本文格式為Word版，下載可任意編輯——矩陣及其運算線性代數其次章矩陣及其運算1

其次章矩陣及其運算

矩陣是線性代數的一個最基本的概念，也是數學的最基本的一個工具。它在二十世紀得到飛速發展，成為在物理學、生物學、地理學、經濟學等中有大量應用的數學分支，現在矩陣比行列式在數學中占有更重要的位置。矩陣這個詞是英國數學家西勒維斯特在1850年首先使用的，但歷史十分長久，可追溯到東漢初年（公元一世紀）成書的《九章算術》，其方程章第一題的方程實質上就是一個矩陣，所用的解法就是矩陣的初等變換。

矩陣的運算是線性代數的基本內容。1849年英國數學家凱萊介紹了可逆方陣對乘法成群。凱

萊——畢業于劍橋三一學院，他與西勒維斯特長期合作作了大量的開創性的工作創立了矩陣論；與維爾斯特拉斯一起創立了代數型理論，奠定了代數不變量的理論基礎；他對幾何學的統一也有重大貢獻，一生發表近千篇論文。

本章首先引入矩陣概念，繼而介紹矩陣的基本運算和可逆陣的概念，最終介紹簡化矩陣運算的技巧——矩陣分塊法。

本章要求把握矩陣的運算，會求可逆陣的逆矩陣。

§1矩陣

一.矩陣的定義

1、引例

10求解線性方程組是一個重要問題，但僅僅寫方程組就很麻煩，我們的想法是能否找到與線性方程組一一對應的等價形式，從而化減線性方程組的求解運算。

設含個m方程、n個未知數的線性方程組為

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?a21x1?a22x2???a2nxn?b2?????????ax?ax???ax?bm22mnnm?m11a11a12a22?am2????a1na2n?amn(1)

(1)的系數共有m×n個數，可排成一個m行n列的矩形的數陣

a21?am1?a11?a??21????a?m1a12a22?am2????a1n??a2n????amn??且這個數陣與(1)式左端構成一一對應，稱為線性方程組(1)的系數矩陣。

20列昂杰夫投入—產出模型從經濟角度來看，每個部門都有雙重身份：

①作為生產部門生產出各種產品以滿足各種需要——產出②作為消費者又消費著其他部門生產的產品——投入

設某國民經濟(或某地區的經濟)有n個經濟部門。為簡單起見，假定每部門只生產一類產品。為便于比較，用貨幣來表示各部門所生產的產品與消耗的商品:

aij——表示每生產1萬元第j類商品要消耗掉aij萬元的第i類商品，稱為投入系數，顯然aij?0。例如a34?0.45：表示每生產1萬元第四類商品要消耗掉0.45萬元的第三類商品。

所有的投入系數共n?n個，可排成一個n行、n列的數表，將數表用一括號括起來，即有

線性代數其次章矩陣及其運算2

?a11??a21A?????a?n1

a12a22?an2????a1n??a2n?——稱為投入—產出矩陣。???ann??例如

?0.25?A??0.4?0.31?0.180.210.220.5??0.21?———運行正常！！但效益最好的是生產第20.06??類產品的部門。

A:第一列元素分別表示生產第一類商品所消耗的第一類商品、其次類商品及第三類商品的價值（用

貨幣表示）；同理，其次（三）列的元素則分別表示生產其次（三）類商品所消耗的各類商品的值。

若aij>1，則說明每生產1萬元的第i類產品就要消耗掉1萬多元的第j類產品——虧損！！！

若A的某列元素的和>1——意味著每生產1萬元此類產品消耗了1萬多元——虧損！！！這種由m行n列個數構成的數表在數學上就被抽象成矩陣的概念。定義由m×n個數aij排成的m行n列的數表

a11a12a22?am2????a1na2n?amna21?am1

稱為m行n列矩陣，簡稱m?n矩陣，記為

?a11?AA??a21????a?m1a12a22?am2????a1n??a2n????amn??.

