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文檔簡介

等腰三角形專題訓練

親愛的老師,給學生設計題目一定要注意歸類訓練,抓住重點題型要訓練透徹

親愛的老師,親愛的同學們,做題一定要注意反思總結:這個題用了什么知識點,給我們什

么啟示,以后遇到此類問題怎么辦?

一、角平分線遇到平行線出現等腰三角形及綜合知識應用

1.如圖,四邊形ABCD中,AB〃CD,AD〃BC,且NBAD、NADC的角平分線

AE、DF分別交BC于點E、F.若EF=2,AB=5,求AD的長

AD

2.如圖,Z^ABC中,D、E分別是BC、AC的中點,BF平分/ABC,交DE于點

F,若BC=8,求DF的長

3.如圖,ZB.NC的平分線相交于F,過點F作DE〃BC,交AB于D,交AC

于E,

求證:①△BDF、4CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③4ADE的周長為AB+AC;

4.如圖,ZABC=50°,BD平分NABC,過D作DE〃AB交BC于點E,若點F在

AB上,且滿足DF=DE,求NDFB的度數

二、等腰三角形三線合一(有前兩線必有第三線)及綜合知識應用

5.如圖,在AABC中,ZBAC<90°,AB=AC,AFLBC于點F,D為CA延長線上

一點,DE_LBC于E,交AB邊于點G,則圖中與ND相等的角的個數為()

6.如圖4ABC中,ZA=36°,AB=AC,BF平分NABC,E是AF的中點,DE±AC

交AB于D,連接DC交BF于P,求/DPB的度數

A

BC

7.如圖,ZiABC中,AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是△ABC的中線,AE>ABAD

的角平分線,DF〃AB交AE延長線于F,求DF的長

8.如圖,在^ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD的中點,點F為

AC的中點,連結EF交CD于點M,連接AM.若NE!AC=45°,AM=4,DM=3,

求BC的長

B--------------------C

9.如圖,在aABC中,NABC和NACB的平分線相交于點G,過點G作EF〃BC

交AB于E,交AC于F,過點G作GD_LAC于D,

求證:①點G到4ABC各邊的距離相等;

②設GD=m,AE+AF=n,貝ISaAEF="1"nm.

10.如圖,△ABC中,ZBAC=90°,AD±BC,/ABC的平分線BE交AD于點F,AG

平分NDAC.

求證:①NBAD=NC;②AE=AF;③FG〃AC.

11.如圖,已知AG_LBD,AF1CE,BD、CE分別是/ABC和NACB的角平分線,

若BF=2,ED=3,GC=4,求^ABC的周長.

12.如圖,在aABC中,N是三條角平分線的交點,EF,BN于點N,EF分別交

AB、BC于點E、F,NBAN=20。,ZENA=30°,求NFNC的度數.

等邊三角形專題訓練

注意用好三邊相等和60度角30度角

13.如圖,過邊長為1的等邊AABC的邊AB上一點P,作PE_LAC于E,Q為BC

延長線上一點,當PA=CQ時,連PQ交AC邊于D,求DE的長

14.已知:如圖,△ABC和都是等邊三角形,D是BC延長線上一點,AD

與BE相交于點P,AC、BE相交于點M,AD、CE相交于點N,

求證:①AD=BE;②NBMC=NANC;③NAPM=60。;④AN=BM;⑤4CMN是等

邊三角形.

15.如圖I,已知等邊△ABC,點D在AC的外側,將BD繞點B順時針旋轉60。至

BF,點F與點D相對應,連接AF,AD,AD=2,ZCBD=15°,ZAFB=30°,求AF

的長.

D

B

16.如圖:在ZXABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD與BE相交于點P,BQJ_AD于

Q.

求證:?AADC^ABEA;②BP=2PQ.

17.等邊三角形ABC中,AD是高,AD=3,NABC的平分線交AD于點。,E是

AC邊上的運動點,連結0E且以0E為邊長的等邊△OEF,當F點落在BC邊上時,

請你證明4CEF是等邊三角形.

答案及解析

1.(2015秋?武昌區期中)如圖,四邊形ABCD中,AB〃CD,AD//BC,且NBAD、

ZADC的角平分線

AE、DF分別交BC于點E、F.若EF=2,AB=5,則AD的長為()

A.7B.6C.8D.9

【分析】根據平行線的性質得到NADF=NDFC,由DF平分NADC,得到NADF=

NCDF,等量代換得到NDFC=NFDC,根據等腰三角形的判定得到CF=CD,同理

BE=AB,根據已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形,根據平行四邊形的性質

得至l」AB=CD,AD=BC,即可得到結論.

