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文檔簡介
等腰三角形專題訓練
親愛的老師,給學生設計題目一定要注意歸類訓練,抓住重點題型要訓練透徹
親愛的老師,親愛的同學們,做題一定要注意反思總結:這個題用了什么知識點,給我們什
么啟示,以后遇到此類問題怎么辦?
一、角平分線遇到平行線出現等腰三角形及綜合知識應用
1.如圖,四邊形ABCD中,AB〃CD,AD〃BC,且NBAD、NADC的角平分線
AE、DF分別交BC于點E、F.若EF=2,AB=5,求AD的長
AD
2.如圖,Z^ABC中,D、E分別是BC、AC的中點,BF平分/ABC,交DE于點
F,若BC=8,求DF的長
3.如圖,ZB.NC的平分線相交于F,過點F作DE〃BC,交AB于D,交AC
于E,
求證:①△BDF、4CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③4ADE的周長為AB+AC;
4.如圖,ZABC=50°,BD平分NABC,過D作DE〃AB交BC于點E,若點F在
AB上,且滿足DF=DE,求NDFB的度數
二、等腰三角形三線合一(有前兩線必有第三線)及綜合知識應用
5.如圖,在AABC中,ZBAC<90°,AB=AC,AFLBC于點F,D為CA延長線上
一點,DE_LBC于E,交AB邊于點G,則圖中與ND相等的角的個數為()
6.如圖4ABC中,ZA=36°,AB=AC,BF平分NABC,E是AF的中點,DE±AC
交AB于D,連接DC交BF于P,求/DPB的度數
A
BC
7.如圖,ZiABC中,AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是△ABC的中線,AE>ABAD
的角平分線,DF〃AB交AE延長線于F,求DF的長
8.如圖,在^ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD的中點,點F為
AC的中點,連結EF交CD于點M,連接AM.若NE!AC=45°,AM=4,DM=3,
求BC的長
鼻
B--------------------C
9.如圖,在aABC中,NABC和NACB的平分線相交于點G,過點G作EF〃BC
交AB于E,交AC于F,過點G作GD_LAC于D,
求證:①點G到4ABC各邊的距離相等;
②設GD=m,AE+AF=n,貝ISaAEF="1"nm.
10.如圖,△ABC中,ZBAC=90°,AD±BC,/ABC的平分線BE交AD于點F,AG
平分NDAC.
求證:①NBAD=NC;②AE=AF;③FG〃AC.
11.如圖,已知AG_LBD,AF1CE,BD、CE分別是/ABC和NACB的角平分線,
若BF=2,ED=3,GC=4,求^ABC的周長.
12.如圖,在aABC中,N是三條角平分線的交點,EF,BN于點N,EF分別交
AB、BC于點E、F,NBAN=20。,ZENA=30°,求NFNC的度數.
等邊三角形專題訓練
注意用好三邊相等和60度角30度角
13.如圖,過邊長為1的等邊AABC的邊AB上一點P,作PE_LAC于E,Q為BC
延長線上一點,當PA=CQ時,連PQ交AC邊于D,求DE的長
14.已知:如圖,△ABC和都是等邊三角形,D是BC延長線上一點,AD
與BE相交于點P,AC、BE相交于點M,AD、CE相交于點N,
求證:①AD=BE;②NBMC=NANC;③NAPM=60。;④AN=BM;⑤4CMN是等
邊三角形.
15.如圖I,已知等邊△ABC,點D在AC的外側,將BD繞點B順時針旋轉60。至
BF,點F與點D相對應,連接AF,AD,AD=2,ZCBD=15°,ZAFB=30°,求AF
的長.
D
B
16.如圖:在ZXABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD與BE相交于點P,BQJ_AD于
Q.
求證:?AADC^ABEA;②BP=2PQ.
17.等邊三角形ABC中,AD是高,AD=3,NABC的平分線交AD于點。,E是
AC邊上的運動點,連結0E且以0E為邊長的等邊△OEF,當F點落在BC邊上時,
請你證明4CEF是等邊三角形.
答案及解析
1.(2015秋?武昌區期中)如圖,四邊形ABCD中,AB〃CD,AD//BC,且NBAD、
ZADC的角平分線
AE、DF分別交BC于點E、F.若EF=2,AB=5,則AD的長為()
A.7B.6C.8D.9
【分析】根據平行線的性質得到NADF=NDFC,由DF平分NADC,得到NADF=
NCDF,等量代換得到NDFC=NFDC,根據等腰三角形的判定得到CF=CD,同理
BE=AB,根據已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形,根據平行四邊形的性質
得至l」AB=CD,AD=BC,即可得到結論.
