..1．兩種產品和唯一需要的要素投入是勞動。一單位產品需要的勞動投入量是8，一單位產品需要的勞動投入量是1。假設可投入的勞動量總共為48。（1）寫出生產可能集的代數表達式；（2）寫出生產（隱）函數；（3）在平面上標示生產邊界。解：（1）由題意可知，總量為48，勞動是兩種產品唯一需要的要素投入，所以有：因此，生產可能集的代數表達式為。（2）一單位產品需要的勞動投入量是8，一單位產品需要的勞動投入量是1，所以生產（隱）函數為。（3）由（1）可得，生產可能集為，如圖1-1所示。2．試畫出Leontief生產函數的等產量線。解：由Leontief生產函數表達式可知，當時，，由此可得到其等產量線如圖1-2所示。3．對Cobb-Douglas生產函數（1）證明，。（2）求技術替代率。（3）當或變化時，如何隨之變化？（4）畫出等產量曲線。解：（1）已知生產函數，即，所以有：即得證。（2）在（1）中已經證明，，因此，技術替代率為：在Cobb-Douglas生產函數中，整理得。（3）由（2）可知，，技術替代率與無關，不隨的變化而變化；而變化時，技術替代率隨之等比例變化。（4）已知Cobb-Douglas生產函數的技術替代率，就是相應點處等產量曲線切線的斜率。它的等產量線如圖1-3所示。圖1-34．對CES生產函數，，（1）證明邊際產出。（2）求技術替代率。（3）當或變化時，如何隨之變化？（4）證明技術替代彈性。解：（1）同理可證，因此可得邊際產出為。（2）由（1）得，。所以，技術替代率。（3）已知技術替代率，所以，當變化時，保持不變；當變化時，隨之等比例變動。（4）假設，則，那么：即得證。7．下列生產函數的規模收益狀況如何？（1）線性函數：，；（2）Leontief生產函數；（3）Cobb-Douglas生產函數；（4）CES生產函數。解：（1）線性生產函數，，產量隨要素投入變動同比例變化，規模收益是不變的。（2）Leontief生產函數也是產量隨要素投入變動同比例變化，規模收益是不變的。（3）Cobb-Douglas生產函數，當時，是規模收益不變的；當時，規模收益是遞增的；當時，規模收益是遞減的。（4）同理，CES生產函數，產量隨要素投入變動同比例變化，規模收益是不變的。1．對于Cobb-Douglas生產函數：，，，。（1）驗證：僅在參數條件下，利潤最大化問題的二階條件才能得到滿足；（2）求要素需求函數和產品供給函數（可在結果中保留變量）；（3）求利潤函數；（4）驗證利潤函數是的一次齊次函數；（5）驗證Hotelling引理。解：（1）Cobb-Douglas生產函數為，利潤最大化的二階條件是生產函數的Hessian矩陣是半負定的，即：中，，且矩陣的行列式非負，所以，。（2）利潤最大化問題的一階必要條件是：，所以要素需求函數為，。將要素需求函數代入生產函數，解得產品供給函數為。（3）利潤函數為：將代入，得：（4）由（3）知，利潤函數為：因此，利潤函數是的一次齊次函數。（5）利潤函數中，的冪次為，且。其中一部分從而有，。同理，可驗證。3．廠商在短期內以可變要素1和固定要素2生產一種市場價格為的產品，生產函數為，要素1和2的價格分別為和。（1）求廠商的短期可變要素需求；（2）求廠商的短期利潤函數。解：（1）廠商的利潤函數為，轉化為利潤最大化問題，即：利潤最大化的一階條件為：解得，這就是廠商的短期可變要素需求。（2）廠商的短期利潤函數為：4．某廠商以一種投入同時生產兩種產品，生產函數是試求該廠商的要素需求和產品供給。解：由題意可得：將約束方程改寫為，代入目標函數，可整理為一個無約束的最大值問題，其一階必要條件為，，解得要素供給函數為，，從而得到要素需求函數為。