等腰三角形專題訓練

親愛的老師，給學生設計題目一定要注意歸類訓練，抓住重點題型要訓練透徹

親愛的老師，親愛的同學們，做題一定要注意反思總結：這個題用了什么知識點，給我們什

么啟示，以后遇到此類問題怎么辦？

一、角平分線遇到平行線出現等腰三角形及綜合知識應用

1.如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,AD〃BC,且NBAD、NADC的角平分線

AE、DF分別交BC于點E、F.若EF=2,AB=5,求AD的長

AD

2.如圖，Z^ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，BF平分/ABC,交DE于點

F,若BC=8,求DF的長

3.如圖，ZB.NC的平分線相交于F,過點F作DE〃BC,交AB于D,交AC

于E,

求證:①△BDF、4CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE；③4ADE的周長為AB+AC；

4.如圖，ZABC=50°,BD平分NABC,過D作DE〃AB交BC于點E,若點F在

AB上，且滿足DF=DE,求NDFB的度數

二、等腰三角形三線合一（有前兩線必有第三線）及綜合知識應用

5.如圖，在AABC中，ZBAC<90°,AB=AC,AFLBC于點F,D為CA延長線上

一點，DE_LBC于E,交AB邊于點G,則圖中與ND相等的角的個數為（）

6.如圖4ABC中，ZA=36°,AB=AC,BF平分NABC,E是AF的中點，DE±AC

交AB于D,連接DC交BF于P,求/DPB的度數

A

BC

7.如圖，ZiABC中，AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是△ABC的中線，AE>ABAD

的角平分線，DF〃AB交AE延長線于F,求DF的長

8.如圖，在^ABC中，點D在AB上，且CD=CB,點E為BD的中點，點F為

AC的中點，連結EF交CD于點M,連接AM.若NE!AC=45°,AM=4,DM=3,

求BC的長

鼻

B--------------------C

9.如圖，在aABC中，NABC和NACB的平分線相交于點G,過點G作EF〃BC

交AB于E,交AC于F,過點G作GD_LAC于D,

求證：①點G到4ABC各邊的距離相等；

②設GD=m,AE+AF=n,貝ISaAEF="1"nm.

10.如圖，△ABC中，ZBAC=90°,AD±BC,/ABC的平分線BE交AD于點F,AG

平分NDAC.

求證：①NBAD=NC；②AE=AF；③FG〃AC.

11.如圖，已知AG_LBD,AF1CE,BD、CE分別是/ABC和NACB的角平分線,

若BF=2,ED=3,GC=4,求^ABC的周長.

12.如圖，在aABC中，N是三條角平分線的交點，EF,BN于點N,EF分別交

AB、BC于點E、F,NBAN=20。，ZENA=30°,求NFNC的度數.

等邊三角形專題訓練

注意用好三邊相等和60度角30度角

13.如圖，過邊長為1的等邊AABC的邊AB上一點P,作PE_LAC于E,Q為BC

延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D,求DE的長

14.已知：如圖，△ABC和都是等邊三角形，D是BC延長線上一點，AD

與BE相交于點P,AC、BE相交于點M,AD、CE相交于點N,

求證：①AD=BE；②NBMC=NANC；③NAPM=60。；④AN=BM；⑤4CMN是等

邊三角形.

15.如圖I,已知等邊△ABC,點D在AC的外側，將BD繞點B順時針旋轉60。至

BF,點F與點D相對應，連接AF,AD,AD=2,ZCBD=15°,ZAFB=30°,求AF

的長.

D

B

16.如圖：在ZXABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD與BE相交于點P,BQJ_AD于

Q.

求證：?AADC^ABEA；②BP=2PQ.

17.等邊三角形ABC中，AD是高，AD=3,NABC的平分線交AD于點。，E是

AC邊上的運動點，連結0E且以0E為邊長的等邊△OEF,當F點落在BC邊上時，

請你證明4CEF是等邊三角形.

答案及解析

1.（2015秋?武昌區期中）如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,AD//BC,且NBAD、

ZADC的角平分線

AE、DF分別交BC于點E、F.若EF=2,AB=5,則AD的長為（）

A.7B.6C.8D.9

【分析】根據平行線的性質得到NADF=NDFC,由DF平分NADC,得到NADF=

NCDF,等量代換得到NDFC=NFDC,根據等腰三角形的判定得到CF=CD,同理

BE=AB,根據已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質

得至l」AB=CD,AD=BC,即可得到結論.

