02--必修①第一章-集合與函數概念LtD《新課標高中數學必修①精講精練》——精練月日:~:自評分《新課標高中數學必修①精講精練》——精講第一章集合與函數概念A.B.C.D.A.B.C.D.5．已知函數的定義域為，則的定義域為（）. A． B． C． D．6．已知＝＋x＋1，則＝______；f［］＝______．7．已知，則=.※能力提高8．（1）求函數的定義域；（2）求函數的定義域與值域.9．已知，，且，試求的表達式.※探究創新10．已知函數，同時滿足：；，，，求的值.第6講§1.2.2函數的表示法¤學習目標：在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（圖象法、列表法、解析法）表示函數；通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用；了解映射的概念.¤知識要點：1.函數有三種表示方法：解析法（用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系，優點：簡明，給自變量可求函數值）；圖象法（用圖象表示兩個變量的對應關系，優點：直觀形象，反應變化趨勢）；列表法（列出表格表示兩個變量之間的對應關系，優點：不需計算就可看出函數值）.2.分段函數的表示法與意義（一個函數，不同范圍的x，對應法則不同）.3.一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應為從集合A到集合B的一個映射（mapping）．記作“”.判別一個對應是否映射的關鍵：A中任意，B中唯一；對應法則f.¤例題精講：【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數式是_____，這個函數的定義域為_______．解：盒子的高為x，長、寬為，所以體積為V＝.又由，解得.所以，體積V以x為自變量的函數式是，定義域為.【例2】已知f(x)=，求f[f(0)]的值.解：∵，∴f(0)=.又∵>1，∴f()=()3+()-3=2+=，即f[f(0)]=.【例3】畫出下列函數的圖象：（1）；（教材P26練習題3）（2）.解：（1）由絕對值的概念，有.所以，函數的圖象如右圖所示.（2），所以，函數的圖象如右圖所示.點評：含有絕對值的函數式，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數式化為分段函數，然后根據定義域的分段情況，選擇相應的解析式作出函數圖象.【例4】函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，當時，寫出的解析式，并作出函數的圖象.解：.函數圖象如右：點評：解題關鍵是理解符號的概念，抓住分段函數的對應函數式.第6練§1.2.2函數的表示法※基礎達標1．函數f(x)=，則=（）. A.1B.2C.3D.42．某同學從家里到學校，為了不遲到，先跑，跑累了再走余下的路，設在途中花的時間為t，離開家里的路程為d，下面圖形中，能反映該同學的行程的是（）.OOdtOdtOdtOdtA.B.C.D.3．已知函數滿足，且，，那么等于（）. A. B. C. D.4．設集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，從A到B的對應法則f不是映射的是（）. A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x5．擬定從甲地到乙地通話分鐘的話費由給出，其中是不超過的最大整數，如：，從甲地到乙地通話5.2分鐘的話費是（）. A.3.71B.4.24C.4.77D.7.956．已知函數且此函數圖象過點（1，5），實數m的值為.7．；若.※能力提高8．畫出下列函數的圖象：（1）；（2）.9．設二次函數滿足且=0的兩實根平方和為10，圖象過點(0,3)，求的解析式※探究創新10．（1）設集合，.試問：從A到B的映射共有幾個？（2）集合A有元素m個，集合B有元素n個，試問：從A到B的映射共有幾個？第7講§1.3.1函數的單調性¤學習目標：通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性及其幾何意義；學會運用函數圖像理解和研究函數的性質.理解增區間、減區間等概念，掌握增（減）函數的證明和判別.¤知識要點：1.增函數：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數（increasingfunction）.仿照增函數的定義可定義減函數.2.如果函數f(x)在某個區間D上是增函數或減函數，就說f(x)在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間D叫f(x)的單調區間.在單調區間上，增函數的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數的圖象從左向右是下降的（如右圖2）.由此，可以直觀觀察函數圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數的單調區間及單調性.3.判斷單調性的步驟：設x、x∈給定區間，且x<x；→計算f(x)－f(x)→判斷符號→下結論.