統計培訓教材概率與概率分布第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日一、概率基礎---隨機實驗，樣本空間，隨機事件---概率：古典概率，幾何概率，公理化定義---條件概率---隨機變量---常用隨機變量的分布：二項、泊松、均勻、指數、正態---數學期望、方差第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日在一定條件下，并不總是出現相同結果的現象稱為隨機現象。對隨機現象進行觀察和試驗稱為隨機試驗。在隨機試驗中可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件(A、B)。在隨機試驗中所有可能出現的結果組成的集合稱為樣本空間(S)。集合表示：例：拋一枚均勻骰子。事件A表示“大”即“4、5、6點”，如果結果出現5點，則事件A發生了。1、隨機實驗，樣本空間，隨機事件第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日2、事件的關系與運算事件的關系表示含義加（并）表示事件A與B至少有一個發生A∪B或A+B減（差）表示事件A發生而事件B不發生A-B乘（交）表示事件A與B兩個都發生A∩B或AB對立（逆）表示A的對立事件，即“A不發生”（AA=φ，A+A=S）包含與相等表示事件A發生必要導致事件B發生B?A或A?BA=B互不相容(互斥)表示事件A與事件B不能同時發生（即AB=φ）SABABSSSAAA-BBABB=ASSSABBA-B第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日例拋一骰子。A表示“偶數點”，B表示“4，5，6”，則事件A與B至少有一個發生為事件A與B都發生事件A發生而B不發生事件A與B都不發生第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日事件的運算法則

交換律:A∪B=B∪AAB=BA結合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)=(AB)C分配律:A(B∪C)=AB∪ACA∪(BC)=(A∪B)(A∪C)對偶律:集合的運算法則都適用,常用的有第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日3、概率的定義物理學家吳大猷：誤用概率的笑話一個病人去看病，醫生檢查后告訴病人說他要動手術。病人問這種手術死亡率高不高，醫生說這種手術100個人有50個要死的。稍后醫生又安慰病人說，到今天已經有50人死去了，所以你不用害怕。第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日估計概率方法一）概率的古典定義

1、定義：古典方法是在經驗事實的基礎上對被考察事件發生可能性進行符合邏輯的分析后得出該事件的概率.如果試驗E滿足

(1)它的結果只有有限種.(2)且每種結果發生的可能性相同.

(3)假如被考察事件A含有k個結果,總體事件含有n個結果。則事件A發生的概率為：

P(A)=k/n第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日2、古典概率模型中事件的概率求法∵試驗A的結果只有有限種,即樣本點是有限個:

1,2,…,n,∴Ω={1}∪{2}∪…∪{n}{i},i=1,2,…n是基本事件，而他們發生的概率都相等，這樣

1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…n∴P({i})=1/ni=1,2,…因此若事件A包含k個基本事件，于是

P(A)=k(1/n)=k/n第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日3、古典概率模型的例子例1

擲一顆均勻骰子.設:A表示所擲結果為“四點或五點”.B表示所擲結果為“偶數點”.求:P(A)和P(B)解:n=6，kA=2∴P(A)=2/6=1/3kB=3∴P(B)=3/6=1/2第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日例2貨架上有外觀相同的商品15件,其中12件來自產地甲,3件來自地乙.現從15件商品中隨機地抽取兩件,求這兩件商品來自一同產地的概率.解:

從15件商品中取出2商品,共有=105種取法,且每種取法都是等可能的.∴n=105令A={兩件商品都來自產地甲}kA==66令B={兩件商品都來自產地乙}kB==3而事件{兩件商品來自同一產地}=A∪B,且A與B互斥。∴它包含基本事件數=66+3=69∴所求概率=69/105=23/35第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日例3：

有外觀相同的三極管6只,按其電流放大系數分類,4只屬甲類,2只屬乙類.按下列兩種方案抽取三極管兩只,（1）每次抽取一個只,測試后放回,然后再抽取下一只(放回抽樣).（2）每次抽取一只,測試后不放回,然后在剩下的三極管中再抽取下一只(不放回抽樣)

設A={抽到兩只甲類三極管},B={抽到兩只同類三極管},C={至少抽到一只甲類三極管},D={抽到兩只不同類三極管}.求：P(A),P(B),P(C),P(D)第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日解:

（1）由于每次抽測后放回,因此,每次都是在6只三極管中抽取.

第一次從6只中取一只,共有6種可能的取法.

