第8章微分方程微分方程的一般概念8.1一階微分方程8.2※二階常系數(shù)線性微分方程8.38.1微分方程的一般概念本節(jié)將通過幾個(gè)例子介紹微分方程及其解函數(shù)的概念。8.1.1微分方程的概念例1求過點(diǎn)(0,1)且斜率為2y

的曲線方程。解設(shè)曲線的方程為y=f(x),則根據(jù)題意可知,函數(shù)應(yīng)滿足(8-1)例2一物體以變加速度a=2t,由靜止開始做直線運(yùn)動(dòng),求t

時(shí)刻的位移S(t)。解設(shè)t

時(shí)刻的速度為v(t),由題意可知S(0)=0,v(0)=0。因?yàn)榧铀俣葹槲灰频亩A導(dǎo)數(shù),故有

S″(t)=2t(8-2)定義1包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分、未知函數(shù)以及自變量的等式,稱為微分方程。其中方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù),稱為微分方程的階。例1中的方程(8-1)為一個(gè)一階微分方程,例2中的方程(8-2)為一個(gè)二階微分方程。

8.1.2微分方程的解定義2若某個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上恒滿足微分方程,則稱該函數(shù)為微分方程在區(qū)間I上的一個(gè)解。定義3若微分方程解中含有的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的階數(shù),且這些常數(shù)相互獨(dú)立,則稱此解為該方程的通解。若微分方程解中不含有任意常數(shù),則稱此解為方程的一個(gè)特解。要確定微分方程的特解,需要一定的定解條件,用來確定特解的條件稱為初始條件(初值條件)。一般地,確定k

階微分方程的特解,需要k個(gè)初始條件。在例2中,S(0)=0,S‘(0)=0為方程(8-2)的初始條件。8.2一階微分方程本節(jié)我們介紹幾類簡單的一階微分方程,主要包括變量可分離方程、齊次微分方程和一階線性微分方程。一階微分方程的一般形式為F(x,y,y')=0其中,x

為自變量,y

為未知函數(shù)。由于確定其特解只需一個(gè)初始條件,其初值問題可表述為8.2.1變量可分離微分方程

定義1若一個(gè)微分方程可表述為

(8-3)或則稱該方程為變量可分離微分方程。對(duì)于方程(8-3),若g(x)和h(y)都為連續(xù)函數(shù),分離變量可得到兩邊積分變量分離時(shí)涉及除法,因除式不能為零,可能漏掉特解。例如例1經(jīng)討論,漏掉的特解一般都可以合并到通解中。對(duì)于此情況,我們以后不單獨(dú)討論,只在任意常數(shù)的取值上予以體現(xiàn)。8.2.2齊次微分方程8.2.3一階線性微分方程定義3形如

y'+p(x)y=q(x)(8-9)的一階微分方程,稱為一階線性微分方程。所謂的線性是指方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)是一次。其中q(x)稱為右端項(xiàng),若其不是零函數(shù),則稱(8-9)為一階非齊次線性微分方程。若q(x)≡0,則

y'+p(x)y=0(8-10)稱式(8-10)為一階齊次線性微分方程,還稱式(8-10)為與式(8-9)對(duì)應(yīng)的齊次方程。1.一階齊次線性微分方程齊次方程(8-10)實(shí)際上是變量可分離方程,分離變量并積分得2.一階非齊次線性微分方程對(duì)于一階非齊次線性微分方程,我們常用常數(shù)變異法求其通解。在上式中令C=0得到等式右端前半部分為式(8-13)的一個(gè)特解,而后半部分恰好為式(8-14)的通解。因此,一階非齊次線性微分方程的通解等于它的一個(gè)特解加上其對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)特解。此結(jié)論可推廣到任何線性方程和方程組,有關(guān)證明將在下一節(jié)中給出。另外,常數(shù)變異法可應(yīng)用于高階線性微方程和差分方程。式(8-18)是x為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程。下面我們用常數(shù)變異法解此方程。方程(8-18)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為由于公式(8-17)較難記憶,通常我們用常數(shù)變異法來求解一階非齊次線性微分方程。常數(shù)變異法的一般步驟如下。8.3※二階常系數(shù)線性微分方程

本節(jié)將介紹線性微分方程解的結(jié)構(gòu),并利用該理論來研究一類簡單的二階微分方程———二階常系數(shù)線性微分方程。8.3.1線性微分方程解的結(jié)構(gòu)由方程的線性特性和導(dǎo)數(shù)的線性特性,我們可得到關(guān)于n階線性微分方程的解有如下定理。直觀上,函數(shù)組線性無關(guān)的充要條件是指該函數(shù)組中的任何一個(gè)函數(shù)都不能由其余函數(shù)線性表示。特別地,兩個(gè)函數(shù)線性無關(guān)的充要條件是:兩函數(shù)之比不為常數(shù)。8.3.2二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如

y″+ay'+by=f(x)(8-21)的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程a,b

為已知常數(shù),f(x)為已知函數(shù)。若f(x)為非零函數(shù),則稱方程為非齊次的,若f(x)≡0,即

y″+ay'+by=0(8-22)稱為二階齊次線性微分方程,或與(8-21)對(duì)應(yīng)的齊次方程。我們先討論齊次方程(8-22)的通解。由上一部分的知識(shí)可知,(8-22)的通解可以寫成任意兩個(gè)線性無關(guān)特解的組合。觀察(8-22)式,會(huì)發(fā)現(xiàn)若函數(shù)y

的各階導(dǎo)數(shù)等于y

的常數(shù)倍,則y可能滿足方程(8-22)。函數(shù)y=eλx

恰好滿足該條件,因此,我們假設(shè)它為方程(8-22)的解,下面我們探討假設(shè)的合理性以及兩個(gè)無關(guān)解的找法。顯然,y=eλx

為方程(8-22)的充要條件是λ

為方程(8-23)的根。代數(shù)方程(8-23)稱為微分方程(8-22)和(8-21)的特征方程。特征方程的根稱為特征根。由于方程(8-23)為二次方程,因此可能有兩個(gè)根λ1,λ2。根據(jù)判別式Δ=a2-4b的不同取值,我們分三種情況進(jìn)行討論。綜上所述,我們得到如下求解齊次方程(8-22)的一般步驟。①寫出特征方程λ2+aλ+b=0。②求解特征根λ1,λ2。③根據(jù)特征根的關(guān)系,