【解答】解:?.,AD〃BC,

/.ZADF=ZDFC,

:DF平分/ADC,

,ZADF=ZCDF,

/.ZDFC=ZFDC,

,CF=CD,

同理BE=AB,

VAB^CD,AD〃BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

;.AB=CD,AD=BC,

,AB=BE=CF=CD=5,

ABC=BE+CF-EF=8,

;.AD=BC=8.

故選C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質,平行線的性質,平行四邊形的性

質,解答本題的關鍵是判斷出BA=BE=CF=CD.

3.(2014秋?江津區期末)如圖,4ABC中,D、E分別是BC、AC的中點,BF

平分NABC,交DE于點F,若BC=8,則DF的長是()

【分析】首先根據條件D、E分別是BC、AC的中點可得DE〃AB,再求出NBFD=

NDBF,根據等角對等邊可得到DB=DF.

【解答】解:??.△ABC中,D、E分別是BC、AC的中點,

,DE〃AB,BD=—BC=4,

2

,ZABF=ZBFD,

VBF平分NABC,

,NFBC=NABF,

/.ZBFD=ZDBF,

,DB=DF=4,

故選D.

【點評】此題主要考查了三角形的中位線定理的應用,解題的關鍵是證明DE//

AB,可得至叱BFD=NDBF.

4.(2014秋?巢湖期末)如圖,NB、NC的平分線相交于F,過點F作DE〃BC,

交AB于D,交AC于E,那么下列結論正確的是

①△BDF、4CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③4ADE的周長為AB+AC;④

BD=CE.()

2E

BC

A.③④B.①②C.①②③D.②③④

【分析】由平行線得到角相等,由角平分線得角相等,根據平行線的性質及等腰

三角形的判定和性質.

【解答】解::DE〃BC,

/.ZDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB,

「BF是NABC的平分線,CF是NACB的平分線,

/.ZFBC=ZDFB,NFCE=NFCB,

VZDBF=ZDFB,ZEFC=ZECF,

...△DFB,△FEC都是等腰三角形.

,DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,

/.△ADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.

故選C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質及平行線的性質;題目

利用了兩直線平行,內錯角相等,及等角對等邊來判定等腰三角形的;等量代換

的利用是解答本題的關鍵.

5.(2014秋?淮南期末)如圖,ZABC=50°,BD平分/ABC,過D作DE〃AB交

BC于點E,若點F在AB上,且滿足DF=DE,則NDFB的度數為()

A.25°B.130℃.50°或130°D.25°或130°

【分析】如圖,證明NDFB=NDEB,此為解決問題的關鍵性結論;求出NDEB=130。,

即可解決問題.

【解答】解:如圖,DF=DF'=DE;

?..BD平分NABC,由圖形的對稱性可知:

△BDE^ABDF,

/.ZDFB=ZDEB;

VDE/7AB,ZABC=50°,

/.ZDEB=180°-50°=130°;

.?.ZDFB=130°;

當點F位于點F處時,

VDF=DFZ,

.'.NDF'B=NDFF'=50°,

故選C.

【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質定理的應用問題;靈活運用

有關定理來分析、判斷、推理或解答是解題的關鍵.

6.(2014秋?下城區期末)如圖,在aABC中,NBAC<90。,AB=AC,AFLBC于

點F,D為CA延長線上一點,DEJ_BC于E,交AB邊于點G,則圖中與ND相等

【分析】證明NBAF=NCAF;ZBGE=ZAGD=ZBAF,ZCAF=ZD,即可解決問題.

【解答】解:如圖,VAB=AC,AF±BC,

/.ZBAF=ZCAF;

VDE1BC,

,DE〃AF,

/.ZBGE=ZAGD=ZBAF,ZCAF=ZD,

圖中與/D相等的角共有4個,

【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質的應用問題;解題的關鍵是

靈活運用平行線的性質等幾何知識點來分析、判斷、解答.

