第57課平面向量的平行與垂直1.理解平面向量的平行和垂直觀點，并掌握平行與垂直的判斷方法.2.能利用平面向量的平行和垂直解決有關問題.1.閱讀：必修4第70～88頁.2.解悟：①平行向量與共線向量；②平面直角坐標系下的向量平行與垂直；③第80頁例5，如果是填空題，你有更簡捷的做法嗎？④重解第87頁例4，領會方法和規范.踐習：在教材空白處，達成第97～98頁復習第9、12、13、18、21題.基礎診療1.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，則實數m的值為2.分析：由題意得2a＋b＝(2＋m，8).由于a∥(2a＋b)，因此1×8－2×(2＋m)＝0，解得m＝2，故實數m的值為2.2.已知向量a＝(1，2)，b＝(0，－1)，c＝(，－2)，若(a－2b)⊥c，則實數的值為8.分析：由題意得a－2b＝(1，4).由于(a－2b)⊥c，因此(a－2b)·c＝0，即(1，4)·(，－2)＝0，即－8＝0，解得＝8，故實數的值為8.→→→3.已知向量OA＝(，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－，10)，且A，B，C三點共線，O為坐標2原點，則實數的值為－.3→→分析：由題意得AB＝(4－，－7)，BC＝(－－4，5).由于A，B，C三點共線，因此5(4－)＝(－227)×(－－4)，解得＝－3.故實數的值為－3.已知向量a＝(2，3)，b＝(2，－1)，向量a，t(a－b)，2b的起點同樣，終點在一條直線上，則實數t的值為2Ｗ.分析：由題意得a，t(a－b)，2b共線，因此t(a－b)＝(1－λ)a＋2λb，整理得(t－1＋λ)a－(t＋2)·b＝0.由于a與b是非零向量，因此t－1＋λ＝0，λ＝－1，t的值為2.解得因此實數λt＋2λ＝0，t＝2，典范導航考向?與三角函數的聯合例1已知向量a＝sinα＋π，3，b＝(1，4cosα)，α∈(0，π).61若a⊥b，求tanα的值；若a∥b，求α的值.分析：(1)由于a⊥b，π因此sinα＋6＋12cosα＝0，1即sinα＋cosα＋12cosα＝0，2225即2sinα＋2cosα＝0.253又cosα≠0，因此tanα＝－.3π(2)若a∥b，則4cosαsinα＋6＝3，31π即4cosα2sinα＋2cosα＝3，因此3sin2α＋cos2α＝2，因此sin2α＋6＝1.由于α∈(0，π)，ππ13π因此2α＋∈，6，66πππα6＝α因此2＋2，即＝6.13已知向量a＝－2，2，b＝(2cosθ，2sinθ)，0<θ<π.若a∥b，求角θ的大??；若|a＋b|＝|b|，求sinθ的值.13分析：(1)由于a∥b，因此－2·2sinθ＝2·2cosθ，即－sinθ＝3cosθ，因此tanθ＝－3.2π又0<θ<π，因此θ＝.3(2)由于|a＋b|＝|b|，因此(a＋b)2＝b2，化簡得a2＋2a·b＝0.3又a＝－2，2，b＝(2cosθ，2sinθ)，2則a2＝1，a·b＝－cosθ＋3sinθ，1因此3sinθ－cosθ＝－2，1因此sinθ－＝－<0.64π15又0<θ<π，cosθ－6＝4，ππ＝sinθ－ππππ15－3因此sinθ＝sinθ－＋6·cos＋cosθ－sin＝8.66666考向?與解三角形相聯合例2已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量p＝(，)，q＝(sin，sin)，abBAn＝(b－2，a－2).若p∥q，求證：△ABC為等腰三角形；π若p⊥n，邊長c＝2，∠C＝，求△ABC的面積.3分析：(1)由于p∥q，因此asinA＝bsinB，ab因此a·2R＝b·2R(此中R是△ABC外接圓的半徑)，因此a＝b，因此△ABC為等腰三角形.由于p⊥n，因此a(b－2)＋b(a－2)＝0.因此ab＝a＋b.π由于c＝2，∠C＝，3π因此4＝a2＋b2－2abcos3，即4＝(a＋b)2－3ab，因此ab＝4或ab＝－1(舍去)，113因此S△ABC＝2absinC＝2×4×2＝3.△ABC的三個內角，，C所對邊的長分別為，，，設向量p＝(＋，)，q＝(，cABabcacbb－a).若p∥q，則角C的大小為π2.分析：由于p∥q，因此(a＋c)(c－a)－b2＝0，即c2＝a2＋b2，因此△ABC是直角三角形，C＝3π2.考向?在多邊形中的應用例3在平面直角坐標系中，已知三點A(4，0)，B(t，2)，C(6，t)，t∈R，O為坐標原點.(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，求→|OD|的最小值.→→→分析：(1)由條件得AB＝(t－4，2)，AC＝(2，t)，BC＝(6－t，t－2).若∠A＝90°，則→·→＝0，ABAC即2(t－4)＋2t＝0，解得t＝2；→若∠B＝90°，則AB·BC＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，解得t＝6±22；→→若∠C＝90°，則AC·BC＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，無解.故知足條件的t的值為2或6±22.若四邊形ABCD是平行四邊形，→→則AD＝BC.設點D的坐標為(，y).即(－4，y)＝(6－t，t－2)，x－4＝6－t，因此＝－2.yt即點D(10－t，t－2).→22＝2（t－6）2＋32，|OD|＝（10－t）＋（t－2）因此當t＝6時，→|OD|的最小值為42.自測反應1.已知向量a，b知足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，則|b|1.的最小值為2分析：由題意知，b≠0.設a與b的夾角為θ.由于(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－b2＝0.由于|a|1－2b2，因此－1≤1－2b21＝1，因此1－|b|·cosθ－2b2＝0，即cosθ＝≤1，解得≤|b|≤1，所|b||b|241以|b|的最小值為2.2.已知平面內A，B，C三點在同一條直線上，→→→OA＝(－2，m)，OB＝(n，1)，OC＝(5，－→→91)，且OA⊥OB，則實數mn的值為2或18.分析：由于A，B，C三點在同一條直線上，因此→→→→→＝(7，－1－AC∥BC.由于AC＝OC－OA→→→7×(－2)＝(－1－m)(5－n)，化簡得mn－5m＋n＋9＝0.m)，BC＝OC－OB＝(5－n，－2)，因此→→mn－5m＋n＋9＝0，又由于OA⊥OB，因此(－2，m)·(n，1)＝0，即－2n＋m＝0，聯立方程組，得m－2n＝0，m＝6，m＝3，9解得n＝3或3因此mn＝18或2.n＝2，x3.已知向量a＝8，4.2，b＝(，1)，此中>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則實數的值為x分析：由題意得a－2b＝8－2x，2－2，2a＋b＝(16＋，＋1).由于(a－2b)∥(2a＋b)，因此(8x2)(＋1)＝2－2·(16＋)，解得＝±4.由于>0，因此＝4.114.已知向量a＝x－1，1，b＝1，y，此中>0，y>0.若a⊥b，則＋4y的最小值為9.111111分析：由于a⊥b，因此x－1，1·1，y＝0，即x＋y＝1，因此＋4y＝(＋4y)·x＋y＝1x4yx4yx4yx4y3＋y＋x＋4.由于>0，y>0，因此5＋