第19練空間向量與空間角［考情分析］高考必考內容，常以空間幾何體為載體考查空間角，是高考命題的重點，常與空間線、面關系的證明相結合，熱點為平面與平面的夾角的求解，均以解答題的形式進行考查，難度主要體現在建立空間直角坐標系和準確計算上.題目難度為中檔題.一、異面直線所成的角例1(2018?江蘇)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA=2，點P，Q分別為A^^，BC的中點.求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；求直線CC］與平面AQC］所成角的正弦值.解如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設AC,A1C1的中點分別為O,01,則OB丄OC,OO］丄OC,OO］丄OB,以｛OB，°C，OO1｝為基底，建立空間直角坐標系O-xyz.因為ab=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(<3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B&K,0,2),C1(0,1,2)?⑴因為p為a1b1的中點，

1-1-1+_4L二3煩

岳X2\220.因此，異面直線BP與AC】所成角的余弦值為警.⑵因為Q為BC的中點，所以因此AQ二,3,oj,*二(0,2,2),CC1二因此AQ二設n=(x,y,z)為平面AQq的一個法向量，AQ?nAQ?n二0,ACfn二0,%+冷，、2y+2z二0.不妨取n二G./3,-1,1).設直線CC1與平面AQq所成的角為e,則sine二Icos〈CC,n〉I二|CC1°nl二二亞1ICC1IInI2X^5所以直線CC1與平面AQq所成角的正弦值為于.規律方法(1)設直線l,m的方向向量分別為a二(Q],b],cj,〃二(a2,b2,c2),設l,m的夾角為e,夾角為e,則cose二Ia1a2+b1b2+C1C2I(2)異面直線所成的角的范圍為(0,n跟蹤訓練1如圖，在正三棱柱BCD-B1C1D1與四棱錐A-BDD1B1組成的組合體中，底面求證：AD求證：AD]〃平面BCC1B1；設E是BD的中點，求直線B1E與直線AD1所成角的余弦值.⑴證明連接BC1,在正三棱柱BCD-B1C1D1中，CD//CR且CD二Cp,因為四邊形ABCD為菱形，則AB/CD且AB=CD,

所以AB〃Cp且AB二C1D1,所以四邊形abcidi為平行四邊形，所以adj/bci,又因為BC]U平面BCC1B1,AD”平面BCC1B1,所以AD]/平面BCC1B1.(2)解連接AC，由四邊形ABCD為菱形，可得ED丄EC,取b1D]的中點F,連接EF,因為BCD-b]C1D1為正三棱柱，則EF丄平面ABCD,以E為原點,EC,ED所在直線為x,y軸，以EF所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖.△BCD為正三角形，B](0，-1,2),E(0,0,0),A(-占,0,0),D](0,1,2),殆二(0,1,-2),=,1,2),設直線be與直線AD】所成角為e,則cose二則cose二iBE?ADJiB^eiiad1i11-415X3+1+4所以直線BE與直線AD】所成角的余弦值為二、直線與平面所成的角例2(2020?新高考全國I)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD丄底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為1.證明：l丄平面PDC；已知PD=AD=1,Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.(1)證明在正方形ABCD中，ADHBC,因為ADQ平面PBC,BCU平面PBC,所以AD〃平面PBC,又因為ADU平面PAD，平面PADn平面PBC二l,所以AD〃l,因為在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以ADIDC,所以l丄DC,且PD丄平面ABCD,所以AD丄PD,所以l丄PD,因為DCnPD二D,所以l丄平面PDC.⑵解如圖，以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系D-xyz,因為PD二AD二1,則D(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),B(1,1,0),設Q(m,0,1),則DC二(0,1,0),DQ二(m,0,1),PB二(1,1,-1),設平面QCD的法向量為n二(x,y,z),DCDC?n二0,則＜_〔DQ.n二0,令x=1,則z--m,

所以平面QCD的一個法向量為n二(1,0，-m),fn^P^B1+0+m則cos〈n,PB〉二二.InllPBIV3?寸m2+1根據直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，I1+ml+1I1+ml+1Icos〈n,PB〉1--:—3?\；m21+2m+m2TOC\o"1-5"\h\zm2+13*嚴眉3\：市二普m2+1八3當且僅當m二1時取等號，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為.規律方法(1)設直線l的方向向量為a二q,b],c1)，平面a的法向量為“二(a2,b2,c2),設直線l與平面a的夾角為0,則sin0二幣二Icos〈a,“〉I.Iall“l(2)線面角的范圍為|_0,n.跟蹤訓練2(2021?青島模擬)在四棱錐P-ABCD中，P4丄平面ABCD,AD〃BC,BC丄CD,PA=AD=2,CD=1,BC=3，點M,N在線段BC上,BM=2MN=1,AN0MD=E,Q為線段PB上的一點.R求證：MD丄平面PAN；4若平面MQA與平面PAN的夾角的余弦值為5,求直線MQ與平面ABCD所成角的正弦值.(1)證明TBC二3,BM=1,

