2021-2021學年湖南省長沙市雨花區雅禮教育集團九年級（下）期中數學試卷解析版2021-2021學年湖南省長沙市雨花區雅禮教育集團九年級（下）期中數學試卷一、選擇題（本大題共小題共分）1分）下列運算正確的是（）A．a﹣2aB（﹣a2＝﹣a6C．x6÷x3D（x+y）2＝x2+y22分）若式子在實數范圍內有意義則取值范圍是（）A．xB．x＞2C≤2D≥23分）截止年日全球新冠肺炎感染累計確診人數大約為3940000人用科學記數法可表示為（）ABCD4分）已知點P（a﹣1﹣a在平面直角坐標系的第四象限則取值范圍在數軸上可表示為（）ABCD第1頁共32頁

5分）從等腰三角形、平行四邊形、菱形、角、線段中隨機抽取兩個得到的都是中心對稱圖形的概率是（）ABCD．6分）下面四個幾何體中主視圖與其它幾何體的主視圖不同的是（）ABCD7分）有一圓錐它的高為8cm底面半徑為則這個圓錐的側面積是（）ABCDπ8分）如圖是⊙O直徑若∠BAC＝36°則∠ADC的度數為（）ABCD9分）下列命題中正確的是（）A平行四邊形的對角線相等B矩形的對角線互相垂直C菱形的對角線互相垂直且平分D對角線相等的四邊形是正方形10．（3分）《九章算術》中“盈不足術”有這樣的問題：“今有共買羊人出六不足四十五；人出八不足三．問人數、羊價各幾何？”題意是：若干人共同出資買羊每人出6則差元；第2頁共32頁

每人出則差．求人數和羊價各是多少？設買羊人數為人則根據題意可列方程為（）A．6x+45＝8x+3D﹣45＝8x﹣3

C﹣45＝8x+311．（3分）如圖在已知的△ABC按以下步驟：）分別以B為圓心大于的長為半徑作弧兩弧相交、N（2）作直線交于D結CDCD＝AD∠B＝25°則下列結論中錯誤的是（）A直MN是線段BC垂直平分線B點△外心C∠ACB＝90°D點△內心12．（3分）如圖在矩形中E邊的中點BE⊥AC垂足為點接有下列五個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF③DF＝DC；④tan∠CAD＝；⑤S△ABF四邊形BCDF＝1：4其中正確結論的個數是（）AB．2．3．4二、填空題（本大題共小題每小題共18分）13．（3分）分解因式：＝．14．（3分）已知一組數據55x9的平均數是8么這組數據的中位數是．第3頁共32頁

15．（3分）如果關于x一元二次方程x2﹣3x＝0有兩個不相等的實數根那么k取值范圍是．16．（3分）當前國內疫情防控階段性成效進一步鞏固為了全面推進復工復產促進消費五一期間百貨大樓推出全場打八折的優惠活動持貴賓卡可在八折基礎上繼續打折小明媽媽持貴賓卡買了標價為元的商品共節省280元則用貴賓卡又享受了惠？

折優17．（3分）如圖已知Rt斜邊的長為m∠B＝40°則直角邊的長是．18．（3分）如圖在平面直角坐標系中邊在軸上在上反比例函數y（k≠0）與斜邊交于點、D連接若AC：CD：2S△OBD＝則值為．三、解答題（本大題共小題共分）19．（6分）計算：（﹣）﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）解不等式組并寫出它的所有整數解．21．（8分）某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動活動后就活動的5主題進行了抽樣調查（每位同學只選最關注的一個）根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖．根據圖中提供的信息解答下列問題：(1）這次調查的學生共有多少名？第4頁共32頁

(2）請將條形統計圖補充完整并在扇形統計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數．(3）如果要在這主題中任選兩個進行調查根據（）中調查結果用樹狀圖或列表法求恰好選到學生關注最多的兩個主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、E．22．（8分）如圖菱形的對角線AC相交于點點D作∥ACDE＝AC連接AEOD于點F接CE、OE．(1）求證：四邊形為矩形；(2）若菱形的邊長為6∠ABC＝60°求的長．23．（9分）2021年日是第個世界讀書日這一天世界各地都會舉辦諸多與閱讀有關的活動．某書店為了迎接“讀書節”制定了活動計劃以下是活動計劃書的部分信息．“讀書節”活動計劃書書本類別A類B類進價（單位：元）1812備注第5頁共32頁