【解答】解：?.,AD〃BC,

/.ZADF=ZDFC,

：DF平分/ADC,

，ZADF=ZCDF,

/.ZDFC=ZFDC,

，CF=CD,

同理BE=AB,

VAB^CD,AD〃BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,AD=BC,

，AB=BE=CF=CD=5,

ABC=BE+CF-EF=8,

；.AD=BC=8.

故選C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，平行四邊形的性

質，解答本題的關鍵是判斷出BA=BE=CF=CD.

3.（2014秋?江津區期末）如圖，4ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，BF

平分NABC,交DE于點F,若BC=8,則DF的長是（）

【分析】首先根據條件D、E分別是BC、AC的中點可得DE〃AB,再求出NBFD=

NDBF,根據等角對等邊可得到DB=DF.

【解答】解：??.△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點,

，DE〃AB,BD=—BC=4,

2

,ZABF=ZBFD,

VBF平分NABC,

，NFBC=NABF,

/.ZBFD=ZDBF,

，DB=DF=4,

故選D.

【點評】此題主要考查了三角形的中位線定理的應用，解題的關鍵是證明DE//

AB,可得至叱BFD=NDBF.

4.（2014秋?巢湖期末）如圖，NB、NC的平分線相交于F,過點F作DE〃BC,

交AB于D,交AC于E,那么下列結論正確的是

①△BDF、4CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③4ADE的周長為AB+AC；④

BD=CE.()

2E

BC

A.③④B.①②C.①②③D.②③④

【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據平行線的性質及等腰

三角形的判定和性質.

【解答】解：：DE〃BC,

/.ZDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB,

「BF是NABC的平分線，CF是NACB的平分線，

/.ZFBC=ZDFB,NFCE=NFCB,

VZDBF=ZDFB,ZEFC=ZECF,

...△DFB,△FEC都是等腰三角形.

，DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,

/.△ADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.

故選C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質及平行線的性質；題目

利用了兩直線平行，內錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換

的利用是解答本題的關鍵.

5.（2014秋?淮南期末）如圖，ZABC=50°,BD平分/ABC,過D作DE〃AB交

BC于點E,若點F在AB上，且滿足DF=DE,則NDFB的度數為（）

A.25°B.130℃.50°或130°D.25°或130°

【分析】如圖，證明NDFB=NDEB,此為解決問題的關鍵性結論；求出NDEB=130。,

即可解決問題.

【解答】解:如圖，DF=DF'=DE；

?..BD平分NABC,由圖形的對稱性可知:

△BDE^ABDF,

/.ZDFB=ZDEB；

VDE/7AB,ZABC=50°,

/.ZDEB=180°-50°=130°；

.?.ZDFB=130°；

當點F位于點F處時，

VDF=DFZ,

.'.NDF'B=NDFF'=50°,

故選C.

【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質定理的應用問題；靈活運用

有關定理來分析、判斷、推理或解答是解題的關鍵.

6.（2014秋?下城區期末）如圖，在aABC中，NBAC<90。，AB=AC,AFLBC于

點F,D為CA延長線上一點，DEJ_BC于E,交AB邊于點G,則圖中與ND相等

【分析】證明NBAF=NCAF；ZBGE=ZAGD=ZBAF,ZCAF=ZD,即可解決問題.

【解答】解:如圖，VAB=AC,AF±BC,

/.ZBAF=ZCAF；

VDE1BC,

，DE〃AF,

/.ZBGE=ZAGD=ZBAF,ZCAF=ZD,

圖中與/D相等的角共有4個，

【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質的應用問題；解題的關鍵是

靈活運用平行線的性質等幾何知識點來分析、判斷、解答.

7.（2014秋?涼山州期末）如圖AABC中，ZA=36°,AB=AC,BF平分NABC,E

是AF的中點，DE1AC交AB于D,連接DC交BF于P,ZDPB的度數是（）

【分析】由AB=AC,ZA=36°,根據等邊對等角，得到/ABC=NACB,根據BF平

分NABC,得到NABF=FBC=36°,ZBFC=ZBCF=72°,因為AE=EF,DE±AF,得到

AD=DF,ZDFE=36°,ZDFP=72°,證得4BDF絲Z\CBF,得至BD=BC,因為BF平

分/ABC,BP1CD,根據"三線和一"得到NBPD=90°.