¤例題精講：【例1】試用函數單調性的定義判斷函數在區間（0，1）上的單調性.解：任取∈(0,1)，且.則.由于，，，，故，即.所以，函數在（0，1）上是減函數.【例2】求二次函數的單調區間及單調性.解：設任意，且.則.若，當時，有，，即，從而，即，所以在上單調遞增.同理可得在上單調遞減.【例3】求下列函數的單調區間：（1）；（2）.解：（1），其圖象如右.由圖可知，函數在上是增函數，在上是減函數.（2），其圖象如右.由圖可知，函數在、上是增函數，在、上是減函數.點評：函數式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數式化為分段函數.第2小題也可以由偶函數的對稱性，先作y軸右側的圖象，并把y軸右側的圖象對折到左側，得到的圖象.由圖象研究單調性，關鍵在于正確作出函數圖象.【例4】已知，指出的單調區間.解：∵，∴把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調遞增，在上單調遞增.點評：變形后結合平移知識，由平移變換得到一類分式函數的圖象.需知平移變換規律.第7練§1.3.1函數的單調性※基礎達標1．函數的減區間是（）.A.B.C.D.2．在區間（0，2）上是增函數的是（）.A.y=－x+1B.y=C.y=x2－4x＋5D.y=3．函數的遞增區間依次是（）.A.B.C.D.4．已知是R上的增函數，令，則是R上的（）. A．增函數 B．減函數 C．先減后增 D．先增后減5．二次函數在區間(∞，4)上是減函數，你能確定的是（）.A.B.C.D.6．函數的定義域為，且對其內任意實數均有：，則在上是.（填“增函數”或“減函數”或“非單調函數”）7．已知函數f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f()之間的大小關系為.※能力提高8．指出下列函數的單調區間及單調性：（1）；（2）9．若，且.（1）求b與c的值；（2）試證明函數在區間上是增函數.※探究創新10．已知函數的定義域為R，對任意實數、均有，且，又當時，有.（1）求的值；（2）求證：是單調遞增函數.第8講§1.3.1函數最大（?。┲怠鑼W習目標：通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；學會運用函數圖像理解和研究函數的性質.能利用單調性求函數的最大（?。┲?¤知識要點：1.定義最大值：設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得=M.那么，稱M是函數的最大值（MaximumValue）.仿照最大值定義，可以給出最小值（MinimumValue）的定義.2.配方法：研究二次函數的最大（小）值，先配方成后，當時，函數取最小值為；當時，函數取最大值.3.單調法：一些函數的單調性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的最大值或最小值.4.圖象法：先作出其函數圖象后，然后觀察圖象得到函數的最大值或最小值.¤例題精講：【例1】求函數的最大值.解：配方為，由，得.所以函數的最大值為8.【例2】某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可售出100件.現在他采用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提價1元，其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤.解：設他將售出價定為x元，則提高了元，減少了件，所賺得的利潤為.即.當時，.所以，他將售出價定為14元時，才能使每天所賺得的利潤最大,最大利潤為360元.【例3】求函數的最小值.解：此函數的定義域為，且函數在定義域上是增函數，所以當時，，函數的最小值為2.點評：形如的函數最大值或最小值，可以用單調性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令，則，，所以，在時是增函數，當時，，故函數的最小值為2.【例4】求下列函數的最大值和最小值：（1）；（2）.解：（1）二次函數的對稱軸為，即.畫出函數的圖象，由圖可知，當時，；當時，.所以函數的最大值為4,最小值為.（2）.作出函數的圖象，由圖可知，.所以函數的最大值為3,最小值為-3.點評：二次函數在閉區間上的最大值或最小值，常根據閉區間與對稱軸的關系，結合圖象進行分析.含絕對值的函數，常分零點討論去絕對值，轉化為分段函數進行研究.分段函數的圖象注意分段作出.第8練§1.3.1函數最大（小）值※基礎達標1．函數在區間上是減函數，則y的最小值是（）.A.1B.3C.－2D.52．函數的最大值是（）.A.8B.C.4D.3．函數在區間上有最小值，則的取值范圍是（）.A．B．C．D．4．某部隊練習發射炮彈，炮彈的高度h與時間t的函數關系式是則炮彈在發射幾秒后最高呢（）.A.1.3秒B.1.4秒C.1.5秒D1.6秒5.的最大（?。┲登闆r為（）.A.有最大值，但無最小值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.無最大值，也無最小值6．函數的最大值是.7．已知，.