這m?n個數稱為矩陣A的元素，也簡稱為元，元素aij位于矩陣的第i行第j列，稱為矩陣的(i,j)元，矩陣A也常簡記為(aij)，m?n矩陣A也記為Am?n或(aij)m?n.

注矩陣和行列式不一樣！！！矩陣是一個數表，而行列式是一個實數！

實矩陣——元素均為實數的矩陣。復矩陣——元素中有復數的矩陣。注我們只研究實矩陣，如不特別申明，今后所提到的矩陣均為實矩陣。

方陣——行數與列數都等于的矩陣稱為n階矩陣，或強調稱為n階方陣，常記為An.

行矩陣——只有一行的矩陣ABA?(a1a2?an)，又稱行向量，也記為(a1,a2,?,an).

?b1?列矩陣——只有一列的矩陣B??b2???bn?????，又稱列向量。

同型矩陣——行數相等，列數也相等的矩陣。

矩陣的相等——若A、B為同型矩陣，且對應元素相等，即aij?bij(i?1,2,?,m；j?1,2,?,n)就稱矩陣A與B相等，記作A=B.

零矩陣——元素均為零的矩陣，記為O.注意：不同型的零陣是不相等的。

例

?a11?1某廠向三個商店發送四種產品的數量就可用矩陣表示A??a21?a?31a12a22a32a13a23a32a41??a42?a43??，其中aij

表示工廠向第i店發送第j種產品的數量。

線性代數其次章矩陣及其運算3

?b11??b且這四種產品的單價和單件重量也可表示為矩陣B??21b?31?b?41單價b12??b22?b32??b42??單位重量，其中bi1為第i種產品的單價，

bi2為第i種產品的單件重量。

例2四城市間的單線航線通航圖如右圖所示，令aij???1，從i市到j市有一條單向航線?0；從i市到j市沒有單向航線；。

①②

③④

?11010101010101002??1?0??0??0?則此航線圖可用矩陣表示為

?0??1A?(aij)??0??1?101010011????10?，D5?5??0??0??10???2?

一般地，有限多個點之間的單向或雙向通道圖都可以這樣用矩陣表示，它實際上就是用矩陣作工

具進行研究的一個數學分支——圖論的內容。方陣A稱為圖的鄰接矩陣。

例3若個n變量x1,x2,?,xn與m個變量y1,y2,?,ym之間有變換關系

?y1?a11x1?a12x2???a1nxn?y2?a21x1?a22x2???a2nxn?????????y?ax?ax???axm11m22mnn?m，(2)

稱(2)為一個從n個變量x1,x2,?,xn到m個變量y1,y2,?,ym的線性變換，其中aij為常數，顯然(2)的系數可構成一矩陣A?(aij)m?n，稱為線性變換(2)的系數矩陣。

給定線性變換(2)，其系數矩陣就可被唯一確定；反過來，給定一矩陣作為線性變換的系數矩陣，

則就唯一確定一個線性變換。這說明線性變換與矩陣之間存在著一一對應的關系，這使得我們可將對線性變換的研究轉化到對矩陣的研究上，或說通過研究矩陣理論達到研究線性變換理論的目的，表達了矩陣理論的一個應用。因此對一些特別線性變換對應的矩陣應有足夠的認識是重要的。例如

?1??0??0??0?01000010En?y1?x10?a??n階單位陣：ijij??y2?x20???0??????y?x1?n?n?0??0?????0??n??恒等變換??1??0?0??0?000?0對角陣?200diag

?y1??1x1?y2??2x2(?1,?2,?,?n)??????y??xnn?n

兩個變量到兩個變量的線性變換?1?可給出幾何解釋：平面上?0?x,y(x,y)到(11)的坐標變換?cos???sin??0??x1?x投影變換??y?00??1??sin???x1?cos?x?sin?y??y?sin?x?cos?y旋轉變換?1cos???∵??x1?r(cos?cos??sin?sin?)?rcos(???)?x?rcos???.