【解答】解:連接DF,?；AB=AC,ZA=36°,

，NABC=NACB=72°,

VBF平分NABC,

，NABF=FBC=36°,

.*.ZBFC=ZBCF=72O,

VAE=EF,DE1AF,

，AD=DF,

/.ZDFE=36O,

/.ZDFP=72°,

NDFB=NCFB,

在aDBE與aCBF中，

rZDFB=ZCFB

?BF=BF，

1ZDBF=ZCBF

/.△BDF^ACBF(ASA),

，BD=BC,

VBF平分NABC,

ABP1CD,

/.ZBPD=90°

故選D.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，線段的

垂直平分線的性質，關鍵是正確的作出輔助線.

8.（2014秋?五常市校級期中）如圖，ZXABC中，AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是

△ABC的中線，AE是ABAD的角平分線，DF〃AB交AE延長線于F,則DF的長

A.4.5B.9C.5D.3

【分析】先求出NC=30。，得出AD的長，再證出NDAE=NF,得出DF=AD即可.

【解答】解：；AB=AC=9,AD是AABC的中線，

/.ZB=ZC=30o,AD_LBC,NBAD」NBAC=60°,

2

.".AD=—AB=4.5；

2

：AE平分/BAD,DF〃AB,

/.ZDAE=ZBAE=30°,ZF=ZBAE=30°,

/.ZDAE=ZF,

，DF=AD=4.5；

故選：A.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質以及含30。角的直角三角形的性質；

證明DF=AD是解題的關鍵.

9.（2015?杭州模擬）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB,點E為BD

的中點，點F為AC的中點,連結EF交CD于點M,連接AM.若NBAC=45°,AM=4,

DM=3,則BC的長度為（）

【分析】判斷出4AEC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EF

垂直平分AC,再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AM=CM,

然后求出CD=AM+DM,再等量代換即可得解.

【解答】解：VZBAC=45°,CE±BD,

/.△AEC是等腰直角三角形，

?點F為AC的中點，

，EF垂直平分AC,

，AM=CM,

VCD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,

，BC=AM+DM,

VAM=4,DM=3,

，BC=3+4=7,

故選B.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角

形的性質等腰直角三角形的判定與性質，難點在于判斷出EF垂直平分AC.

10.(2016秋?安陸市期中)如圖，在aABC中，NABC和NACB的平分線相交于

點G,過點G作EF〃BC交AB于E,交AC于F,過點G作GDJ_AC于D,下列四

個結論：

①EF=BE+CF；

②NBGC=90°+L/A；

2

③點G到4ABC各邊的距離相等；

④設GD=m,AE+AF=n,貝USzxAEF=mn.

【分析】①根據NABC和NACB的平分線相交于點G可得出NEBG=NCBG,NBCG=

ZFCG,再由EF〃BC可知NCBG=NEGB,ZBCG=ZCGF,故可得出BE=EG,GF=CF,

由此可得出結論；

②先根據角平分線的性質得出NGBC+NGCB總(ZABC+ZACB),再由三角形內

角和定理即可得出結論；

③根據三角形內心的性質即可得出結論；

④連接AG,根據三角形的面積公式即可得出結論.

【解答】解：①；NABC和NACB的平分線相交于點G,

/.ZEBG=ZCBG,ZBCG=ZFCG.

?.?EF〃BC,

/.ZCBG=ZEGB,ZBCG=ZCGF,

/.ZEBG=ZEGB,ZFCG=ZCGF,

，BE=EG,GF=CF,

；.EF=EG+GF=BE+CF,故本小題正確；

②；NABC和NACB的平分線相交于點G,

：.ZGBC+ZGCB=—(ZABC+ZACB)=—(180°-NA),

22

/.ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°-工(180°-ZA)=90°+-^ZA,故本小

22

題正確；

③TNABC和NACB的平分線相交于點G,

.?.點G是4ABC的內心，

...點G到4ABC各邊的距離相等，故本小題正確；

④連接AG,

?.?點G是4ABC的內心，GD=m,AE+AF=n,

SAAEF=-AE?GD+^AF?GD=—(AE+AF)?GD=Lnm,故本小題錯誤.

