用對數的運算性質可知

log2an=n-1，進而利用等差數列的求和公式計算可得結論.6.【解析】【解答】由題可得 ，所以 ，即所以 ，可得

，當且僅當

時等號成立，所以 的最大值為

1，A

不符合題意，B

符合題意.因為 ，當且僅當 等號成立故 的最小值為 ，無最大值，C

和

D

都錯誤.故答案為：B【分析】

由利用等比數列的性質，根本不等式得

ab≤1，即可判斷

A，B；利用根本不等式即可判斷

C，D,即可得解.7.【解析】【解答】解：圓錐的體積，解得 ，那么設所求圓錐的底面直徑與母線長為，那么底面半徑為，那么，解得 ，設高為 ，那么故答案為：A.【分析】

根據圓錐的體積公式先求出π

的近似值，然后根據圓錐的外表積公式建立等式求出底面半徑，最后根據體積公式進行求解即可.8.【解析】【解答】解： ，而 的展開式的通項公式為 ，故 的展開式中

的系數為 ，那么 ，故答案為：C．，

再利用二項展開式的通項公式，求得【分析】

式子即據 的系數為

3，求得

a

的值.二、多項選擇題的系數，根9.【解析】【解答】假設曲線表示橢圓，，，∵∴那么，，即橢圓焦點在

軸，那么，得，此時焦點坐標為假設曲線表示雙曲線，由此時雙曲線的標準方程為，得，，那么 ，，即焦點在 軸，那么，得，此時焦點坐標為，A

符合題意；假設曲線表示橢圓，∵，∴，，那么，B

符合題意；，得，C

不符合題意；，，假設曲線表示雙曲線，由由 得得 ，得即直線過定點 ，當曲線為雙曲線時，，，此時，當 時， ，此時，雙曲線右頂點為此時直線不一定有兩個交點，D

不符合題意.故答案為：AB.，在點的右側，【分析】根據雙曲線和橢圓方程的特點分別進行判斷，即可得出答案。10.【解析】【解答】對于A，當 時，，此時，又由 是定義在 上的奇函數，那么 ，且當時，，故在區間 上， ，A

不符合題意，對于B，函數 圖象關于直線 對稱，那么有又由 是定義在 上的奇函數，那么，，那么有，故是周期的周期函數，B

不符合題意；的圖象關于對稱，那么函數的圖像關于軸對稱，是偶函數，C是周期對于C，符合題意，對于

D，故答案為：CD的周期函數，那么，D

符合題意，【分析】根據題意，依次分析選項是否正確，綜合可得答案。，其中，，解得11.【解析】【解答】解：對于

A，函數因為函數

的最小值為-5，所以對于B，假設函數，A

不符合題意；，那么，因為，所以，，，，，此時，所以不存在使得成立，B

不符合題意；對于

C，假設，那么，因為，所以，，，因為都有成立，所以，解得 ，即，C

符合題意；對于

D，，其中，因為函數所以在 上存在最大值，，即 ，所以，，，D

符合題意.故答案為：CD.【分析】根據輔助角公式化簡得，

其中，再根據正弦函數的性質，逐項進行判斷，即可得出答案。12.【解析】【解答】解：，，，，，，設那么假設 ，那么那么 的軌跡是以此時，，即，， 為焦點的橢圓，，，當 時，得即橢圓方程為，得，得，A

不符合題意，B

符合題意，關于

對稱點為那么，，當三點共線時，最小，此時，無最大值，C

符合題意，D

不符合題意，故答案為：BC.【分析】

根據兩點間距離公式，結合橢圓的定義和性質分別進行判斷即可.三、填空題13.【解析】【解答】解：根據題意，那么有那么，，，且，變形可得，，故 ，故答案為：7．，

計算可得或【分析】根據題意，對 變形可得 的值，又由答案.14.【解析】【解答】將

12

盞燈依次編號為

1、2、3、…、12，從

12

盞燈中關掉

4

盞燈，共有 種方法，每間隔

2

盞燈關掉

1

盞共有

3

種情況，即關掉 或所以恰好每間隔

2

盞燈關掉

1

盞的概率為 ，故答案為： .，【分析】

先對

12

盞燈依次編號，然后求出總的情況，然后再對所求事件的情況分類討論即可求解.15【.

解析】【解答】解：作空間四邊形

，取

的中點

，連接

，

，如以下列圖所示，由可得，， 為等邊三角形，那么，，∴設為二面角 的平面角，大小為 ，的外心為 ， 的外心為 ，連接 ，分別過， 作所在面的垂線，相交于 ，那么 為四面體的外接球的球心，由求得，在中，，∴，又，所以為等邊三角形，所以，故四面體的外接球的半徑，∴四面體的外接球的外表積為.故答案為：.【分析】

由題意畫出圖形，找出四面體外接球的球心,求解.三角形可得外接球的半徑，再由球的外表積公式求解.16.【解析】【解答】解：由拋物線的方程可得焦點 的坐標 ，準線方程為 ，設 ， ，由題意設直線 的方程： ，聯立，整理可得：，可得，，所以，，，所以，，故答案為：，．【分析】

由拋物線的方程可得焦點的坐標，由題意可設直線

AB

的方程，與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質可得弦長|AB|的值，由題意可得

p

的值，代入面積公式可得三角形的面積.四、解答題17.【解析】【分析】

(1)選①②時，直接利用遞推關系求出數列

，進一步求出數列的通項公式，選③時，利用 (常數)，進一步求出數列 是以

1

為首項，1

為公差的等差數列 ，

最后求出數列的通項公式；(2)利用(1)

的通項公式，進一步利用裂項相消法和放縮法求出結果.【解析】【分析】

(1)利用正弦定理及余弦定理對進行化簡，即可求解；(2)由(1)

可求

a，然后結合三角形的面積公式即可求解.【解析】【分析】

(1)由平面PAB⊥平面ABCD，推出

AD⊥平面

PAB，有AD⊥PA，再由勾股定理的逆定理證明

PA⊥AC，最后由線面垂直的判定定理，得證；(