第5章定性和穩定性理論簡介在十九世紀中葉，通過Liouville等人的工作，人們已經知道絕大多數微分方程不能用初等積分法求解.這個結果對微分方程理論的發展產生了極大的影響,使微分方程的研究發生了一個轉折.既然初等積分法有著不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而從微分方程本身來推斷其性質呢?定性理論和穩定性理論正是在這種背景下發展起來的.前者由法國數學家Poincare(1854-1912)在19世紀80年代所創立，后者由俄國數學家Liapunov(1857-1918)在同年代所創立.它們共同的特點就是在不求出方程解的情況下,直接根據微分方程本身的結構與特點,來研究其解的性質.由于這種方法的有效性,近一百多年以來它們已經成為常微分方程發展的主流.本章對定性理論和穩定性理論的一些基本概念和基本方法作一簡單介紹.第一講§5.1穩定性(Stability)概念(5課時)一、教學目的：理解穩定、漸近穩定和不穩定的概念；掌握零解的穩定、漸近穩定的概念；學會判定一些簡單微分方程零解的穩定和漸近穩定性。二、教學要求：理解穩定、漸近穩定和不穩定的概念；掌握簡單微分方程零解的穩定和漸近穩定性的判定。三、教學重點：簡單微分方程零解的穩定和漸近穩定性的判定。四、教學難點：如何把一般解的穩定性轉化為零解的穩定性。五、教學方法：講練結合教學法、提問式與啟發式相結合教學法。六、教學手段：傳統板書與多媒體課件輔助教學相結合。七、教學過程：1．穩定性的定義考慮微分方程組TOC\o"1-5"\h\zdX=f(t,x)(5.1)dt其中函數f(t,x)對XeD=Rn和te(-8,+8)連續，對x滿足局部Lipschitz條件。設方程(5.1)對初值(t,x)存在唯一解X二3t,t,X)，而其它解記0101作x二x(t,t,x)。現在的問題是：當X-X很小是，差X(t,t,X)9t,t,X)00010001"、，一……一一一1、1的變化是否也很小？本章向量X二(X,X,,%)『的范數取x=Zx22。12nIi'i=1J如果所考慮的解的存在區間是有限區間，那么這是解對初值的連???續依賴性，在第二章的定理2.7已有結論。現在要考慮的是解的存在區間是無窮區間，那么解對初值不一定有連續依賴性，這就產生了Liapunov意義下的穩定性概念。定義5.1如果對于任意給定的￡>0和t>0都存在3=3(8,t)>0,00TOC\o"1-5"\h\z使得只要x-x<3，就有x(t,t,x)-叭t,t,x)<8對一切t>t成立，則0100010稱(5.1)的解X二3t,t,X)是穩定的。否則是不穩定的。01定義5.2假定X二3t,t,X)是穩定的，而且存在3(0<3<3)，使得0111只要x-x<3，就有lim(x(t,t,x)-p(t,t,x))=0，則稱(5.1)的011—80001解X二3t,t,X)是漸近穩定的。01為了簡化討論，通常把解X二3t,t,X)的穩定性化成零解的穩定性問

01題.下面記X(t)=X(t,t,X)3t)=p(t,t,x)作如下變量代換.作如下變量0001代換.

(5.2)(5.2)dydx(t)d①(t)——=-dtdtdt=f(t,3t)+y)-f(t,叭t))于是在變換(5.2)下，將方程(5.1)化成dy=F(t,y)(5.3)dt其中F(t,y)=f(t,叭t)+y)-f(t,叭t))。這樣關于(51)的解xR(t)的穩定性問題就化為(5.3)的零解y=0的穩定性問題了。因此，我們可以在下文中只考慮(5.1)的零解x=0的穩定性，即假設f(t,0)三0，并有如下定義:定義5.3若對任意￡>0和t>0，存在6=6(6,t)>0，使當x<8時000有x(t,t,x)<6(5.4)00對所有的t>t成立，則稱(5.1)的零解是穩定的，反之是不穩定的。0定義5.4若(5.1)的零解是穩定的，且存在0<8<6(6為定義5.1中的8)，使當x<6時有101limx(t,t,x)=00則稱(5.1)的零解是漸近穩定的。

例1例1考察系統dx鹵=ydx—=—x〔dt的零解的穩定性。解不妨取初始時刻t=0，對于一切t>0，方程組滿足初始條件0x(0)=x,y(0)=y(x2+y2豐0)的解為000x(t)=xcost+ysinty(t)=-xsint+ycost對任一8>0，取5=8，則當(x2+y2)t<5時，有00x2(t)+y2(t)2=I(xcost+ysint)2+(-xsint+ycost)2TOC\o"1-5"\h\z=(x2+y2)2<5=800故該系統的零解是穩定的。然而，由于/.'"i1、1limx2(t)+y2(t)12=(x2+y2)2中0L000t-8所以該系統的零解不是漸近穩定的。例2考察系統dxdtdx的零解的穩定性.解在年0上，取初值為(0,x,y)的解為:00x(t)=xe-t

o

y(t)=-ye-t

0其中TOC\o"1-5"\h\z對任一^€>0，取6=8?則當(%2+y2)；<5時，有00X2(r)+V2(r)l2=(X2e-2t+V2e-2t)2*」00<(X2+y2)2<6=8(t>0)00故該系的零解是穩定的.又因為limX2(t)+^2(?)"|2=(X2e-2t+y2e-2t)2=0一J」。0可見該系統的零解是漸近穩定的.例3考察系統

的零解的穩定性.解方程組以(0,X,y)為初值的解為00(t>0)x(t)(t>0)0y(t)=-yet0其中X其中X2+y2中000111x2(t)+y2(t)12=(x2e21+y2e21)2=(x2+y2)2et0000由于函數et隨t的遞增而無限地增大.因此，對于任意￡>0，不管(x2+y2)2取得怎樣小，只要t取得適當大時，就不能保證00「X2(t)+y2(t)]2小于預先給定的正數￡，所以該系統的零解是不穩的.例4考慮常系數線性微分方程組吱=Ax(5.5)dt其中XeRn,A是nXn陣.證明：若A的所有特征根都具嚴格負實部，則(5.5)的零解是漸近穩定的.證明不失一般性，我們取初始時刻t=0,設①(t)是(5.5)的標準基0本解矩陣，由第3章內容知滿足x(0)=x的解x(t)可寫成0X(t)二屯(t)X(5.6)0由A的所有特征根都具負實部知TOC\o"1-5"\h\zlim①(t)=0(5.7)tT9于是知存在t>0，使t>t時①(t)<1.從而對任意o0，取B=e則當110X<B時，由(5.6)有00X(t)<①(t)X<X<8,t>t001當te[