7.(2014秋?涼山州期末)如圖AABC中,ZA=36°,AB=AC,BF平分NABC,E

是AF的中點,DE1AC交AB于D,連接DC交BF于P,ZDPB的度數是()

【分析】由AB=AC,ZA=36°,根據等邊對等角,得到/ABC=NACB,根據BF平

分NABC,得到NABF=FBC=36°,ZBFC=ZBCF=72°,因為AE=EF,DE±AF,得到

AD=DF,ZDFE=36°,ZDFP=72°,證得4BDF絲Z\CBF,得至BD=BC,因為BF平

分/ABC,BP1CD,根據"三線和一"得到NBPD=90°.

【解答】解:連接DF,?;AB=AC,ZA=36°,

,NABC=NACB=72°,

VBF平分NABC,

,NABF=FBC=36°,

.*.ZBFC=ZBCF=72O,

VAE=EF,DE1AF,

,AD=DF,

/.ZDFE=36O,

/.ZDFP=72°,

NDFB=NCFB,

在aDBE與aCBF中,

rZDFB=ZCFB

?BF=BF,

1ZDBF=ZCBF

/.△BDF^ACBF(ASA),

,BD=BC,

VBF平分NABC,

ABP1CD,

/.ZBPD=90°

故選D.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質,全等三角形的判定與性質,線段的

垂直平分線的性質,關鍵是正確的作出輔助線.

8.(2014秋?五常市校級期中)如圖,ZXABC中,AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是

△ABC的中線,AE是ABAD的角平分線,DF〃AB交AE延長線于F,則DF的長

A.4.5B.9C.5D.3

【分析】先求出NC=30。,得出AD的長,再證出NDAE=NF,得出DF=AD即可.

【解答】解:;AB=AC=9,AD是AABC的中線,

/.ZB=ZC=30o,AD_LBC,NBAD」NBAC=60°,

2

.".AD=—AB=4.5;

2

:AE平分/BAD,DF〃AB,

/.ZDAE=ZBAE=30°,ZF=ZBAE=30°,

/.ZDAE=ZF,

,DF=AD=4.5;

故選:A.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質以及含30。角的直角三角形的性質;

證明DF=AD是解題的關鍵.

9.(2015?杭州模擬)如圖,在△ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD

的中點,點F為AC的中點,連結EF交CD于點M,連接AM.若NBAC=45°,AM=4,

DM=3,則BC的長度為()

【分析】判斷出4AEC是等腰直角三角形,根據等腰直角三角形的性質可得EF

垂直平分AC,再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AM=CM,

然后求出CD=AM+DM,再等量代換即可得解.

【解答】解:VZBAC=45°,CE±BD,

/.△AEC是等腰直角三角形,

?點F為AC的中點,

,EF垂直平分AC,

,AM=CM,

VCD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,

,BC=AM+DM,

VAM=4,DM=3,

,BC=3+4=7,

故選B.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質,等腰三角

形的性質等腰直角三角形的判定與性質,難點在于判斷出EF垂直平分AC.

10.(2016秋?安陸市期中)如圖,在aABC中,NABC和NACB的平分線相交于

點G,過點G作EF〃BC交AB于E,交AC于F,過點G作GDJ_AC于D,下列四

個結論:

①EF=BE+CF;

②NBGC=90°+L/A;

2

③點G到4ABC各邊的距離相等;

④設GD=m,AE+AF=n,貝USzxAEF=mn.

【分析】①根據NABC和NACB的平分線相交于點G可得出NEBG=NCBG,NBCG=

ZFCG,再由EF〃BC可知NCBG=NEGB,ZBCG=ZCGF,故可得出BE=EG,GF=CF,

由此可得出結論;

②先根據角平分線的性質得出NGBC+NGCB總(ZABC+ZACB),再由三角形內

角和定理即可得出結論;

③根據三角形內心的性質即可得出結論;

④連接AG,根據三角形的面積公式即可得出結論.

【解答】解:①;NABC和NACB的平分線相交于點G,

/.ZEBG=ZCBG,ZBCG=ZFCG.

?.?EF〃BC,

/.ZCBG=ZEGB,ZBCG=ZCGF,

/.ZEBG=ZEGB,ZFCG=ZCGF,

,BE=EG,GF=CF,

;.EF=EG+GF=BE+CF,故本小題正確;

②;NABC和NACB的平分線相交于點G,

:.ZGBC+ZGCB=—(ZABC+ZACB)=—(180°-NA),

22

/.ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°-工(180°-ZA)=90°+-^ZA,故本小

22

題正確;

③TNABC和NACB的平分線相交于點G,

.?.點G是4ABC的內心,

...點G到4ABC各邊的距離相等,故本小題正確;

④連接AG,

?.?點G是4ABC的內心,GD=m,AE+AF=n,

SAAEF=-AE?GD+^AF?GD=—(AE+AF)?GD=Lnm,故本小題錯誤.