?y?rsin??y1?r(sin?cos??cos?sin?)?rsin(???)線性代數其次章矩陣及其運算4

這說明這個線性變換將平面上的點P(rcos?,rsin?)變為P1(rcos(???),rsin(???))，或說將極坐標系中坐標為(r,?)的點P變為極坐標為(r,?+?)的點P1，從幾何上看就是將向量OP的幅角增加?長度保持不變，即這是一個以原點為中心旋轉?角的變換，稱為旋轉變換。

§2矩陣的運算

只有賦予數四則運算，數才有了生命力一樣，也只有賦予矩陣運算，它才能有生命力，才能得到更好的應用。我們從最簡單運算入手：

?一、

矩陣的加法

即對應元素相加定義2設有兩個m?n矩陣A?(aij),B?(bij)，矩陣?a11?a?21???a?m1?b11?b21??bm1a12?b12a22?b22?am2?bm2????a1n?b1n??a2n?b2n????amn?bmn???A?B

稱為矩陣A與B的和，記為A+B.即有注?同型陣之間才能進行加法運算。

?稱矩陣-A=(?aij)為矩陣A的負陣，利用復矩陣的概念可定義矩陣的減法運算：A?B?A?(?B).

?矩陣的加法實際上是轉化為實數的加法來定義的，故其運算性質同于實數加法的運算性質。運算規律：

①交換律——A?B?B?A；

②結合律——(A?B)?C?A?(B?C)；③A

?(?A)?O；

請自己給出證明④A+O=A.

二、

數與矩陣相乘

?a12?a22?定義3矩陣

??a11??a?21?????am1??????a1n???????即用數?遍乘矩陣A的每一個元素也是轉化為數的相乘?a2n???A?A??amn?am2稱為數?與矩陣A的乘積，記為?A，或A?.即有運算規律：

①結合律——(??)A?(?A)???(?A)；

②矩陣關于數加法的分派律——(???)A??A??A；

③數關于矩陣加法的分派律——?(A?B)??A??B請自己給出證明.

注利用數乘也可以定義負陣和減法。

三、矩陣與矩陣相乘

我們回到矩陣的一個抽象背景——線性變換，看其一個實際問題：

線性代數其次章矩陣及其運算5

?y?a11x1?a12x2?a13x3設有兩個線性變換?1?y2?a21x1?a22x2?a23x3?x1?b11t1?b12t2(3)，??x2?b21t1?b22t2?x?b31t1?b32t2?3(4)，

要求從變量t1,t2到變量y1,y2的線性變換，只需將(4)代入(3)：

?y1?(a11b11?a12b21?a13b31)t1?(a11b12?a12b22?a13b32)t2??y2?(a21b11?a22b21?a23b31)t1?(a21b12?a22b22?a23b32)t2,(5)

線性變換(5)是先作線性變換(4)，再作線性變換(3)的結果，在線性變換里稱線性變換(5)是(3)與(4)的乘積，從矩陣的角度分析看：線性變換(5)的矩陣C是由(3)的矩陣A與(4)的矩陣B按一定的運算

規律得到的：乘積矩陣的元素cij=左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對應元素乘積之和：

?a11??a?21a12a22?b11a13????b21a23????b31b12???a11b11?a12b21?a13b31b22????ab?ab?ab22212331?2111?b32?a11b12?a12b22?a13b32??a21b12?a22b22?a23b32??.

將這個現象在矩陣理論里反應出來，即從中抽象出矩陣乘法的一般定義。但首先要注意：要想做

出左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對應元素乘積之和必需要求左矩陣的列數=右矩陣的行數。

定義4設是A一個m?s矩陣，B是一個s?n矩陣，記矩陣A與B的乘積為AB?C?(cij)，其中C是一個m?n矩陣，cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)，

k?1s注?矩陣乘法定義相當繁雜，能否簡單些，譬如定義成對應元素相乘豈不很簡單接受，從而更便利嗎？歷史上確有人給出過這種形式的定義——阿達瑪定義，但由于它毫無實際意義，從而沒有研究價值，自然消亡了。我們的乘法定義是源于實踐，具使用價值。雖然繁雜點，但多練習一樣應用自如。

?回頭看引例，所謂求兩個線性變換的乘積，實際上只需求它們對應矩陣的乘積：C=AB.?類似與矩陣的加減法，并非任兩個矩陣都能相乘，能相乘的關鍵是：左矩陣的列數=右矩陣的列數。例如

例

?4??103?1???14求矩陣A????2102?,B??2????10??13?01??34?1的乘積。

解AB?4?0?6?1???8?1?0?2?1?0?0?32?1?0?60?0?3?4??9????0?3?0?8???9?29?1??11??.

