#小偉遇到這樣一個問題：如圖，在△ （其中nBAC是一個可以變化的角）中，，求的最大值。AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊△，求的最大值。圖1圖1小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將4八3「逆時針旋轉6°得到^ABC,連接AA，當點A落在AC上時,此題可解（如圖2）．請你回答： 的最大值是參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,等腰RSABC.邊AB=4尸為^ABC內部一點，則AP+BP+CP的最小值是.（結果可以不化口）

9.如圖，在4ABC中，/C=90,M是AB的中點，動點P從點A出發，沿AC方向勻速運動到終點C，動點Q從點C出發；沿CB方向勻速運動到終點3。已知P，Q兩點同時出發，并同時到達終點，連結MP，MQ，PQ。在整個運動過程中，4MPQ的面積大小變化情況是（ ）A.一直增大C.先減小后增大B.一直減小D.先增大后減少10.（2012山東省青島市，23,10）（10分）問題提出：以n邊形的n個頂點和它內部的m個點，共（m+n）B.一直減小D.先增大后減少探究一：以4ABC的三個頂點和它內部的一個點P，共4個點為頂點，可把△ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？如圖①，顯然，此時可把^ABC分割成3個互不重疊的小三角形.探究二：以4ABC的三個頂點和它內部的2個點P、Q，共5個點為頂點，可把4ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？在探究一的基礎上，我們可看作在圖①^ABC的內部，再添加1個點Q，那么點Q的位置會有兩種情況：一種情況，點Q在圖①分割成的某個小三角形內部，不妨假設點Q在APAC內部，如圖②;另一種情況，點Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨假設點Q在PA上，如圖③；顯然，不管哪種情況，都可把^ABC分割成5個互不重疊的小三角形.探究三：以^ABC的三個頂點和它內部的3個點P、Q、R，共6個點為頂點可把^ABC分割成個互不重疊的小三角形，并在圖④畫出一種分割示意圖.探究四：以^ABC的三個頂點和它內部的m個點，共（m+3）個頂點可把^ABC分割成_個互不重疊的小三角形。探究拓展：以四邊形的4個頂點和它內部的m個點，共（m+4）個頂點，可把四邊形分割成個互不重疊的小三角形。問題解決：以n邊形的n個頂點和它內部的m個點，共（m+n）個頂點，可把^ABC分割成個互不重疊的小三角形。實際應用：以八邊形的8個頂點和它內部的2012個點，共2020個點，可把八邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？（要求列式計算）23.【解析】觀察圖形發現：內部每多一個點，則多2個三角形，從而得到一般規律為n+2（m-1）或2m+n-2.根據根據規律逐一解答.【答案】探究三：7分割示意圖.（答案不唯一）.探究四：3+2（m-1）或2m+1探究拓展：4+2（m-1）或2m+2問題解決：n+2（m-1）或2m+n-2實際應用：把n=8,m=2012代入上述代數式，得2m+n-2=2X2012+8-2=4024+8-2=4030.【點評】本題考查規律型中的圖形變化問題，解題關鍵是結合圖形，探尋其規律，發現規律才能順利解題，體現特殊到一般的數學思想．

11.在由Xn(Xn>1)個小正方形組成的矩形網格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數f,(1)當m、n互質(m、n除1外無其他公因數)時，觀察下列圖形并完成下表：mnmnm+nf123213432354247357猜想：當m、n互質時，在Xn的矩形網格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數f與m、n的關系式是 (不需要證明)；解：(2)當m、n不互質時，請畫圖驗證你猜想的關系式是否依然成立，：解析：()通過題中所給網格圖形，先計算出X5X4對角線所穿過的小正方形個數f,再對照表中數值歸納f與m、n的關系式.()根據題意，畫出當m、n不互質時，結論不成立的反例即可.解：(1)如表：XX點評：本題是操作探究題,根據操作規則得出數據,并歸納總結其中規律,對于錯誤結論的證明,只要舉出反例即可.13a+1=2,13a+1=2,a=3；設點E表3a+m=—1(2)由點A到A,，可得方程組］ .10xa+m=213a+m=2由B到B’,可得方程組Lx0+n=2,解12．操作與探究：(1)對數軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數乘以1,再把所得數對應的點3向右平移1個單位，得到點P的對應點P.點A，B在數軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段A'B'，其中點A，B的對應點分別為A'，B，.如圖1,若點A表示的數是-3，則點A表示的數是;若點B'表示的數是2,則點B表示的數是；已知線段AB上的點E經過上述操作后得到的對應點E'與點E重合，則點E表示的數是/ B' 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? a-4-3-2-101234圖1(2)如圖2,在平面直角坐標系xOy中，對正方形ABCD及其內部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一種實數a,將得到的點先向右平移m個單位，再向上平移n個單位(m>0,n>0)，得到正方形A，BCD'及其內部的點，其中點A,B的對應點分別為A',B,。已知正方形ABCD內部的一個點F經過上述操作后得到的對應點F'與點F重合，求點F的坐標。【解析】(1)-3x3+1=。；設B點表示的數為a示的數為a,a+a+1=a，解得a=|-J 乙_1_1a=2用1得\m=-2n=21_X+X設F點的坐標為(x,y)設F點的坐標為(x,y)，點F,與點F重合得到方程組11 。，解得Iy=4,12y+2=y 1,即F(1,4)【答案】(1)0,3,3 (2)F(1,4)【點評】本題考查了根據給出的條件列出方程或方程組,并解方程組的知識。