【解答】解:?.,AD〃BC,
/.ZADF=ZDFC,
:DF平分/ADC,
,ZADF=ZCDF,
/.ZDFC=ZFDC,
,CF=CD,
同理BE=AB,
VAB^CD,AD〃BC,
???四邊形ABCD是平行四邊形,
;.AB=CD,AD=BC,
,AB=BE=CF=CD=5,
ABC=BE+CF-EF=8,
;.AD=BC=8.
故選C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質,平行線的性質,平行四邊形的性
質,解答本題的關鍵是判斷出BA=BE=CF=CD.
3.(2014秋?江津區期末)如圖,4ABC中,D、E分別是BC、AC的中點,BF
平分NABC,交DE于點F,若BC=8,則DF的長是()
【分析】首先根據條件D、E分別是BC、AC的中點可得DE〃AB,再求出NBFD=
NDBF,根據等角對等邊可得到DB=DF.
【解答】解:??.△ABC中,D、E分別是BC、AC的中點,
,DE〃AB,BD=—BC=4,
2
,ZABF=ZBFD,
VBF平分NABC,
,NFBC=NABF,
/.ZBFD=ZDBF,
,DB=DF=4,
故選D.
【點評】此題主要考查了三角形的中位線定理的應用,解題的關鍵是證明DE//
AB,可得至叱BFD=NDBF.
4.(2014秋?巢湖期末)如圖,NB、NC的平分線相交于F,過點F作DE〃BC,
交AB于D,交AC于E,那么下列結論正確的是
①△BDF、4CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③4ADE的周長為AB+AC;④
BD=CE.()
2E
BC
A.③④B.①②C.①②③D.②③④
【分析】由平行線得到角相等,由角平分線得角相等,根據平行線的性質及等腰
三角形的判定和性質.
【解答】解::DE〃BC,
/.ZDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB,
「BF是NABC的平分線,CF是NACB的平分線,
/.ZFBC=ZDFB,NFCE=NFCB,
VZDBF=ZDFB,ZEFC=ZECF,
...△DFB,△FEC都是等腰三角形.
,DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,
/.△ADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.
故選C.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質及平行線的性質;題目
利用了兩直線平行,內錯角相等,及等角對等邊來判定等腰三角形的;等量代換
的利用是解答本題的關鍵.
5.(2014秋?淮南期末)如圖,ZABC=50°,BD平分/ABC,過D作DE〃AB交
BC于點E,若點F在AB上,且滿足DF=DE,則NDFB的度數為()
A.25°B.130℃.50°或130°D.25°或130°
【分析】如圖,證明NDFB=NDEB,此為解決問題的關鍵性結論;求出NDEB=130。,
即可解決問題.
【解答】解:如圖,DF=DF'=DE;
?..BD平分NABC,由圖形的對稱性可知:
△BDE^ABDF,
/.ZDFB=ZDEB;
VDE/7AB,ZABC=50°,
/.ZDEB=180°-50°=130°;
.?.ZDFB=130°;
當點F位于點F處時,
VDF=DFZ,
.'.NDF'B=NDFF'=50°,
故選C.
【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質定理的應用問題;靈活運用
有關定理來分析、判斷、推理或解答是解題的關鍵.
6.(2014秋?下城區期末)如圖,在aABC中,NBAC<90。,AB=AC,AFLBC于
點F,D為CA延長線上一點,DEJ_BC于E,交AB邊于點G,則圖中與ND相等
【分析】證明NBAF=NCAF;ZBGE=ZAGD=ZBAF,ZCAF=ZD,即可解決問題.
【解答】解:如圖,VAB=AC,AF±BC,
/.ZBAF=ZCAF;
VDE1BC,
,DE〃AF,
/.ZBGE=ZAGD=ZBAF,ZCAF=ZD,
圖中與/D相等的角共有4個,
【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質的應用問題;解題的關鍵是
靈活運用平行線的性質等幾何知識點來分析、判斷、解答.