2222

故答案為:①②③.

【點評】本題考查的是等腰三角形的判定與性質,熟知角平分線的性質、三角形

內角和定理及三角形內心的性質是解答此題的關鍵.

11.(2015春?重慶校級期中)如圖,^ABC中,NBAC=90。,AD±BC,NABC的

平分線BE交AD于點F,AG平分NDAC.給出下列結論:①NBAD=NC;②AE=AF;

③/EBC=NC;④FG〃AC;⑤EF=FG.其中正確的結論是①②④.

BDC

【分析】①連接EG.根據等角的余角相等即可得到結果,故①正確;②由BE、

AG分別是NABC、ZDAC的平分線.得至U/ABF=NEBD.由于NAFE=NFAB+NFBA,

NAEB=NC+NEBD,得到NAFE=NAEF,根據等腰三角形的性質可得②正確;③

如果NEBC=NC,則NC」NABC,由于NBAC=90。那么/C=30。,但NCW30。,故

2

③錯誤;④證明△ABNgZSGBN,得到AN=GN,證出四邊形AFGE是平行四邊形,

得到GF〃AE,故④正確;⑤由AE=AF,AE=FG,而4AEF不是等邊三角形,得到

EFWAE,于是EFWFG,故⑤錯誤.

【解答】解:①連接EG.

VZBAC=90°,AD±BC.

/.ZC+ZABC=90°,ZC+ZDAC=90°,ZABC+ZBAD=90°.

/.ZABC=ZDAC,ZBAD=ZC,故①正確;

②'.?BE、AG分別是NABC、NDAC的平分線.

ZABF=ZEBD.

VZAFE=ZFAB+ZFBA,ZAEB=ZC+ZEBD,

/.ZAFE=ZAEF,

;.AF=AE,故②正確;

③如果NEBC=NC,見|NC=LNABC,

2

VZBAC=90°

那么/C=30°,但NCW30°,故③錯誤;

@VAG是NDAC的平分線,

,AN_LBE,FN=EN,

'/ABN=/GBN

在4ABN與AGBN中,VBN=BN

,ZANB=ZBNG=9O0

.,.△ABN四△GBN,

,AN=GN,

???四邊形AFGE是平行四邊形,

,GF〃AE,

即GF〃AC.故④正確;

⑤?.?AE=AF,AE=FG,

而AAEF不是等邊三角形,

.?.EFWAE,

.?.EFWFG,故⑤錯誤.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,角平

分線的性質,熟練掌握定理是解題的關鍵.

12.(2004?甌海區校級自主招生)如圖,已知AG1BD,AF±CE,BD、CE分別

是/ABC和NACB的角平分線,若BF=2,ED=3,GC=4,則aABC的周長為30.

【分析】由AGLBD,AF±CE,BD、CE分別是NABC和NACB的角平分線推出即

△ABG和aACF都是等腰三角形.根據三角形中位線定理可得FG=2DE=6,即可

解題.

【解答】解:由AGJ_BD,BD是/ABC的平分線,

可得NADB=NGDB=90。,NABD=NGBD,BD為公共邊,

/.△ADB^AGDB,;.AB=GB,

VAF1CE,CE是NACB的角平分線,

同理可證;AC=FC,

即4ABG和4ACF都是等腰三角形.

又因AG_LBD,AF_LCE,所以E、D分別是AF和AG的中點,

即ED是aAFG的中位線,;.FG=2DE,

貝IJ^ABC的周長為:AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG

由BF=2,ED=3,GC=4,FG=2DE=6得貝U/XABC的周長為30.

故答案為:30

【點評】此題涉及到的知識點較多,有全等三角形的判定與性質,等腰三角形的

判定與性質,三角形中位線定理的應用等,對于初二的學生來說,是一道難題.

13.如圖,在AABC中,N是三條角平分線的交點,EFLBN于點N,EF分別交

AB>BC于點E、F,ZBAN=20°,NENA=30°,則NFNC=20°.

【分析】如圖,首先求出NBEN=50。,進而求出NBCN=30。;證明△BEN之△BFN,

得到NBFN=/BEN=50。,即可解決問題.