13.如圖，長方形紙片中,，,按下列步驟進行裁剪和拼圖:EBC（余AD上任意取一點第一步：如圖下部分不再使用①，在線段）；E,沿 EB,EC剪下一個三角形紙片取一點合，將角形紙片第二步：如圖M,線段第三步：如圖MN右側紙片繞13.如圖，長方形紙片中,，,按下列步驟進行裁剪和拼圖:EBC（余AD上任意取一點第一步：如圖下部分不再使用①，在線段）；E,沿 EB,EC剪下一個三角形紙片取一點合，將角形紙片第二步：如圖M,線段第三步：如圖MN右側紙片繞②，口三角形BC上任意取一點EBC的中位線N,沿③，將 MN左側紙片繞H點按逆時針方向旋轉EBC面積相等的四邊形紙片口（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為GH將紙片剪成兩部分，并在線段MN將梯形紙片G點按順時針方向旋轉GBCH剪成兩部分；180°，使線段180°，使線段GH上任意GB與GE重HC與HE重合，拼成一個與三，_最大_值為_c_m．_個平行四邊形，其上下兩條邊解析：通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是個平行四邊形，其上下兩條邊的長度等于原來矩形的邊AD=6,左右兩邊的長等于線段MN的長，當MN垂直于BC時，其長度最短，等于原來矩形的邊AB的一半，等于4,于是這個平行四邊形的周長的最小值為2（6+4）=20；當點E與點A重合，點M與點G重合，點N與點C重合時，線段MN最長，等于\.''42+62=2<13，此時，這個四邊形的周長最大，其值為2（6+2<13）=12+4<13。答案：20；12+4<13,點評：本題需要較好的空間想象能力和探究能力，解題時可以邊操作邊探究。將最終的四邊形的一周的線段分成長度不變的和可以變化的，然后研究變化的邊相關的邊的變化范圍，這是一種轉化思想。14.鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作，在依次類推，余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第二次操作，依次類推，若第n次余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形，如圖1，□ABCD中，若AB=1,BC=2,則口ABCD為1階準菱形.

（1）判斷現推理:①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是—階準菱形；②小明為了得剪去一個菱形,進行如下操作:如圖2,把DABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點落在邊上的點F,,得到四邊形，請證明四邊形是菱形.（2）操作、探究、計算：①已知的邊長分別為1,a（>且是3階準菱形，請畫出DABCD及裁剪線的示意圖，并在下方寫出的a值②已知□ABCD的鄰邊長分別為a,b（>，滿足a=6b+r,b=5r,請寫出DABCD是幾階準菱形【解析】（1）①根據鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進過兩次操作即可得出所剩四邊形是菱形，即可得出答案；②根據平行四邊形的性質得出AE〃BF,進而得出AE=BF,即可得出答案；（2）①如圖所示：②?「a=6b+r,b=5r,，a=6x5r+r=31r；如圖所示：故DABCD是10階準菱形.②根據a=6b+r,b=5r,用r表示出各邊（②根據a=6b+r,b=5r,用r表示出各邊【答案】（1）①2,②由折疊知：NABE=NFBE,AB=BF??四邊形ABCD是平行四邊形，A〃??/Z???/Z??四邊形ABFE是平行四邊形，??四邊形ABFE是菱形，（2）a=4,a=2,a=4,a=5.（圖同解析）乙JJ【點評】此題主要考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，根據已知n階準菱形定義正確將平行四邊形分割是解題關鍵．15.如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3,AC=4D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1,第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于P2；設P2D1的中點為D2,第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；…；設Pn1Dn2的中點為Dn1,第n次將紙片折疊，使點A與點Dn1重合，折痕與AD交于點Pn（n>2）,則AP6的長為（（ ） “

