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一.什么是數學

數學[英語：mathematics，源自古希臘語μθημα(máthēma);常常被縮寫為math或maths]，是討論數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。

數學是人類對事物的抽象結構與模式舉行嚴格描述的一種通用手段，能夠應用于現實世界的任何問題，全部的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上，數學屬于形式科學，而不是自然科學。不同的數學家和哲學家對數學確實切范圍和定義有一系列的意見。

在人類歷史進展和社會生活中，數學發揮著不行替代的作用，同時也是學習和討論現代科學技術必不行少的基本工具。

二.數學分支

1.數學史

2.數理規律與數學基礎

a：演繹規律學(也稱符號規律學)，b：證實論(也稱元數學)，c：遞歸論，d：模型論，e：公理集合論，f：數學基礎，g：數理規律與數學基礎其他學科。

3.數論

a：初等數論，b：解析數論，c：代數數論，d：超越數論，e：丟番圖靠近，f：數的幾何，g：概率數論，h：計算數論，i：數論其他學科。

4.代數學

a：線性代數，b：群論，c：域論，d：李群，e：李代數，f：Kac-Moody代數，g：環論(包括交換環與交換代數，結合環與結合代數，非結合環與非結合代數等)，h：模論，i：格論，j：泛代數理論，k：范疇論，l：同調代數，m：代數K理論，n：微分代數，o：代數編碼理論，p：代數學其他學科。

5.代數幾何學

6.幾何學

a：幾何學基礎，b：歐氏幾何學，c：非歐幾何學(包括黎曼幾何學等)，d：球面幾何學，e：向量和張量分析，f：仿射幾何學，g：射影幾何學，h：微分幾何學，i：分數維幾何，j：計算幾何學，k：幾何學其他學科。

7.拓撲學

a：點集拓撲學，b：代數拓撲學，c：同倫論，d：低維拓撲學，e：同調論，f：維數論，g：格上拓撲學，h：纖維叢論，i：幾何拓撲學，j：奇點理論，k：微分拓撲學，l：拓撲學其他學科。

8.數學分析

a：微分學，b：積分學，c：級數論，d：數學分析其他學科。

9.非標準分析

10.函數論

a：實變函數論，b：單復變函數論，c：多復變函數論，d：函數靠近論，e：調和分析，f：復流形，g：特別函數論，h：函數論其他學科。

11.常微分方程

a：定性理論，b：穩定性理論。c：解析理論，d：常微分方程其他學科。

12.偏微分方程

a：橢圓型偏微分方程，b：雙曲型偏微分方程，c：拋物型偏微分方程，d：非線性偏微分方程，e：偏微分方程其他學科。

13.動力系統

a：微分動力系統，b：拓撲動力系統，c：復動力系統，d：動力系統其他學科。

14.積分方程

15.泛函分析

a：線性算子理論，b：變分法，c：拓撲線性空間，d：希爾伯特空間，e：函數空間，f：巴拿赫空間，g：算子代數h：測度與積分，i：廣義函數論，j：非線性泛函分析，k：泛函分析其他學科。

16.計算數學

a：插值法與靠近論，b：常微分方程數值解，c：偏微分方程數值解，d：積分方程數值解，e：數值代數，f：延續問題離散化（辦法），g：隨機數值試驗，h：誤差分析，i：計算數學其他學科。

17.概率論

a：幾何概率，b：概率分布，c：極限理論，d：隨機過程(包括正態過程與平穩過程、點過程等)，e：馬爾可夫過程，f：隨機分析，g：鞅論，h：應用概率論(詳細應用入有關學科)，i：概率論其他學科。

18.數理統計學

a：抽樣理論(包括抽樣分布、抽樣調查等)，b：假設檢驗，c：非參數統計，d：方差分析，e：相關回歸分析，f：統計判斷，g：貝葉斯統計(包括參數估量等)，h：實驗設計，i：多元分析，j：統計判決理論，k：時光序列分析，l：數理統計學其他學科。

19.應用統計數學

a：統計質量控制，b：牢靠性數學，c：（保險）數學，d：統計模擬。

20.應用統計數學其他學科

21.運籌學

a：線性規劃，b：非線性規劃，c：動態規劃，d：組合最優化，e：參數規劃，f：整數規劃，g：隨機規劃，h：排隊論，i：對策論(也稱博弈論)，j：庫存論，k：決策論，l：搜尋論，m：圖論，n：統籌論，o：最優化，p：運籌學其他學科。

22.組合數學

23.含糊數學

24.量子數學

25.應用數學(詳細應用入有關學科)

26.數學其他學科

三.結構

許多諸如數、函數、幾何等的數學對象反應出了定義在其中延續運算或關系的內部結構。數學就討論這些結構的性質，例如：數論討論整數在算數運算下如何表示。此外，不同結構卻有著相像的性質的事情時常發生，這使得利用進一步的抽象，然后利用對一類結構用公理描述他們的狀態變得可能，需要討論的就是在全部的結構里找出滿足這些公理的結構。因此，我們能夠學習群、環、域和其他的抽象系統。把這些討論(利用由代數運算定義的結構)能夠組成抽象代數的領域。因為抽象代數具有極大的通用性，它時常能夠被應用于一些似乎不相關的問題，例如一些古老的尺規作圖的問題最終使用了伽羅瓦理論解決了，它涉及到域論和群論。代數理論的其它一個例子是線性代數，它對其元素具有數量和方向性的向量空間做出了普通性的討論。這些現象表明白本來被認為不相關的幾何和代數實際上具有強力的相關性。組合數學討論列舉滿足給定結構的數對象的辦法。

四.空間

空間的討論源自于歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有十分聞名的勾股定理、三角函數等。現今對空間的討論更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數