5．一個多產品市場廠商的生產函數是，對其利潤最大化問題（2.32），（1）寫出角點解的一階必要條件；（2）寫出內點解的二階必要條件。解：（1）考慮角點解可以列出下列式子：構造拉格朗日函數：一階必要條件：在最優點，存在及，使得：并且滿足。（2）不考慮角點解，構造拉格朗日函數：內點解的二階必要條件是：對任何滿足的向量，滿足。1．某廠商具有Leontief生產函數：，。（1）求條件要素需求函數和成本函數；（2）畫出成本函數曲線。解：（1）在Leontief生產函數中，產量僅是和中較小的一個值，所以，無論是利潤最大化或者是成本最小化問題，廠商的最優投入必然滿足。在此約束下，生產函數可以簡單地寫為（當然也可以寫為）。從而，對于預先給定的產量，條件要素需求是：，成本函數：。（2）廠商的成本函數如圖3-1所示。圖3-12．某廠商具有線性生產函數：，。（1）求條件要素需求函數和成本函數；（2）畫出成本函數曲線。解：（1）成本最小化問題是：①若，條件要素為，成本函數是；②若，條件要素為，成本函數是；③若，最優解可取線段上任一點，在此不妨取，所得的成本函數形式上與①中一致，取另一端點可得②中的成本函數形式。但是在這里的條件下，這二者是等價的。3．某廠商具有Cobb-Douglas生產函數：，，。證明其成本函數形式為，其中是依賴于和的常數。證明：成本最小化問題是：構造拉格朗日函數成本最小化的一階必要條件為：變形為：兩式相乘得：從而：其中是依賴于和的常數。代入一階條件，并利用約束等式，得到：從而，。7．考慮一個兩工廠廠商，其工廠的成本函數分別為和（1）什么條件下廠商只使用一個工廠？什么條件下廠商需要兩個工廠同時生產？（2）推導廠商的成本函數。解：，。（1）如果廠商同時使用兩個工廠，應當滿足；但是，注意到，而當時，。所以，當時，廠商只會選擇在工廠1生產；當且僅當時，廠商才會同時使用兩個工廠。（2）在同時使用兩個工廠的情況下，廠商的產量分配滿足，由此解得：，此時總成本為：成本函數為：8．假設一個競爭廠商的成本函數是。（1）參數、和需要滿足什么條件，才是一個典型的成本函數？（2）求條件要素需求函數。解：（1）根據成本函數的性質，典型的成本函數應當是和的單增函數，是的一次齊次函數，同時還是的凹函數。據此，必然要求，。在這兩個條件下，=為凹函數的條件自動成立（可檢查海賽矩陣主子式的符號確為正負相間）。（2）在成本函數已知的條件下，根據Shephard引理可以求出條件要素需求：，9．一個廠商有兩個工廠，這兩個工廠的成本函數是相同的但如果廠商只在一個工廠生產，另一個工廠的固定成本是可以避免的，即是說。（1）成本最小條件（3.28）是否一定成立？為什么？（2）在和兩種情況下，廠商如何決定是在一個工廠生產還是同時在兩個工廠生產？（3）在條件下，什么產量范圍內存在規模經濟？解：（1）由于這里存在廠商只使用一個工廠的可能性，而這意味著成本最小化問題中需要考慮角點解，所以第3章中成本最小化條件（3.28）不一定成立。（2）時，兩工廠的成本函數變為：。由于兩個工廠的邊際成本都是常數，無論廠商需要生產多少產量，它總可以將所有產品安排在一個工廠生產，維持邊際成本，同時節約另一工廠的固定成本。據此，廠商的成本函數即為一個工廠的成本函數。時，，。在產量為時，如果廠商同時使用兩個工廠，成本最小化要求：。這種情況下，廠商成本函數為：如果廠商只使用一個工廠，它的成本函數為：所以，廠商的產量配置取決于兩個成本的大小。廠商只使用一個工廠的條件是：，即因此，廠商的成本函數是：（3）根據剛才建立的成本函數，計算成本對產量的彈性系數：時，；時，3．一個消費者的效用函數為該消費者的效用函數又可以寫為下列哪種函數形式？