統計學第5章概率與概率分布課程內容第5章概率與概率分布第6章統計量及其抽樣分布第7章參數估計第8章假設檢驗第11章一元線性回歸

第1章導論第2章數據的收集第3章數據的圖表展示第4章數據的概括性度量第13章時間序列分析及預測第14章指數本章內容離散型隨機變量及其分布連續型隨機變量的概率分布隨機變量(randomvariables)一次試驗的結果的數值性描述一般用X、Y、Z來表示例如:投擲兩枚硬幣出現正面的數量根據取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續型隨機變量離散型隨機變量(discreterandomvariables)隨機變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產品一家餐館營業一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數顧客數銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續型隨機變量(continuousrandomvariables)隨機變量X取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數軸上某一區間內的任意點連續型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00X100X0離散型隨機變量的概率分布列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數pi0離散型隨機變量的概率分布

(例題分析)【例】如規定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機變量，其概率分布為X=xi0123P(X=xi)pi0.050.100.550.30【例】已知一批產品的次品率為p＝0.05，合格率為q=1-p=1-0.05=0.95。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機變量，其概率分布為X=xi10P(X=xi)=pi0.050.95離散型隨機變量的概率分布(0—1分布)

一個離散型隨機變量X只取兩個可能的值例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示一個離散型隨機變量取各個值的概率相同列出隨機變量取值及其取值的概率例如，投擲一枚骰子，出現的點數及其出現各點的概率離散型隨機變量的概率分布(均勻分布)

【例】投擲一枚骰子，出現的點數是個離散型隨機變量，其概率分布為X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/601/6P(x)1x23456離散型隨機變量的概率分布(均勻分布)

離散型隨機變量的數學期望(expectedvalue)在離散型隨機變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應的概率pi乘積之和描述離散型隨機變量取值的集中程度計算公式為離散型隨機變量的方差(variance)隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數學期望，記為D(X)描述離散型隨機變量取值的分散程度計算公式為離散型隨機變量的方差(例題分析)【例】投擲一枚骰子，出現的點數是個離散型隨機變量，其概率分布為如下。計算數學期望和方差X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：數學期望為：方差為：二項試驗(貝努里試驗)

二項分布與貝努里試驗有關貝努里試驗具有如下屬性試驗包含了n個相同的試驗每次試驗只有兩個可能的結果，即“成功”和“失敗”出現“成功”的概率p對每次試驗結果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗是相互獨立的試驗“成功”或“失敗”可以計數二項分布(Binomialdistribution)進行n次重復試驗，出現“成功”的次數的概率分布稱為二項分布設X為n次重復試驗中事件A出現的次數，X取x的概率為二項分布1.顯然，對于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有2.同樣有3.當n=1時，二項分布化簡為二項分布的數學期望和方差二項分布的數學期望為

E(X)＝np方差為

D(X)＝npq二項分布

(例題分析)【例】已知100件產品中有5件次品，現從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產品中恰好有2件次品的概率解：設X為所抽取的3件產品中的次品數，則X~B(3,0.05)，根據二項分布公式有泊松分布(Poissondistribution)用于描述在一指定時間范圍內或在一定的長度、面積、體積之內每一事件出現次數的分布泊松分布的例子一個城市在一個月內發生的交通事故次數消費者協會一個星期內收到的消費者投訴

次數人壽保險公司每天收到的死亡聲明的人數泊松概率分布函數—給定的時間間隔、長度、面積、體積內“成功”的平均數e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內“成功”的次數泊松概率分布的期望和方差泊松分布的數學期望為

E(X)=方差為

D(X)=

泊松分布(例題分析)【例】假定某企業的職工中在周一請假的人數X服從泊松分布，且設周一請事假的平均人數為2.5人。求（1）X的均值及標準差（2）在給定的某周一正好請事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5,

(2)泊松分布(作為二項分布的近似)當試驗的次數n很大，成功的概率p很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即

實際應用中，當P0.25，n>20，np5時，近似效果良好連續型隨機變量的概率分布連續型隨機變量可以取某一區間或整個實數軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應的概率通常研究它取某一區間值的概率概率密度函數(probabilitydensityfunction)1.設X為一連續型隨機變量，x為任意實數，X的概率密度函數記為f(x)，它滿足條件2.f(x)不是概率概率密度函數在平面直角坐標系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數x1

<x2，P(x1<Xx2)是該曲線下從x1

到x2的面積f(x)xab分布函數

(distributionfunction)1.連續型隨機變量的概率也可以用分布函數F(x)來表示2.分布函數定義為根據分布函數，P(a<X<b)可以寫為分布函數與密度函數的圖示密度函數曲線下的面積等于1分布函數是曲線下小于x0

的面積f(x)xx0F(x0

)連續型隨機變量的期望和方差連續型隨機變量的數學期望為方差為正態分布(normaldistribution)1. 描述連續型隨機變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機變量的分布例如:二項分布3. 經典統計推斷的基礎xf(x)概率密度函數f(x)=隨機變量X

的頻數

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機變量的取值(-<x<+)

=總體均值正態分布函數的性質概率密度函數在x的上方，即f(x)>0正態曲線的最高點在均值，它也是分布的中位數和眾數正態分布是一個分布族，每一特定正態分布通過均值和標準差來區分。決定了圖形的中心位置,決定曲線的平緩程度，即寬度曲線f(x)相對于均值對稱，尾端向兩個方向無限延伸，且理論上永遠不會與橫軸相交正態曲線下的總面積等于1隨機變量的概率由曲線下的面積給出和對正態曲線的影響xf(x)CAB正態分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)標準正態分布函數

標準正態分布的概率密度函數任何一個一般的正態分布，可通過下面的線性變換轉化為標準正態分布

標準正態分布的分布函數標準正態分布表的使用將一個一般的轉換為標準正態分布計算概率時，查標準正態概率分布表對于負的x

，可由(-x)x得到對于標準正態分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)baP(|X|a)2a1對于一般正態分布，即X~N(,)，有正態分布(例題分析)【例】設X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(X

2)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.84(4)P(|X|2)=P(-2

X

2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545正態分布

(例題分析)【例】設X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)二項分布的正態近似當n很大時，二項隨機變量X近似服從正態分布N{np,np(1-p)}對于一個二項隨機變量X，當n很大時，求P(x1Xx2)時可用正態分布近似為二項分布的正態近似（實例）【例】100臺機床彼此獨立地工作，每臺機床的實際工