PAGEPAGE1高二暑假作業(17)平面向量的數量積考點要求1．理解平面向量數量積的含義；2．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；3．能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．考點梳理1．設向量a，b的夾角為θ，則a和b的數量積a·b＝__________，a和b的夾角θ滿足cosθ＝_________．2．設向量a，b，c和實數λ，則向量的數量積滿足下列運算律∶(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．3．設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)a·b＝____________；(2)|a|＝________________；(3)若a⊥b，則____________．考點精練1．已知向量a和向量b的夾角為120°，且|a|＝|b|＝4，則b·(2a＋b2．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝____________．3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝____________．4．已知向量a，b，滿足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，a＋b＝(eq\r(3)，1)，則向量a＋b與向量a－b的夾角是____________．5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D，E為BC邊上的點，且eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EB,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝____________．6．在△ABC中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，則k＝________．7．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，則|2a＋b|8．已知i和j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj．若a與b的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是____________．9．已知矩形ABCD的邊AB＝4，AD＝2，E?F分別是BC和CD的中點，P是線段AC上一個動點，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的最小值是____________．10．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，當k為何值時，(1)ka＋b與a－3b垂直；(2)ka＋b與a－3b平行，平行時它們是同向還是反向．

11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π．(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證∶a⊥b；(2)設c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．12．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是AB上的一個動點，∠CPB＝α，∠DPA＝β．(1)當eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))最小時，求tan∠DPC的值；(2)當∠DPC＝β時，求eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的值．

第17課時平面向量的數量積1．02．eq(\f(4,5),－\f(3,5))3．eq(－\f(7,9),－\f(7,3))4．eq\f(2π,3)5．16．－eq\f(2,3)，eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2)7．eq\r(10)8．(－∞，－2)∪eq(－2,\f(1,2))9．－eq\f(5,4)10．解：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．(1)(ka＋b)⊥(a－3b)，得(ka＋b)·(a－3b)＝10(k－3)－4(2k＋2)＝2k－38＝0，k＝19．(2)(ka＋b)∥(a－3b)，得－4(k－3)＝10(2k＋2)，k＝－eq\f(1,3)，此時ka＋b＝eq(－\f(10,3),\f(4,3))＝－eq\f(1,3)(10，－4)，所以方向相反．11．(1)證明：a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，即a·b＝0，所以，a⊥b．(2)解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0①，,sinα＋sinβ＝1②.))①2＋②2得：cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．所以α－β＝eq\f(2,3)π，α＝eq\f(2,3)π＋β，帶入②得：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π＋β))＋sinβ＝eq\f(\r(3),2)cosβ＋eq\f(1,2)sinβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋β))＝1，所以eq\f(π,3)＋β＝eq\f(π,2)．所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6)．12．解：(1)以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．則A(0，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(0，1)．令P(x，0)，0≤x≤3，有eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－x，1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(3－x，2)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝x2－3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，當x＝eq\f(3,2)時，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))最小，此時Peq(\f(3,2),0)．在△CPB中，tanα＝eq\f(2,\f(3,2))＝eq\f(4,3)；在△DPA中，tanβ＝eq\f(1,\f(3,2))＝eq\f(2,3)．∴tan∠DPC＝－tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,tanαtanβ－1)＝eq\f(\f(4,3)＋\f(2,3),\f(4,3)·\f(2,3)－1)＝－18．(2)由(1)知，P(x，0)，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝x2－3x＋2，tanα＝eq\f(2,3－x)，tanβ＝eq\f(1,x)．∵∠DPC＝β，∴α＝π－2β，tanα＝－tan2β，∴eq\f(2,3－x)