BBBBBB第1次折疊 第2次折疊 第3次折疊第7題圖5x35 35 5x36 37—— B.—— C.—— D.——212 5義29 214 5x211【解析】先寫出AD【解析】先寫出AD、AD.AD.A2的長度,I c- O然后可發現規律推出ADn的表達式，繼而根據AP=AD即可得出AP的表達式，也可得出APq的長.nn n 6【答案】* ,g一口1 5 15 5X3, 5X315XW解：由題意得,AII=^BC=-^，AIi.=AB-DIi.二號，AIi.=——，All二——，皿尸一t// o士分二m寸二 q-AF5-4AF.羋上AF5-4AF.羋上165X3，AF一一-

：2C5X3U…APn二 z-故可吟黃.【點評】此題考查了翻折變換的知識，解答本題關鍵是寫出前面幾個有關線段長度的表達式，從而得出一般規律，注意培養自己的歸納總結能力.難度中等.16?右圖中每一個今方格解面積為1,則%根據面積計算得到如型式：1+3+5+7H F（2n-1）= W〃表示，〃是正整數）考點：數學歸納法，規律探索題［解析］當幾=2時：1+3=1+（2*2—1）=4=22當幾=3時：1+3+5=1+3+（2*3—1）=9=32當〃=4時：1+3+5+7=l+3+5+（2x4—1）=16=42猜想：1+3+5+7H b（2n-l）=n2【點評】在求解規律探索問題時，常常通過特殊到一般，通過特殊值時的結論，總結一般的結

論。17.觀察圖形，解答問題：(1)按下表已填寫的形式填寫表中的空格：圖①圖②圖③三個角上三個數的積1x(—1)x2=—2(—3)x(—4)x(—5)=—60三個角上三個數的和1+(-1)+2=2(—3)+(—4)+(—5)=—12積與和的商—2:2=1,(2)請用你發現的規律求出圖④中的數y和圖⑤中的數1.【解析】⑴模仿圖①中的第三格(三個角上三個數的積與三個角上三個數的和的商)圖②的第三格：(一60);(—12)=5圖③的第三格170：10=17,模仿前面的得到圖③的第一格(三個角上三個數的積)(-2)X(—5)X17=170第二格(三個角上三個數的和)(-2)+(—5)+17=10；(2)發現的規律是：中間的數=三個角上三個數的積 所以圖④y=5*(—8)*(—9)=-30三個角上三個數的和 5+(—8)+(-9)1xi義3圖⑤中：=-3解之得：1=-2TOC\o"1-5"\h\z【答案】解⑴圖②：(-60)：(-12)=5 分圖③：(一2)X(—5)X17=170, 分(-2)+(—5)+17=10, 分170：10=17. 分⑵圖④：5X(—8)X(—9)=360 分5+(—8)+(—9)=-17 分y=360：(-12)=-30.1x1x3圖⑤： =-3, …圖⑤：1+1+3解得1=-2 分【點評】本題主要考查考生對所給圖形的觀察、理解和模仿能力,同時也考查了有理數的加減乘除運算能力。難度中等.18.某班級為籌備運動會,準備用365元購買兩種運動服,其中甲種運動服20元/套,乙種運動服35元/套,在錢都用盡的條件下,有 ▲ 種購買方案．【答案】2。【考點】二元一次方程(不定方程)的應用。【分析】設甲種運動服買1套，乙種買y套錢都用盡，根據題意列出方程：201+35y=365得1=「，根據1,y必須為整數，化為1」8一2y+『要使1為整數，1+y3要被4整除。同時考慮到35y365即y1(7,所以y只能取3,7。故在錢都用盡的條件下,有2種購買方案：甲種運動服買13套,乙種買3套；甲種運動服買6套,乙種買7套。