2222

故答案為：①②③.

【點評】本題考查的是等腰三角形的判定與性質，熟知角平分線的性質、三角形

內角和定理及三角形內心的性質是解答此題的關鍵.

11.（2015春?重慶校級期中）如圖，^ABC中，NBAC=90。，AD±BC,NABC的

平分線BE交AD于點F,AG平分NDAC.給出下列結論:①NBAD=NC；②AE=AF；

③/EBC=NC；④FG〃AC；⑤EF=FG.其中正確的結論是①②④.

BDC

【分析】①連接EG.根據等角的余角相等即可得到結果，故①正確；②由BE、

AG分別是NABC、ZDAC的平分線.得至U/ABF=NEBD.由于NAFE=NFAB+NFBA,

NAEB=NC+NEBD,得到NAFE=NAEF,根據等腰三角形的性質可得②正確；③

如果NEBC=NC,則NC」NABC,由于NBAC=90。那么/C=30。，但NCW30。，故

2

③錯誤；④證明△ABNgZSGBN,得到AN=GN,證出四邊形AFGE是平行四邊形，

得到GF〃AE,故④正確；⑤由AE=AF,AE=FG,而4AEF不是等邊三角形，得到

EFWAE,于是EFWFG,故⑤錯誤.

【解答】解：①連接EG.

VZBAC=90°,AD±BC.

/.ZC+ZABC=90°,ZC+ZDAC=90°,ZABC+ZBAD=90°.

/.ZABC=ZDAC,ZBAD=ZC,故①正確；

②'.?BE、AG分別是NABC、NDAC的平分線.

ZABF=ZEBD.

VZAFE=ZFAB+ZFBA,ZAEB=ZC+ZEBD,

/.ZAFE=ZAEF,

；.AF=AE,故②正確；

③如果NEBC=NC,見|NC=LNABC,

2

VZBAC=90°

那么/C=30°,但NCW30°,故③錯誤；

@VAG是NDAC的平分線，

，AN_LBE,FN=EN,

'/ABN=/GBN

在4ABN與AGBN中，VBN=BN

,ZANB=ZBNG=9O0

.,.△ABN四△GBN,

，AN=GN,

???四邊形AFGE是平行四邊形,

，GF〃AE,

即GF〃AC.故④正確；

⑤?.?AE=AF,AE=FG,

而AAEF不是等邊三角形，

.?.EFWAE,

.?.EFWFG,故⑤錯誤.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平

分線的性質，熟練掌握定理是解題的關鍵.

12.（2004?甌海區校級自主招生）如圖，已知AG1BD,AF±CE,BD、CE分別

是/ABC和NACB的角平分線，若BF=2,ED=3,GC=4,則aABC的周長為30.

【分析】由AGLBD,AF±CE,BD、CE分別是NABC和NACB的角平分線推出即

△ABG和aACF都是等腰三角形.根據三角形中位線定理可得FG=2DE=6,即可

解題.

【解答】解：由AGJ_BD,BD是/ABC的平分線，

可得NADB=NGDB=90。，NABD=NGBD,BD為公共邊，

/.△ADB^AGDB,；.AB=GB,

VAF1CE,CE是NACB的角平分線,

同理可證；AC=FC,

即4ABG和4ACF都是等腰三角形.

又因AG_LBD,AF_LCE,所以E、D分別是AF和AG的中點，

即ED是aAFG的中位線，；.FG=2DE,

貝IJ^ABC的周長為：AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG

由BF=2,ED=3,GC=4,FG=2DE=6得貝U/XABC的周長為30.

故答案為：30

【點評】此題涉及到的知識點較多，有全等三角形的判定與性質，等腰三角形的

判定與性質，三角形中位線定理的應用等，對于初二的學生來說，是一道難題.

13.如圖，在AABC中，N是三條角平分線的交點，EFLBN于點N,EF分別交

AB>BC于點E、F,ZBAN=20°,NENA=30°,則NFNC=20°.

【分析】如圖，首先求出NBEN=50。，進而求出NBCN=30。；證明△BEN之△BFN,

得到NBFN=/BEN=50。，即可解決問題.

