第九章三角形檢測題（時間：90分鐘，滿分：100分）選擇題（每小題3分，共30分）1.以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm,4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm,6cm2.等腰三角形的兩邊長分別為5cm和10cm，則此三角形的周長是（）A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm3.下列長度的三條線段，不能組成三角形的是（）A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，84.已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC一定（）A.小于直角B.等于直角C.大于直角D.不能確定5.下列命題中正確的是（）A．三角形可分為斜三角形、直角三角形和銳角三角形B．等腰三角形任意一個內角都有可能是鈍角或直角C．三角形外角一定是鈍角D．△ABC中，如果∠A＞∠B＞∠C，那么∠A＞60°，∠C＜60°6.某同學手里拿著長為3和2的兩個木棍，想要找一個木棍，用它們圍成一個三角形，那么他所找的這根木棍長滿足條件的整數解是（）A.1，3，5B.1，2，3C.2，3，4D.3，4，57.已知一個三角形的兩邊長分別是2和3，則下列數據中，可作為第三邊長的是（）A.1B.3C.5D.78.已知在△ABC中，，周長為12，，則b為（）A．3B．4C．5D．69.小華在中問小明：“已知一個三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解.”小華根據小明的提示作出的圖形正確的是（）A.B.C.D.10.直角三角形的兩銳角平分線相交成的角的度數是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案均不對第12題圖二、填空題（每小題3分，共24分）第12題圖11.若一個三角形的三個內角之比為4∶3∶2，則這個三角形的最大內角為.12.如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四第13題圖邊形，則∠1+∠2=度．第13題圖13.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3cm，AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是5cm，則BC的長等于cm．14.已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數為．15.設為△ABC的三邊長，則.16.如圖所示，AB=29，BC=19，AD=20，CD=16，若AC=，則的取值范圍為.BBACD第16題圖第17題圖第17題圖17.如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，點P是△ABC內一點，且∠1=∠2．則∠BPC=________.18.“直角三角形有兩個角是銳角”這個命題的逆命題是，它是一個命題.三、解答題（共46分）19.（6分）認真閱讀下面關于三角形內、外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題．探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發現∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴.∴.又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴.∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=.探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）結論：．第19題圖第19題圖第20題圖第20題圖20.（6分）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AC上的中線把三角形的周長分為24cm和30cm的兩個部分，求三角形各邊的長．21.（6分）有人說，自己的步子大，一步能走四米多，你相信嗎？用你學過的數學知識說明理由．22.（6分）已知一個三角形有兩邊長均為，第三邊長為，若該三角形的邊長都為整數，試判斷此三角形的形狀．23.（6分）如圖所示，武漢有三個車站A、B、C成三角形，一輛公共汽車從B站前往到C站．（1）當汽車運動到點D時，剛好BD=CD，連接線段AD，AD這條線段是什么線段？這樣的線段在△ABC中有幾條呢？此時有面積相等的三角形嗎？（2）汽車繼續向前運動，當運動到點E時，發現∠BAE=∠CAE，那么AE這條線段是什么線段呢？在△ABC中，這樣的線段又有幾條呢？（3）汽車繼續向前運動，當運動到點F時，發現∠AFB=∠AFC=90°，則AF是什么線段？這樣的線段在△ABC中有幾條？第24題圖第24題圖第23題圖第23題圖24.（8分）已知：如圖，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求證：CD⊥AB．25.（8分）規定，滿足（1）各邊互不相等且均為整數，（2）最短邊上的高與最長邊上的高的比值為整數k，這樣的三角形稱為比高三角形，其中k叫做比高系數．根據規定解答下列問題：（1）求周長為13的比高系數k的值.（2）寫出一個只有4個比高系數的比高三角形的周長.第九章三角形檢測題參考答案1.B解析：根據三角形中任何兩邊的和大于第三邊可知能組成三角形的只有B，故選B.2.C解析：因為三角形中任何兩邊的和大于第三邊，所以腰只能是10cm，所以此三角形的周長是10+10+5=25（cm）.故選C.3.A解析：根據三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，進行判定即可．∵3+4＜8，∴不能構成三角形；B.∵4+6＞9，∴能構成三角形；C.∵8+15＞20，∴能構成三角形；D.∵8+9＞15，∴能構成三角形．故選A．點評：此題主要考查學生對運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形的掌握情況，注意只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．4.C解析：因為在△ABC中，∠ABC+∠ACB＜180°，所以所以∠BOC＞90°.