則的最大值與最小值分別為.※能力提高8．已知函數.（1）證明在上是減函數;（2）當時，求的最大值和最小值.房價（元）住房率（%）160551406512075100859．一個星級旅館有100個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率的數據如右：欲使每天的的營業額最高，應如何定價？※探究創新10．已知函數在區間[0，1]上的最大值為2，求實數a的值.第9講§1.3.2函數的奇偶性¤學習目標：結合具體函數，了解奇偶性的含義；學會運用函數圖像理解和研究函數的性質.理解奇函數、偶函數的幾何意義，能熟練判別函數的奇偶性.¤知識要點：1.定義：一般地，對于函數定義域內的任意一個x，都有，那么函數叫偶函數（evenfunction）.如果對于函數定義域內的任意一個x，都有），那么函數叫奇函數（oddfunction）.2.具有奇偶性的函數其定義域關于原點對稱，奇函數的圖象關于原點中心對稱，偶函數圖象關于y軸軸對稱.3.判別方法：先考察定義域是否關于原點對稱，再用比較法、計算和差、比商法等判別與的關系.¤例題精講：【例1】判別下列函數的奇偶性：（1）；（2）；（3）.解：（1）原函數定義域為，對于定義域的每一個x，都有，所以為奇函數.（2）原函數定義域為R，對于定義域的每一個x，都有，所以為偶函數.（3）由于，所以原函數為非奇非偶函數.【例2】已知是奇函數，是偶函數，且，求、.解：∵是奇函數，是偶函數，∴，.則，即.兩式相減，解得；兩式相加，解得.【例3】已知是偶函數，時，，求時的解析式.解：作出函數的圖象，其頂點為.∵是偶函數，∴其圖象關于y軸對稱.作出時的圖象，其頂點為，且與右側形狀一致，∴時，.點評：此題中的函數實質就是.注意兩拋物線形狀一致，則二次項系數a的絕對值相同.此類問題，我們也可以直接由函數奇偶性的定義來求，過程如下.【另解】當時，，又由于是偶函數，則，所以，當時，.【例4】設函數是定義在R上的奇函數，且在區間上是減函數，實數a滿足不等式，求實數a的取值范圍.解：∵在區間上是減函數，∴的圖象在y軸左側遞減.又∵是奇函數，∴的圖象關于原點中心對稱，則在y軸右側同樣遞減.又，解得，所以的圖象在R上遞減.∵，∴，解得.點評：定義在R上的奇函數的圖象一定經過原點.由圖象對稱性可以得到，奇函數在關于原點對稱區間上單調性一致，偶函數在關于原點對稱區間上的單調性相反.第9練§1.3.2函數的奇偶性※基礎達標1．函數(|x|≤3)的奇偶性是（）.A．奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.既奇又偶函數2．（08年全國卷Ⅱ.理3文4）函數的圖像關于（）.A．軸對稱 B．直線對稱C．坐標原點對稱 D．直線對稱3．已知函數是奇函數，當時，；當時，等于（）.A.B.C.D.4．函數，那么的奇偶性是（）.A．奇函數B．既不是奇函數也不是偶函數C．偶函數D．既是奇函數也是偶函數5．若奇函數在[3,7]上是增函數，且最小值是1，則它在上是（）.A.增函數且最小值是－1 B.增函數且最大值是－1C.減函數且最大值是－1 D.減函數且最小值是－16．已知，，則.7．已知是定義在上的奇函數，在是增函數，且，則的解集為.※能力提高8．已知函數.（1）求函數的定義域；（2）判斷函數的奇偶性并證明你的結論.9．若對于一切實數，都有：（1）求，并證明為奇函數；（2）若，求.※探究創新10．已知，討論函數的性質，并作出圖象.第10講第一章集合與函數概念復習¤復習目標：強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用文氏圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練.深刻理解函數的有關概念.掌握對應法則、圖象等有關性質.理解掌握函數的單調性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步驟，并會運用.¤例題精講：【例1】（05年江蘇卷.17）已知a,b為常數，若，則.解：由，則，整理得，比較系數得：，解得：；或.則.【例2】（02京、皖春.18）已知是偶函數，而且在上是減函數，判斷在上是增函數還是減函數，并加以證明.解：設x1＜x2＜0，則－x1＞－x2＞0，因為在上是減函數，則.因為為偶函數，所以，由此可得在上是增函數.【例3】集合，，若，求實數m的取值范圍.解：由，得.當時，有：，解得.-12-m3m-12-m3m+17xBA，解得.綜上可知，實數m的取值范圍為.點評：已知兩個含參集合的關系或者運算結果時，可以結合數軸分析區間端點的位置情況，列出相關不等式后求解參數范圍.注意當時，不能忽視的情況.【例4】設a為實數，函數，x∈R.（1）討論的奇偶性；（2）若x≥a，求的最小值.解：（1）當a=0時，函數，此時為偶函數.當a≠0時，，，.此時函數f（x）為非奇非偶函數.（2）當x≥a時，函數.若a≤－，則函數在上的最小值為.若a＞－，則函數在上單調遞增，從而，函數在上的最小值為f（a）=a2+1.綜上，當a≤－時，函數f（x）的最小值是－a.當a＞－時，函數f（x）的最小值是a2+1.點評：函數奇偶性的討論問題是中學數學的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助.因為