/17/17/專題05一元一次不等式【思維導圖】◎考點題型1一元一次不等式的定義概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數并且未知數的最高次數是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式為：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。例．（2023春·八年級課時練習）下列各式中是一元一次不等式的是（????）A．2x-y≥0 B．C．>0 D．x-≥【答案】D【分析】直接根據一元一次不等式的定義判斷即可．【詳解】解：A．2x-y≥0含2個未知數，不是一元一次不等式，故不符合題意；B．的最高次項的系數是2，不是一元一次不等式，故不符合題意；C．>0的分母含未知數，不是一元一次不等式，故不符合題意；D．x-≥是一元一次不等式，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了一元一次不等式的定義，只含有一個未知數，不等號的左右兩邊都是整式，并且未知數的次數都是一次，這樣的不等式叫做一元一次不等式．變式1．（2023春·八年級課時練習）已知是關于x的一元一次不等式，則m的值為（????）A．1 B． C．1或 D．不確定【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可確定出m的值．含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式．【詳解】解：∵不等式是關于x的一元一次不等式，∴|m|=1且m-1≠0，解得m=-1，則m的值為-1，故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關鍵．變式2．（2023春·八年級單元測試）若是關于的一元一次不等式，則的值為（????）A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可確定出m的值．含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式．【詳解】解：∵，∴且，解得．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關鍵．變式3．（2022春·云南·七年級云南師范大學實驗中學校考期中）若是關于x的一元一次不等式，則m的值為（????）A． B． C． D．2【答案】B【分析】含有一個未知數，且含有未知數的項的最高次數是1，這樣的不等式是一元一次不等式，根據定義列方程與不等式，從而可得答案．【詳解】解：是關于x的一元一次不等式，解得：故選B【點睛】本題考查的是一元一次不等式的定義，掌握“一元一次不等式的定義”是解本題的關鍵．◎考點題型2解一元一次不等式1、解一元一次不等式的一般步驟：去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數的系數化為12、解一元一次方程和解一元一次不等式的區別：一元一次方程一元一次不等式解法的依據方程得兩邊加（或減）同一個數（或式子），方程的解不變方程的兩邊乘（或除以）同一個不為零的數，方程的解不變不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變解法的步驟①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數的系數化為1①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數的系數化為1在步驟①和步驟⑤中，如果乘數（或除以）是負數，不等號要改變方向解得情況一元一次方程只有一個解一元一次不等式可以有無數多個解例．（2021春·江蘇淮安·七年級校考期中）不等式的解集在數軸上表示為（???）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解不等式，再在數軸上表示解集即可．【詳解】解：，系數化為1得，，在數軸上表示為，故選：C．【點睛】本題考查了解不等式和在數軸上表示不等式解集，解題關鍵是準確的解不等式，會在數軸上表示解集．變式1．（2022秋·浙江金華·八年級校聯考期中）如果不等式的解集是，那么m必須滿足（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據兩邊同時除以，不等號的方向改變，可得，據此即可求解．【詳解】解：因為的解集是，不等號的方向改變了，所以，解得．故選：B．【點睛】本題考查了不等式的性質．注意：不等式兩邊同除以同一個負數時，不等號的方向改變．同理，當不等式兩邊同時除以一個數后不等號的方向改變，也可以知道不等式兩邊同時除以的是一個負數．變式2．（2022秋·吉林長春·九年級校考期末）在數軸上表示不等式的解集，正確的是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【詳解】解：解得：故選：D．【點睛】本題主要考查數軸上表示不等式的解集，熟練掌握數軸上表示不等式組的解集的方法是解題的關鍵．變式3．（2022秋·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考期末）不等式的解集在數軸上表示為（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后在數軸上表示出不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴數軸表示不等式的解集如下所示：故選B．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，在數軸上表示不等式的解集，正確求出不等式的解集是解題的關鍵，注意數軸表示的時候那里要用實心點．◎考點題型3整數解問題例．