7.(2014秋?涼山州期末)如圖AABC中,ZA=36°,AB=AC,BF平分NABC,E
是AF的中點,DE1AC交AB于D,連接DC交BF于P,ZDPB的度數是()
【分析】由AB=AC,ZA=36°,根據等邊對等角,得到/ABC=NACB,根據BF平
分NABC,得到NABF=FBC=36°,ZBFC=ZBCF=72°,因為AE=EF,DE±AF,得到
AD=DF,ZDFE=36°,ZDFP=72°,證得4BDF絲Z\CBF,得至BD=BC,因為BF平
分/ABC,BP1CD,根據"三線和一"得到NBPD=90°.
【解答】解:連接DF,?;AB=AC,ZA=36°,
,NABC=NACB=72°,
VBF平分NABC,
,NABF=FBC=36°,
.*.ZBFC=ZBCF=72O,
VAE=EF,DE1AF,
,AD=DF,
/.ZDFE=36O,
/.ZDFP=72°,
NDFB=NCFB,
在aDBE與aCBF中,
rZDFB=ZCFB
?BF=BF,
1ZDBF=ZCBF
/.△BDF^ACBF(ASA),
,BD=BC,
VBF平分NABC,
ABP1CD,
/.ZBPD=90°
故選D.
【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質,全等三角形的判定與性質,線段的
垂直平分線的性質,關鍵是正確的作出輔助線.
8.(2014秋?五常市校級期中)如圖,ZXABC中,AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是
△ABC的中線,AE是ABAD的角平分線,DF〃AB交AE延長線于F,則DF的長
A.4.5B.9C.5D.3
【分析】先求出NC=30。,得出AD的長,再證出NDAE=NF,得出DF=AD即可.
【解答】解:;AB=AC=9,AD是AABC的中線,
/.ZB=ZC=30o,AD_LBC,NBAD」NBAC=60°,
2
.".AD=—AB=4.5;
2
:AE平分/BAD,DF〃AB,
/.ZDAE=ZBAE=30°,ZF=ZBAE=30°,
/.ZDAE=ZF,
,DF=AD=4.5;
故選:A.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質以及含30。角的直角三角形的性質;
證明DF=AD是解題的關鍵.
9.(2015?杭州模擬)如圖,在△ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD
的中點,點F為AC的中點,連結EF交CD于點M,連接AM.若NBAC=45°,AM=4,
DM=3,則BC的長度為()
【分析】判斷出4AEC是等腰直角三角形,根據等腰直角三角形的性質可得EF
垂直平分AC,再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AM=CM,
然后求出CD=AM+DM,再等量代換即可得解.
【解答】解:VZBAC=45°,CE±BD,
/.△AEC是等腰直角三角形,
?點F為AC的中點,
,EF垂直平分AC,
,AM=CM,
VCD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,
,BC=AM+DM,
VAM=4,DM=3,
,BC=3+4=7,
故選B.
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質,等腰三角
形的性質等腰直角三角形的判定與性質,難點在于判斷出EF垂直平分AC.
10.(2016秋?安陸市期中)如圖,在aABC中,NABC和NACB的平分線相交于
點G,過點G作EF〃BC交AB于E,交AC于F,過點G作GDJ_AC于D,下列四
個結論:
①EF=BE+CF;
②NBGC=90°+L/A;
2
③點G到4ABC各邊的距離相等;
④設GD=m,AE+AF=n,貝USzxAEF=mn.
【分析】①根據NABC和NACB的平分線相交于點G可得出NEBG=NCBG,NBCG=
ZFCG,再由EF〃BC可知NCBG=NEGB,ZBCG=ZCGF,故可得出BE=EG,GF=CF,
由此可得出結論;
②先根據角平分線的性質得出NGBC+NGCB總(ZABC+ZACB),再由三角形內
角和定理即可得出結論;
③根據三角形內心的性質即可得出結論;
④連接AG,根據三角形的面積公式即可得出結論.
【解答】解:①;NABC和NACB的平分線相交于點G,
/.ZEBG=ZCBG,ZBCG=ZFCG.
?.?EF〃BC,
/.ZCBG=ZEGB,ZBCG=ZCGF,
/.ZEBG=ZEGB,ZFCG=ZCGF,
,BE=EG,GF=CF,
;.EF=EG+GF=BE+CF,故本小題正確;
②;NABC和NACB的平分線相交于點G,
:.ZGBC+ZGCB=—(ZABC+ZACB)=—(180°-NA),
22
/.ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°-工(180°-ZA)=90°+-^ZA,故本小
22
題正確;
③TNABC和NACB的平分線相交于點G,
.?.點G是4ABC的內心,
...點G到4ABC各邊的距離相等,故本小題正確;
④連接AG,
?.?點G是4ABC的內心,GD=m,AE+AF=n,
SAAEF=-AE?GD+^AF?GD=—(AE+AF)?GD=Lnm,故本小題錯誤.