19.兩個全等的梯形紙片如圖（1）擺放，將梯形紙片ABCD沿上底AD方向向右平移得到圖（2）.已知AD=4,BC=8,若陰影部分的面積是四邊形AB的面積的1,則圖（2）中平移距離A六▲ .(t) (2)(t) (2)【答案】3。【考點】平移的性質,一元一次方程的應用（幾何問題）。【分析】設A六x,則根據平移的性質，得A34+x,BE8+x,AD=6—x,BC=8—x。1（A，D+BC）a=1（4+x+8+x）a=（6+x）a設梯形的高為a,四邊形AB的面積為2 2 ，陰1（AD，+BC）a=1（4x+8x）a=（6-x）a影部分的面積為2 2 。（6-x）a=-（6+x）a由陰影部分的面積是四邊形AB的面積的3,得 3，解得x=3。.一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長為2米，坡角NA=30°,NB=90°,BC=6米.當正方形DEFH運動到什么位置，即當AE=▲米時，有DC2=AE2+BC2.14【答案】3。【考點】一元二次方程的應用,含30度角直角三角形的性質,勾股定理。【分析】根據已知，■坡角NA=30°,NB=90°,BC=6米，，AC=12米。：正方形DEFH的邊長為2米，即DE=2米，設AE=%，可得EC=12-%，利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2=4+(12-%)2,AE2+BC2=%2+36,14%= VDC2=AE2+BC2,A4+(12-%)2=%2+36,解得：3米。.（2011遼寧營口14分）已知正方形ABCD,點P是對角線AC所在直線上的動點，點E

在DC邊所在直線上，且隨著點P的運動而運動，PE=PD總成立.(1)如圖(1)，當點P在對角線AC上時，請你通過測量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關系？(直接寫出結論不必證明)；⑵如圖(2)，當點P運動到CA的延長線上時，(1)中猜想的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；⑶如圖(3)，當點P運動到CA的反向延長線上時，請你利用圖(3)畫出滿足條件的圖形，并判斷此時PE與PB有怎樣的關系？(直接寫出結論不必證明)PE±PBO(2)(1)中的結論成立。證明如下:PE±PBO(2)(1)中的結論成立。證明如下:(1)(2)???四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，.??CD=CB,NACD=NACBo又PC=PC,AAPDC^APBC(SAS)oAPD=PBoVPE=PD,APE=PBo由△PDC/^PBC,得NPDC=NPBCoXVPE=PD,AZPDE=ZPEDoAZPDE+ZPDC=ZPEC+ZPBC=180°oAZEPB=360°-(ZPEC+ZPBC+ZDCB)=90°oAPE±PBo【考點】正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，多邊形內角和定理，三角形外角定理。【分析】(1) 由^PDC^APBC(SAS)和PE=PD可得PE=PBoZBPE=ZBPC+ZCPE=ZDPC+ZCPE(全等三角形對應角相等)=ZDPC+ZDPC-ZDPE=2ZDPC-ZDPE=2ZDPC-(1800-2NPDE)(三角形內角和定理和等腰三角形底角相等)=2(NDPC+NPDE)—1800=2(1800—ZPCD)-1800(三角形內角和定理)

=2(1800—450)—1800(正方形的性質)=90°。APEXPBo由4PDC/^PBC(5八5)和PE=PD可得PE=PB。由四邊形內角和為3600可證。由^PDC^^PBC(5八5)和PE=PD可得PE=PB。ZBPE=ZCPE—ZCPB=(1800—450—ZCEP)—(450—ZCBP)=90°oAPEXPBo22.已知線段AB=6,C、D是AB上兩點，且AC=DB=1,P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF,G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為 .解答：解：如圖，分別延長AE、BF交于點H.VZA=ZFPB=60°,.??AH〃PF,???ZB=ZEPA=60°,ABH#PE,??四邊形EPFH為平行四邊形，AEF與HP互相平分.G為EF的中點，AG也正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN..?CD=6-1-1=4,?，.MN=2,即G的移動路徑長為2.故答案為2．.探究：如圖，在LABCD的形外分別作等腰直角^ABF和等腰直角△ADE,NFAB=NEAD=90°,連接AC、EF.在圖中找一個與^FAE全等的三角形，并加以證明.應用：以口ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖，連結EF、GH、IJ、KL.若LABCD的面積為5,則圖中陰影部分四個三角形的面積和為.