用不超過16800元購進兩類圖書共本；A圖書不少于600本；(1）陳經理查看計劃書發現：A圖書的標價是圖書標價的1.5倍若顧客用660元購買圖書能單獨購買A圖書的數量恰好比單獨購買圖書的數量少10本．請求出A兩類圖書的標價．(2）經市場調查后陳經理發現他們高估了“讀書節”對圖書銷售的影響便調整了銷售方案：A圖書每本按標價降價a（0）銷售B圖書價格不變．那么書店應如何進貨才能獲得最大利潤？24．（9分）如圖點P反比例函數＜0上PA⊥x軸于點B在正半軸上、OB的長是方程t2＝0的兩個實數根且點線段延長線上的一個動點△ABC的外接圓⊙M的另一個交點是．(1）求點點坐標；(2）求反比例函數的解析式；(3）連接求tan∠PMB值．25．（10分）如圖們知道若點線段分成兩部分且＝則稱點線段的黃金分割點．類似的我們把有一個內角等于的等腰三角形稱為黃金三角形如圖是⊙O的直徑點C在⊙O上∠BOC＝108°過點C直線分別交直線和⊙O于D連接．第6頁共32頁

(1）求∠CDB度數并證明△ODC黃金三角形；(2）求證：點線段的黃金分割點；(3）對于實數：a1＜a2＜a3＜a4如果滿足（a3（a4﹣a3）（a4﹣a1）（a4﹣a2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱為的黃金數a2a1a4的白銀數．①實數0＜a＜1且的黃金數01的白銀數求b﹣a的值；②實數k＜n＜tt＝2|k|mn分別為的黃金數和白銀數求的值．26．（10分）在平面直角坐標系中坐標原點拋物線＝ax2﹣2ax﹣3分別交x正半軸于點Bx負半軸于點A與負半軸交于點AB＝4．(1）如圖值；(2）如圖是第一象限拋物線上的點連過點DM∥y軸交的延長線于點接BD于點若S△ABN＝S△DMN求點坐標以及∠DAB的值；(3）如圖（）的條件下連接ADP是第一象限拋物線上的點（點點D重合）過點AD垂線交于點F點x軸上（點點F的左側）EF＝13點直線FP上連接EP、OG．若＝OG∠PEF+∠G＝45°求點坐標．2021-2021學年湖南省長沙市雨花區雅禮教育集團九年級（下）期中數學試卷第7頁共32頁

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共小題共分）1分）下列運算正確的是（）A．a﹣2aB（﹣a2＝﹣a6C．x6÷x3D（x+y）2＝x2+y2【分析】根據合并同類項的法則積的乘方運算性質同底數冪的除法法則完全平方公式分別計算然后比較即可．【解答】解：、應該得﹣本選項錯誤；B正確；C、x6÷x3本選項錯誤；D（x+y）2＝x2+y2+2xy本選項錯誤．故選：．2分）若式子在實數范圍內有意義則取值范圍是（）A．xB．x＞2C≤2D≥2【分析】根據二次根式中的被開方數必須是非負數即可求解．【解答】解：根據題意得：﹣2≥0解得：x≥2．故選：．3分）截止年日全球新冠肺炎感染累計確診人數大約為3940000人用科學記數法可表示為（）第8頁共32頁

ABCD【分析】科學記數法的表示形式為的形式其中1≤|a|＜10n為整數．確定n值時要看把原數變成a小數點移動了多少位絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10n是正整數；當原數的絕對值時n是負整數．【解答】解：＝3.94×106故選：．4分）已知點P（a﹣1﹣a在平面直角坐標系的第四象限則取值范圍在數軸上可表示為（）ABCD【分析】根據第四象限點的特征確定出a的范圍表示在數軸上即可．【解答】解：∵點﹣1）在平面直角坐標系的第四象限內∴解得：＞1則范圍在數軸上可表示為：故選：．5分）從等腰三角形、平行四邊形、菱形、角、線段中隨機抽取兩個得到的都是中心對稱圖形的概率是（）第9頁共32頁

