1.理解對數的概念及運算性質,會熟練進行指數式與對數式的互化.2.能靈活準確地運用對數的運算性質進行對數式的化簡與計算.3.了解對數恒等式,知道用換底公式將一般對數轉化為自然對數或常用對數,會用

換底公式進行一些簡單的化簡與證明.4.感受轉化與化歸的思想,感受數學抽象的魅力,體會邏輯推理的作用.4.2

對數1.對數的概念一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就稱b是以a為底N的對數,記作①

logaN=b

,其

中,a叫作②對數的底數

,N叫作真數.2.對數式與指數式的關系當a>0,a≠1時,ab=N?③

b=logaN

.3.常用對數與自然對數通常將以10為底的對數稱為常用對數,為了方便起見,對數log10N簡記為④

lgN

.在科學技術中,常常使用以e為底的對數,這種對數稱為自然對數.e=2.71828…是

一個無理數.正數N的自然對數logeN一般簡記為⑤

lnN

.1|對數的概念4.對數的性質(1)零和負數沒有對數;(2)loga1=⑥0

(a>0,a≠1);(3)logaa=⑦1

(a>0,a≠1).5.常見結論(a>0,a≠1)(1)logaab=b;(2)

=N(N>0).如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga

=⑧

logaM-logaN

;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).2|對數的運算性質一般地,有logaN=⑨

,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1.這個公式稱為對數的換底公式.兩個較為常用的結論(其中a,b均為不等于1的正數):(1)logab·logba=1;(2)lo

bn=

logab(m∈R,n∈R,m≠0).3|換底公式1.loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3).

(

?)2.因為(-2)4=16,所以log(-2)16=4.

(

?)提示:對數的底數a應滿足a>0,a≠1.3.指數式2-7=

化為對數式的結果是log2

=-7.

(√)4.若lnN=

,則N=

.

(

?)提示:N=

.5.如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么loga(MN)=logaM·logaN.

(

?)提示:loga(MN)=logaM+logaN.6.log335=5.

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|利用對數的運算性質化簡、求值1.利用對數的運算性質求值的解題關鍵是化異為同,先使各項底數相同,再找真數

間的關系.2.同底數的對數式化簡的常用方法(1)“收”,將同底對數的和(差)“收”成積(商)的對數,即“收”為一個對數式;(2)“拆”,將積(商)的對數“拆”成兩對數之和(差).3.化簡的常用技巧(1)化簡時要充分利用“lg5+lg2=1”來解題.(2)對含有多重對數符號的對數,應從內向外逐層化簡.(3)當真數是形如“

±

”的式子時,常用方法是“先平方,后開方”或“取倒數”.(4)在利用換底公式進行化簡、求值時,一般根據題中所給對數式的具體特點選擇恰當的底數進行換底,如果所給的對數式中的底數和真數互不相同,我們可以選擇以10為對數式中的底數進行換底.利用換底公式化簡與求值的思路:(2020江蘇南京中華中學高一期中)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.解析

解法一:∵18b=5,∴log185=b.∴log3645=

=

=

=

.解法二:∵a=log189=

,∴lg9=alg18.∵18b=5,∴log185=b,同理得lg5=blg18.故log3645=

=

=

=

=

.解法三:∵log189=a,∴18a=9.又18b=5,∴45=5×9=18b×18a=18a+b.令log3645=x,則36x=45=18a+b,即

=18a+b,即182x=9x×18a+b.∴182x=(18a)x×18a+b=18ax×18a+b=18ax+a+b.∴2x=ax+a+b,∴x=

.故log3645=

.2|對數與指數的綜合運用1.(1)在對數式與指數式的互化運算中,要注意靈活應用定義、性質和運算法則,

尤其要注意條件和結論之間的關系.(2)對于連等指數式,可令其等于k(k>0),然后將指數式用對數式表達,再由換底公

式將指數的倒數化為同底的對數,從而解決問題.2.解決對數應用問題時,首先要理解題意,弄清關鍵詞及字母的含義,然后恰當地

設未知數,建立數學模型,最后轉化為常用對數問題來求解,注意歸納總結.已知a,b,c是不等于1的正數,且ax=by=cz,

+

+

=0,求abc的值.思路點撥設ax=by=cz=t,則t>0,且t≠1,x=logat,y=logbt,z=logct,代入

+

+

=0并用對數的運算性質可求得abc的值,也可以用換底公式進行計算.解析

解法一:設ax=by=cz=t,∵a,b,c是不等于1的正數,∴t>0,且t≠1,∴x=logat,y=logbt,z=logct.∴

+

+

=

+

+

=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1.解法二:設ax=by=cz=t,∵a,b,c