2222
故答案為:①②③.
【點評】本題考查的是等腰三角形的判定與性質,熟知角平分線的性質、三角形
內角和定理及三角形內心的性質是解答此題的關鍵.
11.(2015春?重慶校級期中)如圖,^ABC中,NBAC=90。,AD±BC,NABC的
平分線BE交AD于點F,AG平分NDAC.給出下列結論:①NBAD=NC;②AE=AF;
③/EBC=NC;④FG〃AC;⑤EF=FG.其中正確的結論是①②④.
BDC
【分析】①連接EG.根據等角的余角相等即可得到結果,故①正確;②由BE、
AG分別是NABC、ZDAC的平分線.得至U/ABF=NEBD.由于NAFE=NFAB+NFBA,
NAEB=NC+NEBD,得到NAFE=NAEF,根據等腰三角形的性質可得②正確;③
如果NEBC=NC,則NC」NABC,由于NBAC=90。那么/C=30。,但NCW30。,故
2
③錯誤;④證明△ABNgZSGBN,得到AN=GN,證出四邊形AFGE是平行四邊形,
得到GF〃AE,故④正確;⑤由AE=AF,AE=FG,而4AEF不是等邊三角形,得到
EFWAE,于是EFWFG,故⑤錯誤.
【解答】解:①連接EG.
VZBAC=90°,AD±BC.
/.ZC+ZABC=90°,ZC+ZDAC=90°,ZABC+ZBAD=90°.
/.ZABC=ZDAC,ZBAD=ZC,故①正確;
②'.?BE、AG分別是NABC、NDAC的平分線.
ZABF=ZEBD.
VZAFE=ZFAB+ZFBA,ZAEB=ZC+ZEBD,
/.ZAFE=ZAEF,
;.AF=AE,故②正確;
③如果NEBC=NC,見|NC=LNABC,
2
VZBAC=90°
那么/C=30°,但NCW30°,故③錯誤;
@VAG是NDAC的平分線,
,AN_LBE,FN=EN,
'/ABN=/GBN
在4ABN與AGBN中,VBN=BN
,ZANB=ZBNG=9O0
.,.△ABN四△GBN,
,AN=GN,
???四邊形AFGE是平行四邊形,
,GF〃AE,
即GF〃AC.故④正確;
⑤?.?AE=AF,AE=FG,
而AAEF不是等邊三角形,
.?.EFWAE,
.?.EFWFG,故⑤錯誤.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,角平
分線的性質,熟練掌握定理是解題的關鍵.
12.(2004?甌海區校級自主招生)如圖,已知AG1BD,AF±CE,BD、CE分別
是/ABC和NACB的角平分線,若BF=2,ED=3,GC=4,則aABC的周長為30.
【分析】由AGLBD,AF±CE,BD、CE分別是NABC和NACB的角平分線推出即
△ABG和aACF都是等腰三角形.根據三角形中位線定理可得FG=2DE=6,即可
解題.
【解答】解:由AGJ_BD,BD是/ABC的平分線,
可得NADB=NGDB=90。,NABD=NGBD,BD為公共邊,
/.△ADB^AGDB,;.AB=GB,
VAF1CE,CE是NACB的角平分線,
同理可證;AC=FC,
即4ABG和4ACF都是等腰三角形.
又因AG_LBD,AF_LCE,所以E、D分別是AF和AG的中點,
即ED是aAFG的中位線,;.FG=2DE,
貝IJ^ABC的周長為:AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG
由BF=2,ED=3,GC=4,FG=2DE=6得貝U/XABC的周長為30.
故答案為:30
【點評】此題涉及到的知識點較多,有全等三角形的判定與性質,等腰三角形的
判定與性質,三角形中位線定理的應用等,對于初二的學生來說,是一道難題.
13.如圖,在AABC中,N是三條角平分線的交點,EFLBN于點N,EF分別交
AB>BC于點E、F,ZBAN=20°,NENA=30°,則NFNC=20°.
【分析】如圖,首先求出NBEN=50。,進而求出NBCN=30。;證明△BEN之△BFN,
得到NBFN=/BEN=50。,即可解決問題.