ABCD．【分析】將等腰三角形、平行四邊形、菱形、角、線段分別記作ABCDE再列表根據所得的結果進行計算即可．【解答】解：五種圖形中屬于中心對稱圖形的有：平行四邊形、菱形、線段將等腰三角形、平行四邊形、菱形、角、線段分別記作ABCDE列表可得：總共有種等可能的情況其中抽取的兩個都是中心對稱圖形的有∴P（抽取的兩個都是中心對稱圖形）＝＝故選：．6分）下面四個幾何體中主視圖與其它幾何體的主視圖不同的是（）ABCD【分析】找到從正面看所得到的圖形比較即可．【解答】解：、主視圖為長方形；B主視圖為長方形；C主視圖為兩個相鄰的三角形；D主視圖為長方形；故選：．第10頁共32頁

7分）有一圓錐它的高為8cm底面半徑為則這個圓錐的側面積是（）ABCDπ【分析】先根據圓錐的底面半徑和高求出母線長圓錐的側面積是展開后扇形的面積計算可得．【解答】解：圓錐的母線＝圓錐的底面周長πr＝12π（cm）圓錐的側面積＝lR＝×12π×10＝60π）．故選：．8分）如圖是⊙O直徑若∠BAC＝36°則∠ADC的度數為（）ABCD【分析】如圖連接BC．求出∠ABC可解決問題．【解答】解：如圖連接BC．∵AB是直徑∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°∴∠ADC＝∠ABC＝54°故選：．9分）下列命題中正確的是（）A平行四邊形的對角線相等B矩形的對角線互相垂直第11頁共32頁

C菱形的對角線互相垂直且平分D對角線相等的四邊形是正方形【分析】根據平行四邊形的性質、矩形的性質、菱形的性質和正方形的判定定理判斷即可．【解答】解：平行四邊形的對角線不一定相等A錯誤；矩形的對角線不一定互相垂直誤；菱形的對角線互相垂直且平分確；對角線相等的四邊形不一定是正方形D錯誤故選：．10．（3分）《九章算術》中“盈不足術”有這樣的問題：“今有共買羊人出六不足四十五；人出八不足三．問人數、羊價各幾何？”題意是：若干人共同出資買羊每人出6則差元；每人出則差．求人數和羊價各是多少？設買羊人數為人則根據題意可列方程為（）A．6x+45＝8x+3D﹣45＝8x﹣3

C﹣45＝8x+3【分析】設買羊人數為根據出資數不變列出方程．【解答】解：設買羊人數為則根據題意可列方程為＝8x+3．故選：．11．（3分）如圖在已知的△ABC按以下步驟：）分別以B為圓心大于的長為半徑作弧兩弧相交、N（2）作直第12頁共32頁

線交于D結CDCD＝AD∠B＝25°則下列結論中錯誤的是（）A直MN是線段BC垂直平分線B點△外心C∠ACB＝90°D點△內心【分析】證明DC＝DB＝DA即可決問題．【解答】解：由作圖可知垂直平分線段∵DC＝DA∴DC＝DB∴∠ACB＝90°∴點△ACB外心故選項ABC正確故選：．12．（3分）如圖在矩形中E邊的中點BE⊥AC垂足為點接有下列五個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF③DF＝DC；④tan∠CAD＝；⑤S△ABF四邊形：4其中正確結論的個數是（）AB．2．3．4【分析】結合矩形的性質證明∠EAF＝∠ACBAFE＝∠CBA可明①；證明△AEF∽△CBF用相似三角形的性質可證明②；過D第13頁共32頁