（a）；（b）；（c）。解：在正單調變換時，原效用函數可變為（a）的形式；在正單調變換時，原效用函數可變為（b）的形式；由于效用函數在正單調變換下不改變原來的偏好性質，所以（a）和（b）都是原來效用函數的等價形式；而（c）則不是。4．推導上一問題中消費者的（1）馬歇爾需求函數和間接效用函數；（2）希克斯需求函數和支出函數；（3）比較馬歇爾需求和希克斯需求曲線的斜率；（4）驗證Roy等式；（5）驗證對偶性定理。解：取效用函數的等價形式，并且假設。（1）考慮效用最大化問題：構造拉格朗日函數為：效用最大化的一階必要條件為：聯立方程求解得：，，，此即為馬歇爾需求函數；相應的間接效用函數為。（2）考慮支出最小化問題：構造拉格朗日函數：由支出最小化的一階條件解得：，，這就是希克斯需求函數。支出函數為。（3）以商品1為例，在平面內，兩條需求曲線相交處滿足：在該點兩條需求曲線的斜率分別為：，利用交點條件，顯然二者存在關系。二者都為負數，且，這意味著在坐標平面中希克斯需求曲線較馬歇爾需求曲線陡峭。（4）由（1）知，所以：，因此，。（5）利用關系，可驗證：同理，可驗證其他恒等式。6．試畫出下列效用函數的無差異曲線，并討論其對應的間接效用函數和支出函數的特征。（1）完全替代商品：；（2）完全互補商品：。解：（1）由于兩種商品是完全替代的，消費者只可能買其中較便宜的商品。如圖4-3所示。圖4-3因此，需求函數和間接效用函數是：，，特征是與價格較高商品的價格無關。支出函數為，是的線性函數。（2）完全互補商品的效用函數的無差異曲線如圖4-4所示。圖4-4由于效用水平僅是和中較小的一個值，所以，無論是效用最大化或者是支出最小化問題，最優消費組合必然滿足。在此約束下，效用函數可以簡單地寫為（或是）。考慮效用最大化問題：解得：。代入效用函數即得間接效用函數：。這是收入的線性函數；而且，保持不變，個別的商品價格變化不改變。顯然，對于預先給定的效用水平，希克斯需求是，從而支出函數為。8．如果消費者需要繳納消費稅，比較下列兩種稅制對消費行為的影響：（a）消費者一次性繳納一筆固定稅款；（b）從價稅：如果商品價格為，消費者按稅后價格購買。解：兩種稅制可進行比較的前提是假設消費者最終繳納的稅額一致，都為，然后比較消費者在不同情況下達到的效用水平。分以下兩種情況討論：（1）若從價稅是在所有商品上征取，所有商品的價格都同比例提高，那么消費者的預算線與一次性繳納元情況下的預算線一致（因為斜率相同，且收入都是），所以兩種稅制對消費者來說是一樣的。（2）從價稅只在部分商品上征收，其他商品的價格保持不動。假設原來的商品價格為，考慮政府實行從價稅，價格變為，消費者的最優消費組合為。如果此時消費者所繳納的總稅額，則可以確定消費者在一次性繳納元后，商品價格維持不變的情況下會有更高的福利。原因在于，一次性繳納元，余下的收入足夠購買商品組合，消費者不是非買這一組合不可，他還有其他選擇，這一額外的選擇會帶給他改善福利的機會。其實，一次性稅制相當于迫使消費者進行了一次程度為元的收入效應調整，而從價稅則是在此基礎上迫使消費者再進行一個替代效應式的消費收縮。1．某人的效用函數是，他的收入。最初的商品價格是，假設現在價格變化為。計算、和，比較計算結果并作簡明的解釋。解：先求解效用最大化問題：構造拉格朗日函數：求一階條件，可得：代入約束條件可得，，從而得到馬歇爾需求函數：，因此，，，。時，，，。再考慮支出最小化問題：構造拉格朗日函數，一階條件為：代入約束條件解出。從而得到希克斯需求函數，。由于商品2的價格始終為1，代入上面的式子，整理可得： 通過比較得出，成立。2．