高等數學第一章總結第一頁，共73頁。

性質（閉區間上連續函數）

函數

極限（數列極限、函數極限）

連續（或間斷）內容第二頁，共73頁。一、函數：:函數的分類函數初等函數非初等函數(分段函數,有無窮多項等函數)代數函數超越函數有理函數無理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)第三頁，共73頁。鄰域:第四頁，共73頁。絕對值:運算性質:絕對值不等式:第五頁，共73頁。函數的特性：M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性:第六頁，共73頁。數列的有界性：補充內容：1.單調遞增且有上界數列必有極限。2.單調遞減且有下界數列必有極限。第七頁，共73頁。2．函數的單調性:xyo第八頁，共73頁。xyo第九頁，共73頁。3．函數的奇偶性:偶函數yxox-x第十頁，共73頁。奇函數yxox-x第十一頁，共73頁。函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.．第十二頁，共73頁。

典型例題例解第十三頁，共73頁。例解故第十四頁，共73頁。思考題第十五頁，共73頁。思考題解答設則故第十六頁，共73頁。二、極限函數極限的統一定義(見下表)第十七頁，共73頁。過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后第十八頁，共73頁。思考題第十九頁，共73頁。思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.補充結論：第二十頁，共73頁。小結:第二十一頁，共73頁。解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例第二十二頁，共73頁。解例(消去零因子法)第二十三頁，共73頁。例解(無窮小因子分出法)第二十四頁，共73頁。結論:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第二十五頁，共73頁。例解先變形再求極限.第二十六頁，共73頁。例.證明證:利用夾逼準則.且由第二十七頁，共73頁。例：第二十八頁，共73頁。1.求極限解：原式2.

求極限提示：原式左邊=右邊第二十九頁，共73頁。故極限存在，例：

設

,且求解：設則由遞推公式有∴數列單調遞減有下界，故利用極限存在準則第三十頁，共73頁。思考與練習1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數列;方法2.

找兩個收斂于不同極限的子數列.2.已知,求時,下述作法是否正確?說明理由.設由遞推式兩邊取極限得不對!此處第三十一頁，共73頁。例解第三十二頁，共73頁。意義：第三十三頁，共73頁。定理:意義1.極限符號可以與函數符號互換;第三十四頁，共73頁。定理:注意:該定理是上個定理的特殊情況.第三十五頁，共73頁。無窮小（量）：無窮小的性質;無窮小的比較;常用等價無窮小:

兩個重要極限：

～～～～～～～～～2.1.第三十六頁，共73頁。兩個重要極限或注:

代表相同的表達式第三十七頁，共73頁。思考與練習填空題

(1～4)第三十八頁，共73頁。例.求下列極限：提示:無窮小有界第三十九頁，共73頁。令第四十頁，共73頁?！珓t有復習:

若第四十一頁，共73頁。則-2填空題：1.2.0第四十二頁，共73頁。極限的計算方法：

1、極限的四則運算法則及其推論；

2、多項式與分式函數代入法求極限;3、消去零因子法求極限;4、無窮小因子分出法(等價無窮小代換)求極限;5、利用無窮小運算性質求極限;6、利用左右極限求分段函數極限;7、復合函數極限運算法則;(尤其利用復合函數連續性)8、利用兩邊夾逼準則求極限;9、利用羅比達法則求極限;10、利用泰勒公式求極限;11、利用定積分求極限;12、利用無窮級數的性質求極限;…………第四十三頁，共73頁。思考題:在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？與是否有極限？

第四十四頁，共73頁。思考題解答:沒有極限．假設有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設錯誤．第四十五頁，共73頁。思考題:任何兩個無窮小都可以比較嗎？第四十六頁，共73頁。思考題解答:不能．例當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當時第四十七頁，共73頁。例解第四十八頁，共73頁。例：第四十九頁，共73頁。例：第五十頁，共73頁。思考題：（如何做……？？）第五十一頁，共73頁。說明:

對于形如:的函數，通常稱為冪指函數．如果那么有第五十二頁，共73頁。思考題:第五十三頁，共73頁。例.解:原式例.求第五十四頁，共73頁。例解解法討論典型例題第五十五頁，共73頁。第五十六頁，共73頁。例：第五十七頁，共73頁。例：第五十八頁，共73頁。三、連續與間斷1.函數連續的等價形式有2.函數間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點第五十九頁，共73頁。小結：1.函數在一點連續必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區間上的連續函數;第一類間斷點:（左右極限都存在的間斷點）.第二類間斷點:（左右極限至少有一個不存在的間斷點）.間斷點(見下圖)第六十頁，共73頁?？扇バ偷谝活愰g斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第六十一頁，共73頁。閉區間連續函數的性質小結：在上有最大值與最小值;上可取最大值與最小值之間的任何值;3.若使至少存在一個上有界;在在第六十二頁，共73頁。思考題第六十三頁，共73頁。思考題解答且第六十四頁，共73頁。但反之不成立.例但第六十五頁，共73頁。例解第六十六頁，共73頁。第六十七頁，共73頁。例證明討論:第六十八頁，共73頁。由零點定理知,綜上