【解答】解:

???N是三條角平分線的交點，

/.ZBAC=2ZBAN=40°,ZABC=2ZEBN；ZACB=2ZBCN；

VZENA=30°,

.,.ZBEN=20°+30o=50°；

VEF±BN于點N,

/.ZEBN=90°-50°=40°

ZABC=80",ZACB=180°-40°-80°=60°,

.,.ZBCN=30°；

在aBEN與aBEN中，

rZEBN=ZFBN

-BH=BN，

bZENB=ZFNB

/.△BEN^ABFN(ASA),

...NBFN=NBEN=50°,

.?.ZFNC=50°-30°=20°,

故該題答案為20。.

【點評】該命題以三角形為載體，以三角形的內角和定理、三角形外角的性質、

全等三角形的判定及其應用等知識點為考查的核心構造而成；靈活運用有關定理

來分析、判斷、推理或解答是關鍵.

14.（2014?本溪校級二模）如圖，過邊長為1的等邊AABC的邊AB上一點P,

作PEJ_AC于E,Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D,則

DE的長為（）

不能確定

【分析】過P作PF〃BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根

據等腰三角形性質求出EF=AE,證△PFDgZiQCD,推出FD=CD,推出DE=^AC

2

即可.

【解答】解：過P作PF〃BC交AC于F.

VPF/7BC,aABC是等邊三角形，

/.ZPFD=ZQCD,Z^APF是等邊三角形,

.?.AP=PF=AF,

VPE1AC,

；.AE=EF,

VAP=PF,AP=CQ,

，PF=CQ.

?.?在4PFD和△QCD中,

rZPFD=ZQCD

<ZPDF=ZQDC,

?F=CQ

.,.△PFD^AQCD(AAS),

，FD=CD,

VAE=EF,

，EF+FD=AE+CD,

/.AE+CD=DE=—AC,

2

VAC=1,

【點評】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，

等腰三角形的性質，平行線的性質等知識點的應用，能綜合運用性質進行推理是

解此題的關鍵，通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力，題型較好,

難度適中.

15.（2012春?武侯區校級期末）己知：如圖，AABC和都是等邊三角形,

D是BC延長線上一點，AD與BE相交于點P,AC、BE相交于點M,AD、CE相

交于點N,則下列五個結論:①AD=BE；②NBMC=NANC；③NAPM=60°；④AN=BM；

⑤△CMN是等邊三角形.其中，正確的有（）

BD

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據先證明ABCE絲4ACD,得出AD=BE,根據已知給出的條件即可得

出答案；

【解答】解：:△ABC和aDEC都是等邊三角形，

；.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

/ACB+NACE=NECD+NACE,即NBCE=/ACD,

.'.△BCE絲"CD(SAS),

，AD=BE,故選項①正確；

VZACB=ZACE=60°,由aBCE^^ACD得：ZCBE=ZCAD,

/BMC=NANC,故選項②正確；

^△BCE^AACDW：NCBE=NCAD,

?.,NACB是4ACD的外角，

.,.ZACB=ZCAD+ZADC=ZCBE+ZADC=60°,

又NAPM是4PBD的外角，

AZAPM=ZCBE+ZADC=60°,故選項③正確；

在aACN和△BCM中，

2CAN=NCBM

,AC—BC，

,ZACN=ZBCM=60"

.'.△ACN^ABCM,

，AN=BM,故選項④正確；

；.CM=CN,

...△CMN為等腰三角形，VZMCN=60°,

...△CMN是等邊三角形，故選項⑤正確；

故選：D.

【點評】本題考查了等邊三角形及全等三角形的判定與性質，難度一般，關鍵是

找出條件證明兩個三角形全等.

16.如圖，已知等邊aABC,點D在AC的外側，將BD繞點B順時針旋轉60。至

BF,點F與點D相對應，連接AF,AD,AD=2,ZCBD=15°,ZAFB=30°,則AF

的長為—運返一,

【分析】通過作輔助線得到等邊三角形，由角的度數知道EF是角的平分線，根

據三線合一得到線段的垂直平分線，于是得到aDAB是等腰直角三角形，求得

DE,AE的長度，也就求出了DF,再由勾股定理求得EF,從而求出AF.

【解答】解：連接DF,延長FA交BD于E,

VBD繞點B順時針旋轉60。至BF,

；.BD=BF,NDBF=60",

.?.△BDF是等邊三角形，

/.ZBFD=6