?注意兩個特別矩陣的乘積結果，一個1?s的行矩陣與一個s?1的列矩陣的乘積是一個1?1的

一階矩陣，即是一個實數：

?b11?b?a1s)?21???b?s1??b11??b??a11b11?a12b21???a1sbs1；?21?????b??s1?b11a11????b21a11?(a11a12?a1s)???????ba??s111b11a12b21a12?bs1a12????b11a1s??b21a1s????bs1a1s??(a11a12.

?類似于數的運算，利用矩陣的乘法可定義矩陣的乘方運算——矩陣的冪：

AA?A，k為正整數。定義設A是n階方陣，定義A1?A,A2?A1A1?AA,?,Ak?1?AkA1??????k?1個A顯然只有方陣的冪才有意義，

?矩陣乘法與實數乘法有不同的地方：

10矩陣乘法不滿足交換律，即AB?BA——交換相乘順序可導致不同的結果(注?)，或交換后

無法相乘。即便是很特別的情形也未必可交換：

線性代數其次章矩陣及其運算6

?2例5矩陣A???00

4??,?1?2??24?B?????3?6??16?32?的乘積AB與BA?BA???816??BA?O.

??2有非零的零因子——上例A,B?O，但BA=O.3不滿足消去律——A4??2??14??10???,B??,C???????3?6??2?1??11??AB?AC，

???64?AB??64?,AC?????9?6???9?6?，但B?C.

——請記住：這就是矩陣與數的不同之處。但它仍有不少一致之處：

運算規律：請自己給出證明①結合律——(AB)C?A(BC)；②數乘結合律——?(AB)?(?A)B?A(?B)；

③分派律——左分派律：A(B?C)?AB?AC；右分派律：(B?C)A?BA?CA.④乘單位陣不變——EmAm?n?Am?n,⑤乘方的性質——AkAl?Ak?lAm?nEn?Am?n.理解為什么叫單位陣；(Ak)l?Akl.

注有了以上定義的所有運算即其性質，在運算可運行的條件下，矩陣就可以類似代數運算進行

22?8A?10AB?3B，但要注意乘法無交換律。了，如(2A?3B)(4A?B)?8A2?12BA?2AB?3B2?例6證明旋轉變換的乘方

?cos???sin???sin???cos???n?cosn????sinn???sinn???cosn???.

從幾何直觀上看：將向量連續轉動n次角?等同于將其一次轉動角n?證用數學歸納法。顯然當n=1時結論成立。假設當n=k時結論成立，往證n=k+1時結論也

?cos?成立：??sin???sin??k?1?cos?????sin?cos?????sin??k?cos????cos???sin???sin???cosk?????cos????sink??sink???cos????cosk????sin??sin???cos???????cos(k?1)??sin(k?1)??sinn???cosn????sin(k?1)???.

cos(k?1)????cosn??注從幾何角度看：?sinn???oc?s是將向量OP一次旋轉角n?，而??nis????nissoc??n????是將向量OP?連續旋轉n次角?，效果一致，故等式的成立是毫無問題的。

我們也回頭看一下矩陣的乘法在其它實際中的應用：

上節例1中向三個店發送四種產品的數量構成了矩陣A，四種產品的單價與單件重量構成

總值總重量了矩陣B，作它們的乘積：

?a11?AB??a21?a?31a12a22a32a13a23a32a41??a42?a43???b11??b21?b?31?b?41b12??b22??C?(cij)3?2?b32?b42???4??a1kbk1?k?14???a2kbk1?k?1?4??a3kbk1?k?1k?14?a1kbk2?4???，????k?14?a2kbk2?a3kbk2k?1第一列的元素ci1分別表示向三個店發送產品的總值；其次列的元素ci2分別表示向三個店所發送產品的總重量。

上節例2四城市間的單線航線通航圖可用矩陣A表示，

A2?2??0??1??0?110211010??1??(bij)?0?1??