（2023春·八年級課時練習）若不等式的最小整數解是方程的解，則a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出不等式的最小整數解，代入方程，求出a的值即可．【詳解】解：∵解不等式得，，∴其最小整數解為，∴，解得．故選：A．【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數解，解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，再根據得到的條件進而求得不等式組的整數解．也考查了一元一次方程的解法．變式1．（2022秋·八年級單元測試）不等式的正整數解為（????）A．1，2 B．0，1，2 C．1，2，3 D．0，1，2，3【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再求正整數解即可．【詳解】解：，除以得：，所以不等式的正整數解是1，2，3，故選C．【點睛】本題考查一元一次不等式的正整數解．熟練掌握解一元一次不等式的步驟，正確的求出不等式的解集，是解題的關鍵．變式2．（2022春·廣東東莞·七年級統考期中）不等式的非負整數解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】先求解一元一次不等式，再得出非負整數解即可；【詳解】解：解不等式得，，不等式的非負整數解是0，1，2，3，一共4個．故選：．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的求解，準確理解非負整數解的意義是解題的關鍵．變式3．（2022春·廣西賀州·七年級統考期末）若關于x的不等式只有2個正整數解，則a的取值范圍為（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出一元一次不等式的解集為，再根據不等式只有兩個正整數解得到，據此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵關于x的不等式只有2個正整數解，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了根據不等式的解集情況求參數，正確得到是解題的關鍵．◎考點題型4表示方法1、一元一次不等式的解集的表示方法：表示的兩種形式：①用不等式表示；②用數軸表示。下面我們討論用數軸表示一元一次不等式解集的四種情況：用數軸表示不等式解集時要“兩定”：定邊界點，定方向。若符號為“>或<”時，邊界點為空心，若符號為“≥或≤”，邊界點為實心。定方向時要注意“小于向左，大于向右”。例．（2023秋·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學校考期末）不等式的解集在數軸上表示正確的是(????)A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后在數軸上表示出不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：解不等式得，∴不等式的解集在數軸上表示為，故選B．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，在數軸上表示不等式的解集，正確求出不等式的解集是解題的關鍵．變式1．（2023秋·湖南益陽·八年級校聯考期末）若關于x的不等式的解集如圖所示，則m等于（????）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先解得關于x的不等式的解集即，然后觀察數軸上表示的解集，求得m的值．【詳解】解：關于x的不等式，得，由題目中的數軸表示可知：不等式的解集是：，∴，解得，，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，解題的關鍵是正確解出關于x的不等式，把不等式問題轉化為方程問題．變式2．（2022春·湖南湘西·七年級統考期末）在實數范圍內規定新運算“△”，其規則是：．已知不等式的解集在數軸上如圖表示，則k的值是（????）A．－2 B．－3 C．－1 D．0【答案】B【分析】根據新運算法則得到不等式，通過解不等式即可求k的取值范圍，結合圖象可以求得k的值．【詳解】解：根據圖示知，已知不等式的解集是．∵，∴，∴，∴解得．故選：B．【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．變式3．（2022春·福建福州·七年級校考期中）不等式﹣3（x﹣2）≤0的解集在數軸上表示為（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、系數化為1，再在數軸上表示出其解集可得．【詳解】解：去括號，得：-3x+6≤0，移項，得：-3x≤-6，系數化為1，得：x≥2，在數軸上表示解集為：故選：A．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．◎考點題型5求不等式解的最值例．（2023春·八年級課時練習）已知是不等式的一個解，則整數k的最小值為（????）A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】A【分析】將不等式的解代入得出關于k的不等式，再求出解集，確定答案即可．【詳解】∵是不等式的一個解，∴，解得，∴整數k的最小值是3．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式確定最小值，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．變式1．（2022春·黑龍江大慶·九年級統考期中）已知實數，，滿足，．若，則的最大值為（????）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】將y和z分別都用含x的式子表示，根據題意，把x的范圍求出來，則x+y+z求出最大值．