故選C.5.D解析：A、三角形包括直角三角形和斜三角形，斜三角形又包括銳角三角形和鈍角三角形，所以A錯誤；B、等腰三角形只有頂角可能是鈍角或直角，所以B錯誤；C、三角形的外角可能是銳角也可能是直角，所以C錯誤；D、因為△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，若∠A＜60°或∠C＞60°，則與三角形的內角和為180°相矛盾，所以原結論正確，故選D.6.C解析：設他所找的這根木棍長為x，由題意得：3﹣2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，∵x為整數，∴x=2，3，4，故選C．點評：此題主要考查了三角形三邊關系，掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵．7.B解析：設這個三角形的第三邊為x．根據三角形的三邊關系定理，得：3﹣2＜x＜3+2，解得1＜x＜5．故選B．點評：本題考查了三角形的三邊關系定理．一定要注意構成三角形的條件：兩邊之和＞第三邊，兩邊之差＜第三邊．8.B解析：因為，所以.又，所以故選B.9.C解析：∵42+92=97＜122，∴三角形為鈍角三角形，∴最長邊上的高是過最長邊所對的角的頂點，作對邊的垂線，垂足在最長邊上．故選C．點評：本題考查了三角形高的畫法．當三角形為銳角三角形時，三條高在三角形的內部；當三角形是直角三角形時，兩條高是三角形的直角邊，一條高在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，兩條高在三角形外部，一條高在內部．10.C解析：如圖所示：∵AE、BD是直角三角形中兩銳角平分線，第10題答圖∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°.第10題答圖兩角平分線組成的角有兩個：∠BOE與∠EOD互補，根據三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°-45°=135°，故選C．11.80°解析：這個三角形的最大內角為180°×=80°．第12題答圖12.270解析：如圖，根據題意可知∠5=90°，第12題答圖∴∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°.13.2解析：∵AB的垂直平分線交AC于點N，∴NA＝NB，又∵△BCN的周長是5cm，∴BC＋BN＋NC＝5cm，∴BC＋AN＋NC＝5cm，而AC＝AN＋NC＝3cm，∴BC＝2cm．故答案為2．14.120°或20°解析：設兩個角分別是，4，①當是底角時，根據三角形的內角和定理，得=180°，解得=30°，4=120°，即底角為30°，頂角為120°；②當是頂角時，則=180°，解得=20°，從而得到頂角為20°，底角為80°.所以該三角形的頂角為120°或20°．15.解析：因為為△ABC的三邊長，所以，，所以原式=16.10＜＜36解析：在△ABC中，AB-BC＜AC＜AB+BC，所以10＜＜48；在△ADC中，AD-DC＜AC＜AD+DC，所以4＜＜36.所以10＜＜36.17.110°解析：因為∠A=40°，∠ABC=∠ACB，所以∠ABC=∠ACB=(180°-40°)=70°.又因為∠1=∠2，∠1+∠PCB=70°，所以∠2+∠PCB=70°，所以∠BPC=180°-70°=110°.18.有兩個銳角的三角形是直角三角形假解析：“直角三角形有兩個角是銳角”這個命題的逆命題是“有兩個銳角的三角形是直角三角形”，假設三角形一個角是30°，一個角是45°，有兩個角是銳角，但這個三角形不是直角三角形．故是假命題．19.分析：（1）根據提供的信息，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠O的關系；（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．解：（1）探究2結論：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），結論∠BOC=90°﹣∠A．20.分析：因為BD是中線，所以AD=DC，造成所分兩部分不等的原因就在于腰與底的不等，故應分情況討論．解：設AB=AC=2，則AD=CD=，（1）當AB＋AD=30，BC＋CD=24時，有2=30，∴=10，2=20，BC=24－10=14.三邊分別為：20cm，20cm，14cm．（2）當AB＋AD=24，BC＋CD=30時，有=24，∴=8，，BC=30－8=22.三邊分別為：16cm，16cm，22cm．21.分析：人的兩腿可以看作是兩條線段，走的步子也可看作是線段，則這三條線段正好構成三角形的三邊，就應滿足三邊關系定理．解：不能．如果此人一步能走四米多，由三角形三邊的關系得，此人兩腿長的和大于4米，這與實際情況不符．所以他一步不能走四米多．22.分析：已知三角形的三邊長，根據三角形的三邊關系定理，列出不等式，再求解.解：根據三角形的三邊關系定理，得＜＜，0＜＜6-，0＜＜．因為2是正整數，所以=1．所以三角形的三邊長分別是2，2，2．因此，該三角形是等邊三角形．23.分析：（1）由于BD=CD，則點D是BC的中點，AD是中線，三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形；（2）由于∠BAE=∠CAE，所以AE是三角形的角平分線；（3）由于∠AFB=∠AFC=90°，則AF是三角形的高線．解：（1）AD是△ABC中BC邊上的中線，三角形中有三條中線．此時△ABD與△ADC的面積相等．（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分線，三角形中角平分線有三條．（3）AF是△ABC中BC邊上的高線，高線有時在三角形外部，三角形中有三條高線．24.分析：靈活運用垂直的定義，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，結合平行線的判定和性質，只要證得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．證明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定義），∴DG∥AC（同位角相等，兩直線平行）.∴∠2=∠ACD（兩直線平行，內錯角相等）.∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ACD（等量代換），∴EF∥CD（同位角相等，兩直線平行）.∴∠AEF=∠ADC（兩直線平行，同位角相等）.∵EF⊥AB（已知），∴∠AEF=90°（垂直定義），∴∠ADC=90°（等量代換）.∴CD⊥