【解答】解:
???N是三條角平分線的交點,
/.ZBAC=2ZBAN=40°,ZABC=2ZEBN;ZACB=2ZBCN;
VZENA=30°,
.,.ZBEN=20°+30o=50°;
VEF±BN于點N,
/.ZEBN=90°-50°=40°
ZABC=80",ZACB=180°-40°-80°=60°,
.,.ZBCN=30°;
在aBEN與aBEN中,
rZEBN=ZFBN
-BH=BN,
bZENB=ZFNB
/.△BEN^ABFN(ASA),
...NBFN=NBEN=50°,
.?.ZFNC=50°-30°=20°,
故該題答案為20。.
【點評】該命題以三角形為載體,以三角形的內角和定理、三角形外角的性質、
全等三角形的判定及其應用等知識點為考查的核心構造而成;靈活運用有關定理
來分析、判斷、推理或解答是關鍵.
14.(2014?本溪校級二模)如圖,過邊長為1的等邊AABC的邊AB上一點P,
作PEJ_AC于E,Q為BC延長線上一點,當PA=CQ時,連PQ交AC邊于D,則
DE的長為()
不能確定
【分析】過P作PF〃BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根
據等腰三角形性質求出EF=AE,證△PFDgZiQCD,推出FD=CD,推出DE=^AC
2
即可.
【解答】解:過P作PF〃BC交AC于F.
VPF/7BC,aABC是等邊三角形,
/.ZPFD=ZQCD,Z^APF是等邊三角形,
.?.AP=PF=AF,
VPE1AC,
;.AE=EF,
VAP=PF,AP=CQ,
,PF=CQ.
?.?在4PFD和△QCD中,
rZPFD=ZQCD
<ZPDF=ZQDC,
?F=CQ
.,.△PFD^AQCD(AAS),
,FD=CD,
VAE=EF,
,EF+FD=AE+CD,
/.AE+CD=DE=—AC,
2
VAC=1,
【點評】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定,等邊三角形的性質和判定,
等腰三角形的性質,平行線的性質等知識點的應用,能綜合運用性質進行推理是
解此題的關鍵,通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力,題型較好,
難度適中.
15.(2012春?武侯區校級期末)己知:如圖,AABC和都是等邊三角形,
D是BC延長線上一點,AD與BE相交于點P,AC、BE相交于點M,AD、CE相
交于點N,則下列五個結論:①AD=BE;②NBMC=NANC;③NAPM=60°;④AN=BM;
⑤△CMN是等邊三角形.其中,正確的有()
BD
A.2個B.3個C.4個D.5個
【分析】根據先證明ABCE絲4ACD,得出AD=BE,根據已知給出的條件即可得
出答案;
【解答】解::△ABC和aDEC都是等邊三角形,
;.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,
/ACB+NACE=NECD+NACE,即NBCE=/ACD,
.'.△BCE絲"CD(SAS),
,AD=BE,故選項①正確;
VZACB=ZACE=60°,由aBCE^^ACD得:ZCBE=ZCAD,
/BMC=NANC,故選項②正確;
^△BCE^AACDW:NCBE=NCAD,
?.,NACB是4ACD的外角,
.,.ZACB=ZCAD+ZADC=ZCBE+ZADC=60°,
又NAPM是4PBD的外角,
AZAPM=ZCBE+ZADC=60°,故選項③正確;
在aACN和△BCM中,
2CAN=NCBM
,AC—BC,
,ZACN=ZBCM=60"
.'.△ACN^ABCM,
,AN=BM,故選項④正確;
;.CM=CN,
...△CMN為等腰三角形,VZMCN=60°,
...△CMN是等邊三角形,故選項⑤正確;
故選:D.
【點評】本題考查了等邊三角形及全等三角形的判定與性質,難度一般,關鍵是
找出條件證明兩個三角形全等.
16.如圖,已知等邊aABC,點D在AC的外側,將BD繞點B順時針旋轉60。至
BF,點F與點D相對應,連接AF,AD,AD=2,ZCBD=15°,ZAFB=30°,則AF
的長為—運返一,
【分析】通過作輔助線得到等邊三角形,由角的度數知道EF是角的平分線,根
據三線合一得到線段的垂直平分線,于是得到aDAB是等腰直角三角形,求得
DE,AE的長度,也就求出了DF,再由勾股定理求得EF,從而求出AF.
【解答】解:連接DF,延長FA交BD于E,
VBD繞點B順時針旋轉60。至BF,
;.BD=BF,NDBF=60",
.?.△BDF是等邊三角形,
/.ZBFD=6
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