作∥BE∠ACM則DN⊥AC證明的中點可證明③；根據已知條件無法證明④；設S△AEF則△ADF＝2a由相似三角形的性質可求解相關三角形的面積進而可求得S邊形＝4a即可證明⑤．【解答】解：在矩形中∠ABC＝90°AD∥BCAD＝BC∴∠EAF＝∠ACB∵BE⊥AC垂足為點∴∠AFE＝90°∴∠AFE＝∠CBA∴△AEF∽△CAB故①正確；∵AD∥BC∴△AEF∽△CBF∴∵E為AD的中點∴∴∴CF＝2AE故②正確；過∥BEACM則DN⊥AC∵AD∥BC∴四邊形為平行四邊形∴BNN為的中點∴M為CF的中點第14頁共32頁

∴DF＝DC故③正確；根據已知條件無法判斷AD故無法得到∠CAD＝故④錯誤；設則∵△AEF∽△CBF∴∴S∵S△ABF：S△CBF＝AF：CF：2∴S△ABF∴S△ADC＝S△ABC＝6a∴S四邊形BCDF＝8a∴S△ABF四邊形BCDF＝2a：8a故⑤正確．綜上正確個數有．故選：．二、填空題（本大題共小題每小題共18分）13．（3分）分解因式：＝．【分析】觀察原式a3找到公因式a出公因式后發現是完全平方式利用完全平方公式繼續分解可得．【解答】解：a3﹣4a2+4a（a2﹣4a+4）﹣2．故答案為：﹣2）2．第15頁共32頁

14．（3分）已知一組數據55x9的平均數是8么這組數據的中位數是9．【分析】根據平均數的定義先求出x的值再根據中位數的定義即可得出答案．【解答】解：根據平均數的定義可知（）÷5解得：＝1把這組數據從小到大的順序排列為處于中間位置的那個數是那么由中位數的定義可知這組數據的中位數是；故答案為：．15．（3分）如果關于x一元二次方程x2﹣3x＝0有兩個不相等的實數根那么k取值范圍是﹣．【分析】利用判別式的意義得到△＝（（﹣k）然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得△＝（﹣4（）解得k＞﹣．故答案為k＞﹣．16．（3分）當前國內疫情防控階段性成效進一步鞏固為了全面推進復工復產促進消費五一期間百貨大樓推出全場打八折的優惠活動持貴賓卡可在八折基礎上繼續打折小明媽媽持貴賓卡買了第16頁共32頁

標價為元的商品共節省280元則用貴賓卡又享受了優惠？

九

折【分析】首先設用貴賓卡又享受了x折優惠根據題意可得等量關系：標價﹣實際消費＝元根據等量關系列出方程再解即可．【解答】解：設用貴賓卡又享受了x折優惠由題意得：1000﹣1000×0.8×解得：故答案為：九．17．（3分）如圖已知Rt斜邊的長為m∠B＝40°則直角邊的長是msin40°．【分析】根據正弦的定義計算得到答案．【解答】解：在△ABC中sinB＝∴AC故答案為：msin40°．18．（3分）如圖在平面直角坐標系中的邊OA在軸上在上反比例函數y（k≠0）與斜邊交于點、D連接若AC：CD：2S△OBD＝則值為．【分析】設（mn）過點軸于點點D軸于點F．因此△ACE∽△ADFAC：CD得到AC：AD從而由比例線段用示CE而、n示點坐標進一步得出第17頁共32頁

直線的表達式得坐標由S求得列出方程求得的值便可求得值．【解答】解：設（mn）過點軸于點E點D作DF⊥y軸于點．則＝mn∴△ACE∽△ADF∵AC：CD：2∴AC：AD：3∴∴CE＝DF當x時∴C（m3n）∵D∴直線的表達式為y＝﹣∴B（0）OB＝∵S△OBD＝∴∴mn＝∴k故答案為．三、解答題（本大題共小題共分）19．（6分）計算：（﹣）﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0第18頁共32頁

