第1章質點運動學

1.1質點參照系

1.2描述質點運動的物理量

1.3運動學的兩類問題

1.4*運動的疊加

1.1質點參照系1.1.1質點質點是經過科學抽象而形成的一個理想化模型。任何物體都有一定的大小和形狀。一般來說，物體運動時，內部各點的位置變化是各不相同的。因此要精確描述一般物體的運動并不是一件簡單的事。為使問題簡化，我們可以采用抽象的方法:如果物體的大小和形狀在所研究的現象中不起作用，或所起的作用可以忽略不計，我們就可近似地把物體看作是一個沒有大小和形狀的理想物體，稱為質點。下一頁返回1.1質點參照系1.1.2參照系一切物體都在運動，即使看來“靜止”的建筑物也正隨著地球一起運動。地球不但自轉，還圍繞太陽公轉;太陽又是銀河系的成員，而銀河系也在旋轉著……這些事實表明，運動是普遍的、絕對的，而“靜止”只有相對的意義。雖然運動具有絕對性，但是，對運動情況的具體描述則具有相對性。由于機械運動具有相對性，因此，描述一個運動時，就必須選擇其他物體作標準。描述運動時選作標準的物體(一個不變形的物體，或保持相對靜止的幾個物體)稱為參照系。下一頁返回上一頁1.1質點參照系1.1.3坐標系參照系確定之后，要把質點在各個時刻相對于參照系的位置定量表示出來，還需要在參照系上選定一個坐標系，所討論的這個質點的位置就由它在該坐標系中的坐標值決定。因此，對于描述物體的位置變化來說，坐標系起著刻度尺的作用。最常用的坐標系是直角坐標系，有時根據需要也可選用其他坐標系，如極坐標系、球面坐標系、柱面坐標系、自然坐標系,,返回上一頁1.2描述質點運動的物理量1.2.1位置矢量于參考點的距離和方位，可以引人位置矢量。由參考系上的坐標原點引向質點P所在位置的矢量稱為質點的位置矢量。如圖1一1所示，通常以r表示。用位置矢量描述質點的位置在效果上與用坐標值描述是相同的。在國際單位制(SI)中，位置矢量大小的單位為米(m)，與長度單位相同。位置矢量可在直角坐標系0一xyz中用三個互相正交的分量來表示，如圖1一1所示。若P點位置矢量r在x,y,z軸上的分量(即坐標)分別為x,y，z，則位置矢量的正交分解式為，下一頁返回1.2描述質點運動的物理量位置矢量的大小(即r的模)為位置矢量的方向，可由其方向余弦確定為下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量1.2.2位移

圖1-2可以看出，位移也就等于質點在這段時間內位置矢量的增量:1.2.3運動方程在質點運動過程中，它的位置矢量隨時間改變，每一時刻均有一定的位置矢量與之對應，如圖1一3所示，即位置矢量r為時間t的函數

r=r(t)(1-5)

式(1一5)稱作質點的運動方程下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量運動方程在直角坐標系0-xyz中的正交分解式為

(1-6)

質點運動時，坐標x,y,z都是時間t的函數，所以運動方程在直角坐標系中也可寫成

(1-7)

式(1-7)稱為質點運動方程的標量形式，也叫分量式。下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量1.2.4速度1.平均速度質點在t時刻到t+△t時刻這段時間內的位移是△r，我們可以用位移△r除以發生這段位移所用的時間△t，即單位時間內的位移△r/△t，來近似地描述，時刻附近質點運動的快慢和方向。質點位移△r=r(t+△t)一r(t)與發生這一位移的時間間隔△t之比，稱作質點在這段時間內的平均速度,記作下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量