第二次還是從6只中取一只,還是有6種可能的取法.∴取兩只三極管共有66=36種可能的取法.注意:這種分析方法使用的是中學學過的乘法原理第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日即n=36且每個基本事件發生的可能性相同.∵第一次取一只甲類三極管共有4種可能的取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能的取法.∴取兩只甲類三極管共有44=16種可能的取法,即：kA=16∴P(A)=16/36=4/9

令E={抽到兩只乙類三極管},kE=22=4∴P(E)=4/36=1/9而C是E的對立事件，∴P(C)=1-P(E)=8/9；∵B=A∪E,且A與E互斥，∴P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的對立事件,∴P(D)=1-P(B)=4/9第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日（2）由于第一次抽測后不放回,因此,第一次從6只中取一只,共有6種可能的取法,第二次是從剩余的5只中取一只,有5種可能的取法.由乘法原理∴取兩只三極管共有n=65=30種可能的取法.再由乘法原理:

∴kA=43=12∴P(A)=12/30=2/5kE=21=2∴P(E)=2/30=1/15∵C是E的對立事件,∴P(C)=1-P(E)=14/15∵B=A∪E,且A與E互斥∴P(B)=P(A)+P(E)=7/15∵D是B的對立事件,∴P(D)=1-P(B)=8/15第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日例4：設N件產品中有K件是次品,N-K件是正品,K<N.現從N件中每次任意抽取1件產品,在檢查過它是正品或是次品后再放回,這樣共抽取了n次.

求:事件A={所取的n件產品中恰有k件次品}的概率,k=0,1,2,…,n.解：假定N件產品是有編號的，從中任意取出一件，每次都有N種取法.由乘法原理，n次共有Nn種取法,所以基本事件總數為Nn。當所取的n件產品中恰有k件次品時,由于取到這k件次品的次序的不同，因此從次序考慮共有Cnk種情況

。第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日

這Cnk種情況確定以后,現在考慮次序，首先從K件次品中取出k件,共有Kk種取法.從N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k種取法.由乘法原理,共有CnkKk(N-K)n-k種取法,∴A中基本事件個數為CnkKk(N-K)n-k.第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日在不放回抽樣中，從N件產品種選取n件產品的抽取方法共有CNn(這里不考慮產品的選取次序）;從K件次品中選取k件次品的選擇方法有CKk;從N-K件正品中選取n－k件正品的選擇方法有CN-Kn-k;抽取n件產品共有k件次品的選擇方法有

CKkCN-Kn-k；所以抽取n件產品共有k件次品的概率P(A)為：

P(A)=CKkCN-Kn-k/CNn

這種分布稱為超幾何分布，上式為超幾何分布概率公式。第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日二）概率的統計定義（頻率估計法）

1、頻率：設A是一個事件.在相同的條件下,進行n次試驗,在這n次試驗中,事件A發生了m次.則稱m為事件A在n次試驗中發生的次數,稱m與n的比值m/n為事件A在n次試驗中發生的頻率,記為fn(A).2、頻率的穩定性：在充分多次試驗中，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數越多，一般來說擺動越小.這個性質叫做頻率的穩定性.

例如拋硬幣、擲骰子等,第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日

考慮在相同條件下進行的S輪試驗.

第二輪試驗試驗次數n2

事件A出現m2次

第S輪試驗試驗次數ns

事件A出現ms次

試驗次數n1事件A出現m1次

第一輪試事件A在各輪試驗中頻率形成一個數列

我們來說明頻率穩定性的含義.第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日

頻率的穩定性指的是：當各輪試驗次數n1,n2,…,ns

充分大時，在各輪試驗中事件A出現的頻率之間、或者它們與某個平均值相差甚微.即，第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日這種穩定性為用統計方法求概率的數值開拓了道路.在實際中，當概率不易求出時，人們常取實驗次數很大時事件的頻率作為概率的估計值，稱此概率為統計概率這種確定概率的方法稱為頻率方法.例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄.若他射擊n發，中靶m發，當n很大時，可用頻率m/n作為他中靶概率的估計.第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日3、頻率與概率的區別與聯系頻率在一定程度上反映了事件發生的可能性大小.盡管每進行一連串（n次）試驗，所得到的頻率可以各不相同，但只要n相當大，頻率就會非常接近一個值----概率.頻率是樣本的表現，而概率是總體所具有的特征。因此，概率是可以通過頻率來“測量”的,頻率是概率的一個近似.第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日設E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于Ω中的每一個事件A，賦予一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數P(A)滿足下述三條公理:

公理2

P(Ω)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

兩兩互不相容，則有(3)這里事件個數可以是有限或無限的（必須是可列的）

.公理1

0≤P(A)≤1（1）一）概率的公理定義概率的的性質與運算法則第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日二）概率的性質1.

P(?)=0即不可能事件的概率為零.

2.[概率的加法定理]若事件A1,A2…,An兩兩互斥,則有:P(A1∪A2…∪An)=P(A1)+…+P(An)即互斥事件之和的概率等于它們各自的概率之和.(有限可加性)[概率的加法定理]3.對兩個事件A和B,若AB,則有:P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).4.對任一事件A,均有

概率的的性質與運算法則第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日

又因再由性質

3便得

(8).