線性代數其次章矩陣及其運算7

bij??aikakjk?14

，由于aik,akj分別表示i(k)市到k(j)市有無單向航線，即aik,akj非0即1，故它

們的乘積非0即1，且僅當aik,akj都為1時其乘積才為1，即有

0——i市到k市或k市到j市無單向航線；

1——i市到k市和k市到j市都有單向航線，

所以bij表示從i市經一次中轉到j市的所有單向航線的總條數；i?j時，bii表示i市與其它3個市雙

aikakj????向航線的條數。如

b23?1說明從②市經一次中轉到③市的單向航線只有一條：②①③；

b42?2說明從④市經一次中轉到②市的單向航線有兩條：④①②和④③②；

b11?2說明①市與其它市的雙向航線有兩條：①②①和①④①；b33?0說明③市于其它市無雙向航線。

??X?????x1x2?xn?????????????y1y2?ym??????

上節例3中的線性變換(2)中記系數矩陣A?(aij)，n個變量

，m個變量Y

，則線

性變換(2)可用矩陣的乘法簡單地表示為Y?AX.也就是說，線性變換(2)把變量X變成Y，相當于用矩陣A去左乘向量X得到向量Y.

類似地，線性變換(3)與(4)的乘積變換(5)可用矩陣表示為Y?AX?ABT，其中

?x1???X??x2??x3?，Y

?y1????，T??y2??x??2??t1????t2??a11，A???a?21a12a22a13??a23???b11?,B??b21?b?31b12??b22?，Y?AX，X?BTb32???x1??cos?.

?sin???x????cos???y?投影變換可表示為?y1???1

??x?0??x?其中?y??OP??y?，

?00??????,???x1???OP1?y2????，旋轉變換則可表示為??y2??sin?.

四、矩陣的轉置

類似于行列式轉置的定義，可以給出矩陣轉置的概念。

定義5把矩陣A的行換成同序號的列得到的新矩陣叫做A的轉置矩陣，記為AT.例如，

?1A???3?2?1?10???的轉置矩陣為AT??21???0?3???1?1??。

矩陣的轉置實際是關于矩陣的一種運算，它滿足的運算規律：

①(轉置再轉置)——(AT)T?A；②(和的轉置)——(A?B)T?AT?BT；③(數乘的轉置)——(?A)T??AT；④(乘積的轉置)——(AB)T?BTAT.

注乘積的轉置等于轉置的交換乘積，這個等式給出了求乘積的轉置的兩種方法，看例7：例7(P.50)請自讀。

利用轉置概念可得到對稱陣的概念：

定義若n階方陣A滿足AT?A，即aij?aji(i,j?1,2,?,n)，則稱A為對稱陣。例8設列矩陣X?(x1,x2,?,xn)T滿足XT陣，且HHTX?1，E為n階單位陣，H?E?2XXT證明H是對稱

?E.

TTTTTTT證∵H?(E?2XX)?E?2(XX)?E?2XX?H，∴H為對稱陣。

線性代數其次章矩陣及其運算8

HHT?H2?(E?2XXT)2?E?4XXTT?4(XXT)(XXT)?E?4XXT?4XXT?E.

注(AAT)T?AAT，(ATA)T?ATA，(A?AT)T?A?AT，即任一方陣A與它的轉值AT的乘積與和都是對稱陣。問題A?A？(A?AT)T?AT?A??(A?AT).

T注類似地可給出反對稱陣的定義：若n階方陣A滿足A關于反對稱陣有兩個有用的結論：

??A，或aij??aij?0?.如?2??8??2023???1?，?0?0

1任一方陣A都可以分解成對稱陣與反對稱陣的和，∵A?1(A?AT)?1(A?AT).