2.瞬時速度平均速度僅僅提供一段時間內位置總變動的方向和平均快慢，卻不能精細地描述質點在這段時間內發生的運動方向的改變和時快時慢的詳細情況。顯然，△t取得越短，近似的程度就越好，平均速度就越能反映出t時刻的真實運動情況。當△t→0,△r/△t趨近于一個確定的極限矢量，這個極限矢量確切地描述了質點在t時刻運動的快慢和方向，這就是質點在，時刻的瞬時速度，它等于t時刻至t+△t時刻一段時間內平均速度，當△t→0時的極限，用v表示，即下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量即質點的瞬時速度等于位置矢量對時間的一階導數，記作速度的方向由位移△r的極限方向決定，當△t→0，位移△r趨于軌道的切線方向。如圖1-4所示。因此，質點在任一時刻的瞬時速度的方向和這個時刻質點所在處的軌道曲線相切并指向質點前進的方向。下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量3.速度在直角坐標系中的表示瞬時速度v在直角坐標系。0-xyz中的正交分解式為

(1-14)對時間求一階導數，可得

(1-15)將式(1一14)與式(1一15)相比較可得

(1-16)下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量即瞬時速度矢量的投影等于各位置坐標對時間的一階導數。vx

,

vy

,

vz為代數量，可以取正值也可以取負值。瞬時速度的大小和方向余弦可表示為下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量1.2.5加速度1.平均加速度

1.平均加速度設質點在t時刻的速度為v(t)，經△t后速度變為，v(t+△t)，如圖1一6所示，速度增量△

v=v(t+△t)-v(t)與發生這一增量所用時間△t之比稱為這一段時間內的平均加速度，表示為:下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量2.瞬時加速度質點的瞬時加速度等于速度矢量對時間的一階導數。

(1-19)又因為故又可得

(1-20)

即瞬時加速度又等于位置矢量對時間的二階導數下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量3.加速度在直角坐標系中的表示式將式(1一15)代入式(1-20)，可得加速度在直角坐標系中的正交分解式以ax，ay，az表示a在x,y,z軸上的投影下一頁返回上一頁1.2描述質點運動的物理量返回上一頁1.3運動學的兩類問題運動學研究的問題主要有兩類:(1)已知質點的運動方程r=r(t)，求質點在任一時刻的位矢、位移、速度和加速度這是微分問題。這類問題可以從位移、速度和加速度的定義及利用各種導數微分方法進行求解。

(2)已知質點的速度或加速度與時間的關系，以及初始條件(t=t0時的ro,vo)，求任一時刻質點的位置和速度。這是積分問題，是(1)的逆問題，可以從位移、速度和加速度的定義，通過定積分進行求解。下一頁返回1.3運動學的兩類問題【例1-4】已知質點的運動方程為r=(一5t+10t2)i+(10t一15t2)j，式中坐標的單位為m，時間的單位為s。試求:t=2s時，質點的位置矢量、速度和加速度。【例1-5】一質點沿x軸運動，其加速度為a=4t(SI制)。當t=0時，物體靜止在x=10m處，試求速度及位置隨時間的變化關系。返回上一頁1.4*運動的疊加1.4.1拋體運動

1.運動疊加原理在日常生活和生產實踐中，常可看到一個物體同時參與兩個或幾個不同方向上運動的情形。大量實驗事實表明，宏觀物體任何一個方向的運動，都不因為其他方向的運動而受到影響，即各種方向的運動都具有獨立性，這稱為運動獨立性原理。一個運動可以看成幾個各自獨立進行的運動疊加而成，這個結論稱為運動的疊加原理。2.拋體運動拋體運動是平面曲線運動，如果不考慮空氣阻力和風速、風向等影響，那么物體在水平方向的運動是勻速直線運動，而在豎直方向的運動是勻加速直線運動。下一頁返回1.4*運動的疊加1.4.2相對運動質點的運動軌跡依賴于觀察者(即參考系)的例子是很多的。例如一個人站在做勻速直線運動的車上，豎直向上拋出一塊石子，車上的觀察者看到石子豎直上升并豎直下落。但是，站在地