【詳解】由，．可得y=3-x，z=x-6，∴x+y+z=x+3-x+x-6=x-3．∵，∴．解得．∴x-3，∴x+y+z3，則最大值為3．故選A．【點睛】此題考查了不等式的計算，把y和z分別都用含x的式子正確表示出來是解此題的關鍵．變式2．（2022春·河南漯河·七年級統考期末）已知二元一次方程組，，則的最小值是（）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先解二元一次方程組，再根據條件列出不等式，解不等式即可求得答案．【詳解】①②得：①②得：解得的最小值為．故選B．【點睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式，根據題意列出不等式是解題的關鍵．變式3．（2022·廣東揭陽·校考模擬預測）不等式4-2x＞0的最大正整數解是（）.A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】先解不等式得到x的取值范圍，然后取其最大正整數解即可.【詳解】解：移項，得：-2x＞-4，系數化為1，得：x＜2，∴不等式4-2x＞0的最大正整數解是1.故選D．【點睛】本題考查解一元一次不等式，需要注意的是當不等式兩邊同時乘以（或除以）負數時，不等式的方向要改變.◎考點題型6一元一次不等式解決實際問題1)審：認真審題，分清已知量、未知量；2)找：要抓住題中的關鍵字找出題中的不等關系；3)設：設出適當的未知數；4)列：根據題中的不等關系列出不等式；5)解：解出所列不等式的解集；6)答：檢驗是否符合題意，寫出答案。例．（2021春·甘肅蘭州·八年級校考期中）某品牌電腦的成本為2400元，標價為3150元，如果商店要以不低于的利潤銷售，最低可打（）折出售．A．7折 B．7.5折 C．8折 D．8.5折【答案】C【分析】設最低可打折，根據電腦的成本為2400元，標價為3150元，如果商店要以不低于的利潤銷售，可列不等式求解．【詳解】解：設最低可打折，則∴，∴最低打八折，故選：C．【點睛】此題考查了一元一次不等式的應用，根據利潤＝售價?進價，可列不等式求解，難度一般．變式1．（2023春·八年級課時練習）某品牌洗地機的進價為2000元，商店以2400元的價格出售．元旦期間，商店為讓利于顧客，計劃以利潤率不低于的價格降價出售，則該洗地機最多可降價多少元？若設洗地機可降價元，則可列不等式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據“以利潤率不低于的價格降價出售”列一元一次不等式，求解即可．【詳解】解：根據題意，得．故選：A．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，理解題意并根據題意建立一元一次不等式是解題的關鍵．變式2．（2022秋·浙江紹興·八年級校考階段練習）某商畈去菜攤買黃瓜，他上午買了千克，價格為每千克x元，下午，他又買了千克，價格為每千克y元﹒后來他以每千克元的價格賣完后，結果發現自己賠了錢，其原因是（????）A．＜y B． C． D．【答案】B【分析】根據題意列不等式，解出不等式的解集，即可得到答案．【詳解】解：由題意得，解得：，故選B．【點睛】本題考查列不等式及解不等式，解題的關鍵是得到不等關系式．變式3．（2022秋·浙江杭州·八年級校考期中）如圖，小明想到A站乘公交車，發現他與公交車的距離為．假設公交車的速度是小明速度的5倍．若要保證小明不會錯過這輛公交車，則小明到A站之間的距離最大為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設小明到A站之間的距離為，則公交車距離A站為，根據公交車的速度是小明速度的5倍，得出要保證小明不會錯過這輛公交車，解不等式即可得出答案．【詳解】解：設小明到A站之間的距離為，則公交車距離A站為，∵公交車的速度是小明速度的5倍，∴要保證小明不會錯過這輛公交車，解得：，即小明到A站之間的距離最大為，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應用，解題的關鍵是根據題意列出不等式．◎考點題型7解決幾何問題例．（2022秋·湖南益陽·八年級校聯考期末）用長為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度m，要使靠墻的一邊長不小于25m，那么與墻垂直的一邊長x（m）的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意和圖形列出不等式即可解得．【詳解】根據題意和圖形可得，解得：，故選：D【點睛】此題考查了不等式的應用，解題的關鍵是根據題意列出不等式．變式1．（2022秋·全國·八年級專題練習）現將體積是125的正方體木塊鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，準備從中選取n個小正方體木塊，排放在一塊長方形的木板上，已知此長方形木板的長是寬的4倍，面積是36，若只排放一層，n的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先計算出每個小正方體的棱長，再計算出木板的長度，后建立不等式求不等式的整數解即可．【詳解】解：∵體積是125的正方體鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，∴每一塊的棱長l＝2.5cm，∵長方形面積是36，長方形木板的長是寬的4倍，設寬為xcm，長為4xcm，x?4x＝36，得：x＝3，∴長為12cm，根據題意,得2.5n≤12，∴n≤4.8，∵n是正整數，∴n的最大值是4．故選：C．【點睛】本題考查了立方體的體積，長方形的面積，算術平方根即平方根中的正的那個，不等式的整數解，熟練求不等式的整數解是解題的關鍵．變式2．（2022·河北邯鄲·校考三模）2022年北京冬季奧運會開幕式于2022年2月4日20：00在國家體育館舉行，嘉淇利用相關數字做游戲