性質5對任意兩個事件A、B，有

(8)第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日條件概率設某電子元件能使用20年以上的概率為0.8，能用25年以上的概率為0.4，如果某件元件已經使用了20年，問它能用25年以上的概率？這是條件概率[概率的乘法定理]:故P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)此外還有全概率公式、貝葉斯公式第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日獨立概率設有2個事件A和B，假如其中一個事件的發生不影響另一個事件發生的概率，則稱事件A與B相互獨立。假如A與B相互獨立，則A與B同時發生的概率假如A與B相互獨立，則在事件B發生的前提下，事件A發生的概率第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.5隨機變量及其分布離散：(Discrete)二項分布B(n,p)(Binomial)超幾何分布(Hyper-geometric)泊松分布（Poisson)連續：(Continuous)均勻分布(Uniform)正態分布(Normal)指數分布(ExponentialDistribution)第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日二項分布B(n,p)貝努利試驗：---進行n次試驗 (1) 各次試驗結果相互獨立 (2) 各次試驗只有兩個結果：“成功”和“失敗” (3) 在每次試驗中“成功”的概率都是p。

第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日在n次貝努利試驗中，隨機變量X表示“成功”的次數，則“成功”

k次的概率為

數學期望==np方差=2=np(1-p)第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日例買六合彩100次，中3次射擊50次，命中30次生了3個小孩，有一個是男孩抽查10個產品，有一個次品今天碰到6個人，有2人在星期六出生第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日例已知100個人中有16人近視。現班中有10個人，問其中有k個人近視的概率？最簡單的方法是用Minitab來計算：Calc>ProbabilityDistributions>Binomialfunction(n=10,p=0.16)第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日近視人數概率 1 0.333145 2 0.285553 3 0.145043 4 0.048348 5 0.011051 6 0.001754 7 0.000191 8 0.000014 9 0.000001 10 0.000000第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日超幾何分布（Hypergeometric）N個元素分成兩類，有N1

個屬于第一類，有N2個屬于第二類。從中不重復抽取n個，令X表示這n個元素中屬于第一類的個數，則X的分布稱為超幾何分布。第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日泊松分布（Poisson）泊松是十九世紀法國著名數學家，是“一個熟諳在行事處世方面不失高貴風度的人”。泊松分布最初只是作為二項分布的近似來使用，后來逐漸成為一種重要的概率模型，被譽為隨機現象的“基本粒子”。觀察如下現象：--單位時間內走進候車室的人數--單位時間內打進的電話數--某段時間內機場降落的飛機數--單位時間內細胞分裂的個數--某段時間內發生車禍的次數--每個產品發現的疵瑕數第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日

(x=0,1,2...,&>0)

數學期望和方差都是。泊松分布（Poisson）第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日泊松分布（Poisson）泊松分布表：一般教科書都列出泊松分布的概率：當n很大時，二項分布的概率將很難計算。泊松定理：當n很大，p很小時，二項分布可用泊松分布來近似，即其中第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日例1：

歷史資料顯示，某市每月有5人自殺。問下個月自殺人數小于3人的概率？

因均值=5 P(小于3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

=第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日

例2：某出租汽車公司共有出租車400輛,設每天每輛出租車出現故障的

概率為0.02,求:一天內沒有出租車出現故障的概率.解：將觀察一輛車一天內是否出現故障看成一次試驗E.因為每輛車是否出現故障與其它車無關,于是觀察400輛出租車是否出現故障就是做400次伯努利試驗,設X表示一天內出現故障的出租車數,則:X～B(400,0.02).

令=np=400×0.02=8于是:P{一天內沒有出租車出現故障}=P{X=0}=b(0;400,0.02)≈(80/0!)e-8=0.0003355第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日分布近似分布條件超幾何分布二項式分布10n≤總體數量二項式分布泊松分布n≥20且p≤0.05；或n≥100，只要np≤10二項式分布N=樣本大小p是比例正態分布（即失效部件的比率）Np和n（1-p）小于5分布的近似第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日連續型隨機變量均勻分布(UniformDistribution)正態分布(NormalDistribution)指數分布(ExponentialDistribution）第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日連續型隨機變量：密度函數第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日均勻分布（UniformDistribution）均勻分布的概率密度函數是

abxf(x)1/(b-a)00，其他例題：設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在900-1100歐姆之間。求R的概率密度及落在950-1050歐姆之間的概率。第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日正態分布（NormalDistribution）第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日

總體均值總體方差如果=0,2=1，則稱為標準正態分布，常記為Z。設X服從參數為,2的正態分布，則它可通過如下變換化為標準正態分布

概率密度分布函數數學期望方差正態的標準化第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日特性第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日(1) 利用標準正態分布表求如下概率： (a) P(Z>1.25)=1-0.8944=0.1056 (b) P(Z<-0.85)=1–0.8023=0.1977 (c) P(Z>1.25)或P(Z<-0.85)=0.1056+0.1977=0.3033 (d) P(-0.85<Z<1.25)=1-0.1056–0.1977=0.6967(2)利用Z