1.圖① 圖②【答案】探究：△FAE04CDA,證明如下：在平行四邊形ABCD中，AB=CD,NBAD+NADC=180°。等腰直角^ABF和等腰直角△ADE中，AF=AB,AE=AD,NFAB=NEAD=90°,AZFAE+ZBAD=180°oAZFAE=ZADCoA△FAE^^CDA(SAS)應用：10。【考點】全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，平行四邊形的性質。【分析】首先由SAS可證明△FAE04CDA,則陰影部分四個三角形的面積和是一ABCD的面積的2倍，據此即可求解：四個三角形的面積和為2x5=10。.如圖，點E是矩形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BC,AB=3,BC=4,點P為直線EC上的一點，且PQXBC于點Q,PRXBD于點R。12(1)如圖1,當點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ=5(不需證明)。(2)如圖2,當點P為線段EC上的任意一點(不與點E、點C重合)時，其它條件不變，則(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。(3)如圖3,當點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想。"：'△BCD=2BC.CD=2BD.CK，.'.3x4=5CKo...CK=5。1 1 1?:、△BCE=2BE-CK，、△BEP=2PR-BE，、△BCP=2PQ?BC，且、△BCE=、△BEP+S^BCP,1 1 1.2BE-CK=2PR-BE+2PQ-BC。

又?.?BE=BC,；.2CK=2PR+2PQ°；.CK=PR+PQ。121212又VCK=5,APR+PQ=5o12(3)圖3中的結論是PR—PQ=5【考點】矩形的性質，三角形的面積，勾股定理，等量代換。【分析】(2)連接BP,過C點作CKXBD于點Ko根據矩形的性質及勾股定理求出BD的長，根據三角形面積相等可求出CK的長，最后通過等量代換即可證明。121212(3)圖3中的結論是PR—PQ=5。如圖，同(2)有CK=5。,:、△BCE=2BE-CK,、△BEP=2PR-BE,、△BCP=2PQ-BC且、△BCE=、△BEP—S△BCP2PQ-BCA2BE-CK=2PR-BE—2PQ-BCo111又VBE=BC,A2CK=2PR—2PQ°ACK=PR—PQo12 12又VCK=5,APR—PQ=5o15.(2011黑龍江省綏化、齊齊哈爾、黑河、大興安嶺、雞西8分)在正方形ABCD的邊AB上任取一點E,作EFXAB交BD于點F,取FD的中點G,連接EG、CG,如圖(1),易證EG=CG且EGXCG.FD=FG。FD=FG。(1)將4BEF繞點B逆時針旋轉90°,如圖(2),則線段EG和CG有怎樣的數量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想．(2)將4BEF繞點B逆時針旋轉180°,如圖(3),則線段EG和CG又有怎樣的數量關系和位置關系？請寫出你的猜想,并加以證明．【答案】解：(1)EG=CG,EGXCGo(2)EG=CG,EG^CGo證明如下:延長FE交DC延長線于M,連MG.VZAEM=90°,ZEBC=90°,ZBCM=90°,，四邊形BEMC是矩形。，BE=CM,NEMC=90°oXVBE=EF,AEF=CMo1VZEMC=90°,FG=DG,；?MG=2VBC=EM,BC=CD,；?EM=CD。VEF=CM,AFM=DMoAZF=45°o

1XVFG=DG,ZCMG=2NEMC=45°,；.NF=NGMC。又?.?FG=MG,???^GFE04GMC(SAS)。；.EG=CG,NFGE=NMGC。VZFMC=90°,MF=MD,FG=DG,AMG±FDoAZFGE+ZEGM=90°o.?.NMGC+NEGM=90°。即NEGC=90°°；.EG，CG。【考點】正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質。【分析】從圖(1)中尋找證明結論的思路：延長FE交DC延長線于M,連MG.構造出△GFE04GMC.易得結論；在圖(2)、(3)中借鑒此解法證明。25.如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構成一個正六角星形AFBDCE,它的面積為1,取△ABC和^DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如圖(2)中陰影部分；取^A1B1C1和41D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2FB2DCE2F2,如圖(3)中陰影部分;如此下去則正六角星形AFBDCEF的面積為.1【答案】—等.腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高求證；等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。這是一道常見的幾何證明問題，難度不大，但很經典，證明方法也很多。已知：等腰三角形ABC中，AB=AC,BC上任意點D,DE，AB,DF，AC,BH，AC求證：DE+DF=BH證法一