【分析】原式利用零指數冪、負整數指數冪法則絕對值的代數意義以及特殊角的三角函數值計算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2+﹣+1．20．（6分）解不等式組并寫出它的所有整數解．【分析】分別求出每一個不等式的解集根據口訣：“大小小大中間找“確定不等式組的解集繼而可得其整數解．【解答】解：解不等式）＜6x：＞﹣1解不等式≤得：x≤1∴不等式組解集是﹣≤1∴原不等式組的所有整數解為0．21．（8分）某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動活動后就活動的5主題進行了抽樣調查（每位同學只選最關注的一個）根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖．根據圖中提供的信息解答下列問題：(1）這次調查的學生共有多少名？(2）請將條形統計圖補充完整并在扇形統計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數．(3）如果要在這主題中任選兩個進行調查根據（）中調查結果用樹狀圖或列表法求恰好選到學生關注最多的兩個主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、E．第19頁共32頁

【分析】）根據“平等”的人數除以占的百分比得到調查的學生總數即可；(2）求出“互助”與“進取”的學生數補全條形統計圖求出“進取”占的圓心角度數即可；(3）列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數找出恰好選到“C”與“E”的情況數即可求出所求的概率．【解答】解：）56÷20%＝280（名）答：這次調查的學生共有280名；(2）280×15%＝42（名）﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名）補全條形統計圖如圖所示根據題意得：84÷280＝30%360°×30%＝108°答：“進取”所對應的圓心角是108°；(3）由（）中調查結果知：學生關注最多的兩個主題為“進取”和“感恩”用列表法為：ABCDEA(AB(AC第20頁共32頁

(AD(AEB(BA(BC(BD(BEC(CA(CB(CD(CED(DA(DB(DC(DEE(EA(EB(EC(ED第21頁共32頁

用樹狀圖為：共20情況恰好選到“C”和“E”有2∴恰好選到“進取”和“感恩”兩個主題的概率是．22．（8分）如圖菱形的對角線AC相交于點點D作且DE＝AC接AEOD于點F接CE、OE．(1）求證：四邊形為矩形；(2）若菱形的邊長為6∠ABC＝60°求的長．【分析】）由菱形DE∥AC且證得四邊形是平行四邊形于是得到結論；(2）由菱形的對角線互相垂直可證得四邊形是矩形根據菱形的性質得出再根據勾股定理得出的長度即可．【解答】）證明：四邊形是菱形∴OA＝OC＝ACAD＝CD∵DE∥ACDE＝AC∴DE＝OA∴四邊形OADE、四邊形都是平行四邊形∵AC⊥BD∴四邊形是矩形；(2）解：∵在菱形中∠ABC＝60°∴AC＝AB∴在矩形CE＝OD．∴在△ACE．第22頁共32頁

23．（9分）2021年日是第個世界讀書日這一天世界各地都會舉辦諸多與閱讀有關的活動．某書店為了迎接“讀書節”制定了活動計劃以下是活動計劃書的部分信息．“讀書節”活動計劃書書本類別A類B類進價（單位：元）1812備注用不超過16800元購進兩類圖書共本；A圖書不少于600本；(1）陳經理查看計劃書發現：A圖書的標價是圖書標價的1.5倍若顧客用660元購買圖書能單獨購買A圖書的數量恰好比單獨購買圖書的數量少10本．請求出A兩類圖書的標價．(2）經市場調查后陳經理發現他們高估了“讀書節”對圖書銷售的影響便調整了銷售方案：A圖書每本按標價降價a（0）銷售B圖書價格不變．那么書店應如何進貨才能獲得最大利潤？第23頁共32頁

【分析】）先設圖書的標價為則由題意可知A圖書的標價為元然后根據題意列出方程求解即可．(2）先設購進圖書t總利潤為則購進B圖書為（1000）本根據題目中所給的信息列出不等式組求出取值范圍然后根據總利潤＝總售價﹣總成本求出最佳的進貨方案．【解答】解：）設圖書的標價為則A圖書的標價為元根據題意可得：解得：＝22經檢驗：＝22是原分式方程的解且符合題意則圖書的標價為：＝1.5×22（元）答：圖書的標價為元圖書的標價為元；(2）設購進圖書t總利潤為A圖書的標價為（33）元（0＜a＜8）由題意得w＝﹣a﹣18）t+（22﹣12）（1000﹣t＝）t+10000根據題意得：解得：600≤t≤800∵0＜a∴①當5﹣a＞0即時增大而增大∴當t＝800即A類圖書購進800本圖書購進本時總利潤最大；第24頁共32頁