.?.CM二2,AD=CM,又'：ADIICM,???四邊形AMCD為平行四邊形.?:BC丄CD,???四邊形AMCD為矩形.:MN二AM二1：AM_AD_2，:?△AMNs'DAM,?ZAED_ZMAN+ZAME_ZADM+ZAME_90°,.MD丄AN,又：PA丄平面ABCD,MDU平面ABCD,?：FA丄MD,又ANHP4_A,AN,PAU平面PAN,.MD丄平面PAN.⑵解如圖，建立空間直角坐標系，則M(1,0,0)則M(1,0,0),A(0,0,0),P(0,0,2),設Q(x,y,z),則BQ_BP,即(x-1,y+1,z)_A(-1,1,2),x_1-久，得y二久-1,z_2A,

Q(1-久，久-1,2久),MQ二(-久，久-1,22),AM-(1,0,0),AP二(0,0,2),AN=(1,土，0)，設平面MQA與平面PAN的一個法向量分別為n1-(x1,y1,z1),n2-(x2,y2,z2),〃]?MQ二0，?n「AM-0，1即\-2x1+(2-1)y1+22z1-0，、X]-0,可取n1-(0,22,1-2),n2AP二n2AP二0，2z2=0,n2?an二0,0-21-2+可取n2=（l,-2,0）,設平面MQA與平面PAN的夾角為0,...cos0二此時MQ二（...cos0二此時MQ二（-】,冷4久2+（】-久）2八./552,1）,平面ABCD的一個法向量為n3二?0,1）,設直線MQ與平面ABCD所成的角為a,..I叫mqI一五??sina-I3二I-3?Iln3llMQlI3???直線MQ與平面ABCD所成角的正弦值為申.三、平面與平面的夾角例3（2021全國乙卷改編）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD丄底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點，且PB丄AM.

⑴求BC;(2)求平面APM與平面PMB的夾角的正弦值.解(1)因為PD丄平面ABCD，所以PD丄AD,PD丄DC.在矩形ABCD中，AD丄DC,故以點D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，設BC=t,則A(t,0,0),B(t,1,0),硝，1,0),P(0,0,1),所以PB二(t,1,-1),AM二(-2，1，0)因為PB丄AM,所以PB.AM二-￡+1二0，得t二富，所以BC二詁2(2)易知C(0,1,0)，由(1)可得AP二(-護,0,1),AM二￥,1,0),CB=CJ2,0,0),PB二G./2,1,-1).設平面APM的法向量為n=(x1,y1,z1)，則n「AP二n「AP二°,、吋AM=0,-何+Z］二0,叫-返一2x1+y1=0,令x］二V2,則z1=2,y1=1,所以平面APM的一個法向量為二(V2,1,2).設平面PMB的法向量為n2二(x2,y2,z2)，則n?cb=n?cb=0,、n2?PB二0,nn2-3_3冷14cos〈"1，"2〉_花_?7^2_14所以平面APM所以平面APM與平面PMB的夾角的正弦值為<7014-規律方法(1)設平面a,B的法向量分別為“-(a3,b3,c3),v-(a4,b4,c4)，設平面a與平面B的夾角為面B的夾角為e,n2_跟蹤訓練3(2021.漳州模擬)如圖，四邊形BEDC為正方形，AE丄BE,AE=BE,\ADE為n銳角三角形，M,N分別是邊DE,BE的中點，直線DE與平面ABE所成的角為3求證：DN丄平面ACM；求平面MAC與平面ACB的夾角的余弦值.(1)證明?:BE丄AE,BE丄DE,AEHDE-E,AE,DEU平面ADE,???BE丄平面ADE.：BEu平面ABE,???平面ABE丄平面ADE,:△ADE為銳角三角形，???點D在平面ABE上的射影在線段AE上，???ZAED為直線DE與平面ABE所成的角，即zaed-3又：AE-DE,.?.△ADE為等邊三角形.:點M為DE的中點，:.AM丄DE.又BE丄AM,BECDE二E,BE,DEU平面BCDE,.AM丄平面BCDE.?.?DNU平面BCDE,.AM丄DN.n?:CD二DE,DM二EN,/CDE二上DEN=j，:.△CDM^KDEN,:.ZEND二ZDMC,n:.ZDMC+ZEDN二2，.DN丄CM.VCMHAM^M,CM,AMU平面ACM,.DN丄平面ACM.⑵解取AE的中點O,AB的中點P，連接DO,PO.^△ADE為等邊三角形，.DO丄AE.由⑴知，BE丄平面ADE,又OFHBE,.OP丄平面ADE,.OP,OA,OD兩兩垂直，故以點O為坐標原點，以OP,OA,OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.設OA二1,則A（0丄0）,D（0,0小⑶，E（0，－1,0），B（2，－1,0），N（1，－1,0），??