小李的效用函數是，他原來在深圳一家公司總部工作，月薪3000元，深圳的商品價格是；現在公司內部調動，小李被派往內地城市的公司辦事處．那里的商品價格為。（1）如果小李的工資不變，他在內地達到的生活水平相當于他在深圳多少收入的生活水平？（2）如果公司在人事變動時按照各地物價水平調整職員工資，使他們的效用水平保持不變，小李在調動時工資會調整到什么水平？解：（1）根據小李的效用函數，無論是效用最大化問題和支出最小化問題，他的最優消費組合必然滿足，在這樣的情況下，效用函數可以寫為。以3000元收入在內地達到的效用水平可由下面的效用最大化問題求出：由一階必要條件，可求得馬歇爾需求為：，在深圳的物價水平下達到同樣的效用水平，所需的收入可求解支出最小化問題：由一階必要條件，可求得希克斯需求為：，求得相應的支出是元。即工資不變，他在內地達到的生活水平相當于他在深圳元收入的生活水平。（2）如果公司在人事變動時按照各地物價水平調整職員工資，使他們的效用水平保持不變，計算方法與（1）相同，得到小李在調動時工資會調整到元。9．如果某消費者有Cobb-Douglas效用函數，市場利率為，初始收入為。試推導消費者在時期0和1的需求函數。解：根據第5章的跨時消費最優條件（5.63），有：從而得到，代入預算約束等式：解得：，1．一個完全競爭廠商的短期成本函數為（1）求短期邊際成本、平均成本和平均可變成本函數；（2）求短期供給函數；（3）如果市場內有100個這樣的廠商，求市場的短期供給函數。解：（1）完全競爭廠商的短期成本函數為，那么，短期邊際成本函數為。平均成本函數為平均可變成本函數為（2）短期生產停業點為：，即：由此可知：。又，解得，且。（3）如果市場內有100個這樣的廠商，市場的短期供給函數為，。2．在擬線性效用假設下，消費者的間接效用函數形如；如果是廠商的利潤函數，定義一個福利函數為：（1）如果完全競爭均衡價格存在，證明使得函數最小化；（2）解釋為什么不是使得函數最大化，卻反而使它最小化。證明：（1）令，根據Roy等式根據hotelling引理，。在均衡價格下，市場的總需求等于總供給，所以：因此，在處取得最小值。（2）當時，相對于均衡價格來說消費者的福利提高了，同時廠商的福利降低了，但此時市場供不應求，從而，這表明如果消費者能以這個較低的價格獲得他們所需的消費量，他們的福利提高幅度將超過廠商福利降低的幅度，所以社會總的“福利”較市場均衡時高。不過要特別注意，由于在這一較低的價格上廠商提供的產品供給低于消費者的需求量，所以這一較高水平的“福利”事實上是無法實現的。當時，相對于市場均衡狀態來說消費者的福利降低，同時廠商的福利提高了，注意到此時有成立，從而，這表明如果廠商能以這個較高的價格出售其全部產量，他們的福利提高幅度將超過消費者福利降低的幅度，所以社會總的“福利”較市場均衡時高。同樣，由于在這一較高的價格上廠商提供的產品供給量超過了消費者的需求量，所以這一較高水平的“福利”也是無法實現的。4．假設一個供給存在時滯的市場需求和供給函數分別是：和，（1）什么條件下市場是穩定的？（2）假如政府確定了某一個目標價格，并在發現市場偏離該價格時進場作調節性的買賣；政府的這種干涉政策奉行下面的原則：其中是政府在期的購買量（若政府事實上出售）。如果市場本身是不穩定的，政府的這種干涉是否會穩定市場？如果市場本身是穩定的，政府的干涉是否會使得市場不穩定？解：（1）根據市場均衡條件可得：，即。如果價格調整幅度越來越小，且存在，那么均衡就是穩定的。假設，由于價格調整是正負相間的，因此必然存在。由此可得：將代入上式可得：市場穩定的條件是：。（2）政府的干預結果是在期加上了一個額外需求，這樣期的市場需求即為：市場出清條件