2022年江蘇省蘇州市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設f(x)為連續函數，則等于()A.A.

B.

C.

D.

2.

3.二元函數z=x3-y3+3x2+3y2-9x的極小值點為（）

A.(1，0)B.(1，2)C.(-3，0)D.(-3，2)

4.設z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

5.A.

B.

C.

D.

6.

7.

8.

9.設f'(x)=1+x，則f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

10.

11.在下列函數中，在指定區間為有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞，0)

B.f(x)=lnxz∈(0，1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0，+∞)

12.

13.

14.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

15.微分方程y"+y'=0的通解為

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

16.下列命題中正確的有()．

17.A.A.1/2B.1C.2D.e18.

19.A.I1=I2

B.I1＞I2

C.I1＜I2

D.無法比較

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.過坐標原點且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程為_________.

25.

26.

則F(O)=_________．

27.28.29.30.過原點且與直線垂直的平面方程為______．

31.

32.當x=1時，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數），則p=______.

33.

34.

35.

36.37.38.設當x≠0時，在點x=0處連續，當x≠0時，F(x)=-f(x)，則F(0)=______．39.40.三、計算題(20題)41.42.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

43.

44.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．47.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．48.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

49.50.求微分方程的通解．51.

52.

53.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則54.

55.

56.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．57.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．58.證明：59.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

60.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

四、解答題(10題)61.

62.

又可導．

63.

64.

65.(本題滿分8分)66.設z=z(x，y)由方程ez-xy2+x+z=0確定，求dz．67.68.69.

70.證明：ex＞1+x(x＞0)

五、高等數學(0題)71.若需求函數q=12—0．5p，則P=6時的需求彈性r／(6)=_________。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D本題考查的知識點為定積分的性質；牛-萊公式．

可知應選D．

2.C

3.A對于點(-3，0)，A=-18+6=-12，B=0，C=6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.對于點(-3，2)，A=-12，B=0，C=-12+6=-6，B2-AC=-72＜0，故此點為極大值點.對于點(1，0)，A=12，B=0，C=6，B2-AC=-72＜0，故此點為極小值點.對于點(1，2)，A=12=0，C=-6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.

4.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

5.D本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法。因此選D。

6.B

7.C

8.B

9.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

可知應選C．

10.D解析：

11.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在區間(一∞，0)內為有界函數。

12.A

13.D解析：

14.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

15.C解析：y"+y'=0，特征方程為r2+r=0，特征根為r1=0，r2=-1；方程的通解為y=C1e-x+C1，可知選C。

16.B解析：

17.C

18.D

19.C因積分區域D是以點(2，1)為圓心的一單位圓，且它位于直線x+y=1的上方，即在D內恒有x+y＞1，所以（x+y)2＜(x+y)3.所以有I1＜I2.

20.C

21.（-35）（-3，5）解析：

22.(01)(0，1)解析：

23.yxy-1

24.3x-7y+5z=0本題考查了平面方程的知識點。已知所求平面與3x-7y+5z-12=0平行,則其法向量為(3,-7,5),故所求方程為3(x-0)+(-7)(y-0)+5(z-0)=0,即3x-7y+5z=0.

25.2

26.

27.28.29.0．

本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．30.2x+y-3z=0本題考查的知識點為平面方程和平面與直線的關系．

由于已知直線與所求平面垂直，可知所給直線的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面過原點，由平面的點法式方程，可知所求平面方程為2x+y-3z=0

31.

解析：

32.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.33.F(sinx)+C

34.3x2+4y

35.

36.

37.38.1本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由連續性的定義可知，若F(x)在點x=0連續，則必有，由題設可知

39.

40.

41.

42.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

43.

44.

45.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

46.

47.

48.

49.

50.51.由一階線性微分方程通解公式有

52.

則

53.由等價無窮小量的定義可知

54.

55.

56.函數的定義域為

注意

57.由二重積分物理意義知

58.

59.

列表：

說明

60.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p