【解答】解:

???N是三條角平分線的交點,

/.ZBAC=2ZBAN=40°,ZABC=2ZEBN;ZACB=2ZBCN;

VZENA=30°,

.,.ZBEN=20°+30o=50°;

VEF±BN于點N,

/.ZEBN=90°-50°=40°

ZABC=80",ZACB=180°-40°-80°=60°,

.,.ZBCN=30°;

在aBEN與aBEN中,

rZEBN=ZFBN

-BH=BN,

bZENB=ZFNB

/.△BEN^ABFN(ASA),

...NBFN=NBEN=50°,

.?.ZFNC=50°-30°=20°,

故該題答案為20。.

【點評】該命題以三角形為載體,以三角形的內角和定理、三角形外角的性質、

全等三角形的判定及其應用等知識點為考查的核心構造而成;靈活運用有關定理

來分析、判斷、推理或解答是關鍵.

14.(2014?本溪校級二模)如圖,過邊長為1的等邊AABC的邊AB上一點P,

作PEJ_AC于E,Q為BC延長線上一點,當PA=CQ時,連PQ交AC邊于D,則

DE的長為()

不能確定

【分析】過P作PF〃BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根

據等腰三角形性質求出EF=AE,證△PFDgZiQCD,推出FD=CD,推出DE=^AC

2

即可.

【解答】解:過P作PF〃BC交AC于F.

VPF/7BC,aABC是等邊三角形,

/.ZPFD=ZQCD,Z^APF是等邊三角形,

.?.AP=PF=AF,

VPE1AC,

;.AE=EF,

VAP=PF,AP=CQ,

,PF=CQ.

?.?在4PFD和△QCD中,

rZPFD=ZQCD

<ZPDF=ZQDC,

?F=CQ

.,.△PFD^AQCD(AAS),

,FD=CD,

VAE=EF,

,EF+FD=AE+CD,

/.AE+CD=DE=—AC,

2

VAC=1,

【點評】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定,等邊三角形的性質和判定,

等腰三角形的性質,平行線的性質等知識點的應用,能綜合運用性質進行推理是

解此題的關鍵,通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力,題型較好,

難度適中.

15.(2012春?武侯區校級期末)己知:如圖,AABC和都是等邊三角形,

D是BC延長線上一點,AD與BE相交于點P,AC、BE相交于點M,AD、CE相

交于點N,則下列五個結論:①AD=BE;②NBMC=NANC;③NAPM=60°;④AN=BM;

⑤△CMN是等邊三角形.其中,正確的有()

BD

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據先證明ABCE絲4ACD,得出AD=BE,根據已知給出的條件即可得

出答案;

【解答】解::△ABC和aDEC都是等邊三角形,

;.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

/ACB+NACE=NECD+NACE,即NBCE=/ACD,

.'.△BCE絲"CD(SAS),

,AD=BE,故選項①正確;

VZACB=ZACE=60°,由aBCE^^ACD得:ZCBE=ZCAD,

/BMC=NANC,故選項②正確;

^△BCE^AACDW:NCBE=NCAD,

?.,NACB是4ACD的外角,

.,.ZACB=ZCAD+ZADC=ZCBE+ZADC=60°,

又NAPM是4PBD的外角,

AZAPM=ZCBE+ZADC=60°,故選項③正確;

在aACN和△BCM中,

2CAN=NCBM

,AC—BC,

,ZACN=ZBCM=60"

.'.△ACN^ABCM,

,AN=BM,故選項④正確;

;.CM=CN,

...△CMN為等腰三角形,VZMCN=60°,

...△CMN是等邊三角形,故選項⑤正確;

故選:D.

【點評】本題考查了等邊三角形及全等三角形的判定與性質,難度一般,關鍵是

找出條件證明兩個三角形全等.

16.如圖,已知等邊aABC,點D在AC的外側,將BD繞點B順時針旋轉60。至

BF,點F與點D相對應,連接AF,AD,AD=2,ZCBD=15°,ZAFB=30°,則AF

的長為—運返一,

【分析】通過作輔助線得到等邊三角形,由角的度數知道EF是角的平分線,根

據三線合一得到線段的垂直平分線,于是得到aDAB是等腰直角三角形,求得

DE,AE的長度,也就求出了DF,再由勾股定理求得EF,從而求出AF.

【解答】解:連接DF,延長FA交BD于E,

VBD繞點B順時針旋轉60。至BF,

;.BD=BF,NDBF=60",

.?.△BDF是等邊三角形,

/.ZBFD=6

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