②當5﹣a＞0即時t取值無關購進圖書600～800書店應能獲得最大利潤；③當5﹣a＜0即＜8時w隨t增大而減小∴當t＝600圖書購進本圖書購進本時總利潤最大；答：當圖書每本降價少于時圖書購進本B類圖書購進200本時利潤最大；當A圖書每本降價大于等于元小于時A圖書購進600本圖書購進400本時利潤最大．24．（9分）如圖點P反比例函數＜0上PA⊥x軸于點B在正半軸上、OB的長是方程t2＝0的兩個實數根且點線段延長線上的一個動點△ABC的外接圓⊙M的另一個交點是．(1）求點點坐標；(2）求反比例函數的解析式；(3）連接求tan∠PMB值．【分析】）解方程即可得到結論；(2）設點P（﹣6）由得到36+（2+）2＝（）2方程即可得到結論；(3）連接半徑為直角三角形即可得到結論．【解答】解：）t2＝0解得：＝2或6第25頁共32頁

∵OA、OB的長是方程t2＝0的兩個實數根OA＞OB即OA＝6OB即點A的坐標為（﹣60）、（02）；(2）設點P（﹣6）由得：36+（2+）2＝（解得：＝﹣60故反比例函數的解析式為＝﹣；(3）連接∵OA＝6OB＝2設半徑為在△AOM∴62+（r＝r2解得：＝10∴BM＝AM＝10BH＝2過軸與∴tan∠PMB＝＝＝．25．（10分）如圖們知道若點線段分成兩部分且＝則稱點線段的黃金分割點．類似的我們把有一個內角等于的等腰三角形稱為黃金三角形如圖是⊙O的直徑點C第26頁共32頁

在⊙O上∠BOC＝108°過點C直線分別交直線和⊙O于D連接．(1）求∠CDB度數并證明△ODC黃金三角形；(2）求證：點線段的黃金分割點；(3）對于實數：a1＜a2＜a3＜a4如果滿足（a3（a4﹣a3）（a4﹣a1）（a4﹣a2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱為的黃金數a2a1a4的白銀數．①實數且的黃金數01的白銀數求b﹣a的值；②實數k＜n＜m＜tt＝2|k|mn分別為的黃金數和白銀數求的值．【分析】）根據已知條件和等邊對等角的性質即可求解；(2）根據已知條件先求出相應角度得出相似三角形從而得出邊之間的比例關系即可；(3）根據黃金數、白銀數的定義聯立相應的方程式即可求解．【解答】解：）∵AB⊙O的直徑∴OA＝OC＝OE＝DE∴∠EOD＝∠CDB∠OCE＝∠OEC設∠CDB＝x∵∠BOC＝108°第27頁共32頁

∴∠CDB+∠OCD＝108°∴x+2x＝108°∴x＝36°∴∠CDB＝36°∠EOD＝∠CDB＝36°∠OCE＝∠OEC＝72°∵∠COD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣108°＝72°∴∠OCE＝∠COD∴DO＝DC又∵∠CDB＝36°∴△COD是黃金三角形；(2）由（）得∠EOD＝∠CDB＝36°∠OCE＝∠OEC＝72°∴∠COE＝36°∵∠COE＝∠CDB∵∠OCD＝∠ECO∴△EOC∽△ODC∴＝∵OC＝DE∴＝∴點線段的黃金分割點；(3）①實數＜a＜b＜1且b為01的黃金數∴＝）﹣0）∴b2+b＝0∴b1＝（舍去）b2＝第28頁共32頁

∵實數0＜a＜1a01的白銀數∴＝）﹣0）∴a2﹣3a+1（舍去）a2∴b﹣a＝﹣＝；