220?2023?1?0.02奇數階反對稱陣的行列式為零(請自證)。即

0

2?8注方陣是很重要的一類矩陣，有它獨特的概念與性質。關于方陣，我們已介紹了乘方運算、對稱陣和反對稱陣的概念，本節的最終繼續再介紹幾個與方陣關聯的概念。

五、方陣的行列式

定義6方陣A的元素位置不變構成的行列式稱為方陣A的行列式，記為A或detA.

?1?注設A???1?0??2023??1???1?B???1，?20????22?43???1?0??，則A??7,B?0.實際上，方陣的行列式若按其

值分類就兩類：0,或非0.若方陣的行列式?0，則稱其為非奇異方陣，否則稱為奇異方陣。

你能舉一些非奇異和奇異矩陣的例子嗎？E?1?0，單位陣都是非奇異陣，對角線元素均不為零的對角陣和三角陣也都是非奇異陣。運算規律

①(轉置陣的行列式)——AT?A；

n②(數乘的行列式)——?A??A；

③(乘積的行列式)——AB?A?B.注?性質①就是行列式的性質1轉置性質。

?強調?A??A，?A只是用?去乘行列式A的某一行或列，?A則是用?遍乘A的每

一行或列！！！

?關于性質③強調幾點：0

1只有兩個同階方陣相乘時，性質③猜成立，即An?sBs?n?A?B，由于后者就不存在；

20雖然AB?BA，但AB?A?B?B?A；30由性質③馬上可得乘方的行列式性質：An?An.證③設A?(aij),B?(bij)，令二階行列式D2n?A?EOB分塊下三角行列式，由第一章例10知D?A?B；

A?ECO另一方面通過行列式的運算，還可將D變成一個分塊的副三角行列式D2n?右下角的矩陣B變為零矩陣O：

，即要將D

線性代數其次章矩陣及其運算9

??10?10000?10000?1b11b21?bn1b12b22?bn2?????b1nb2n?bnn

000，

要將B的第1列元素變成0，只需作運算cn?1?b11c1?b21c2???bn1cn，要將B的第2列元素變成0，只需作運算cn?2?b12c1?b22c2???bn2cn，??,

要將B的第n列元素變成0，只需作運算cn?n?b1nc1?b2nc2???bnncn，即作行列式運算：cn?j?b1jc1?b2jc2???bnjcn?EAOC(j?1,2,?,n)，

相應地就有C?(cij)，cij?b1jai1?b2jai2???bnjani?ai1b1j?ai2b2j???anibnj，這說明C?AB，又D?(?1)n，所以D?(?1)n?E?C?(?1)(?1)C?ABnn，故結論成立。▋

例9由行列式A各元素的代數余子式Aij構成的矩陣

????????A11A12?A1nA21A22?A2n????An1??An2????Ann????即將Aij放在(j,i)位上A?注意E不可缺少稱為A的伴隨矩陣。試證：AA證設A?(aij)，記AA?a11??a21????a?n1a12a22?an2??????AA?AE.(?)

展開定理最終的重要結論????An1??An2?????Ann???(bij)，即

?A11??A12????A?1nA21A22?A2na1n??a2n????ann?????(bij)??????A0000A0000A00??0??0?A??.

即bij?ai1Aj1?ai2Aj2?ainAjn?A?ij，所以AA同理可證AA?(?nk?1?(A?ij)?A(?ij)?AE；

?Akiakj)?(A?ij)?A(?ij)?AE.▋

注在下節中會看到伴隨矩陣是一個與方陣相關的重要概念，(?)式稱為伴隨矩陣的重要公式。

§3逆矩陣

實數有四則運算：，除加、減、乘之外還有除法，且可利用乘法定義除法：對任一非零的實數a，都存在唯一的實數a?1，滿足aa?1?a?1a?1，稱a為a的逆元，并定義b?a?b?a?1.

在矩陣理論中，我們已定義了加、減、乘法，且也有單位元的概念——單位陣，那么我們能不能模仿實數運算，給出矩陣的逆元概念，即對于任一矩陣A，有沒有矩陣使得AB?BA?E。先看個引例。

?11、引例

線性代數