基于灰色理論的公司自由現金流估值法研究基于灰色理論的公司自由現金流估值法研究

中圖分類號：F224；F123.7文獻標識碼：A文章編號：1004-5937〔2022〕20-0044-04一、引言

公司價值評估是現代公司金融、財務管理的核心內容之一，是學術界和實務界長期關注的重點領域，并且形成了支系龐大的理論體系。除去傳統的本錢法、相比照較法外，現代公司價值的理論研究體系主要在幾個方向展開：股利折現理論〔DDM〕、現金流量折現理論〔DCF〕、殘余收益估值模型〔RIM〕、經濟增加值模型〔EVA〕、實物期權估值理論。其中，現金流量折現理論〔DCF〕中的自由現金流量估值模型是目前在實踐中應用最廣泛的模型，國內多數機構投資者都采用此模型對公司進行估值，股神巴菲特也是該模型的忠實實踐者。

自由現金流量〔FreeCashFlow，FCF〕最早由Rappaport、Jensen等學者于20世紀80年代提出。簡言之，就是企業產生的在滿足了再投資需要之后殘余的現金流量。自由現金流量主要有兩種表現形式：公司自由現金流量和股權自由現金流量。公司自由現金流量是公司產生的在滿足了再投資需要之后殘余的現金流量，這局部現金流量是在不影響公司持續開展的前提下可以自由分配給公司全部資本提供者〔包括債權人和股東〕的最大現金額。自由現金流量估值模型認為任何公司的價值都是公司未來的自由現金流量根據一定的折現率進行折現而得到的現值和。

自由現金流量估值模型的根本公式為〔以公司自由現金流量折現模型為例〕：

V0=■■〔1〕

其中，V0表示當前公司價值，FCFFt表示t期公司自由現金流量，WACC表示加權資本本錢。在實務中，公司價值常被分解為兩局部，即預測期價值和后續期價值，用公式表示為：

V0=■■+■

〔2〕

其中，FCFFT+1表示T+1期公司自由現金流量，g表示公司增長率。

對于自由現金流量的計量辦法，學者們有不同的認識。Rappaport、Copeland、Cornell等學者都給出了各自的自由現金流量計量公式。以Copeland的公式為例：

FCFF=EBIT×〔1-所得稅稅率〕+折舊-資本性支出增加-營運資本增加〔3〕

可見，如何進行正確的預測和計算，以獲取合理的預計自由現金流是該模型的關鍵環節。而自由現金流的預測和計算，具有相當的復雜性和難度。其中最主要的困難是，哪怕是公開披露信息的上市公司，能夠得到的公司財務數據也是十分貧乏的，尤其是一些新的公司，可得的數據更少。從很少的數據出發，如何合理地預測未來自由現金流，成為自由現金流量估值模型的主要難題之一。

目前學術界和實務界對于這一難題采取的定量預測辦法有：一類是時間序列預測法，包括算術平均法、加權平均法、移動平均法、指數平滑法等；另一類是相關因素預測法，包括一元線性回歸法、多元線性回歸法等；還有一類是概率分析預測法，主要是馬爾柯夫預測法。這些辦法的應用前提多數是要求大樣本、線性、分布已知等條件，對于財務實務中普遍存在的小樣本、不確定、非線性、分布未知的情況根本失效。面對只有幾年最多十年的公司財務數據，如何進行科學的數據開發和預測呢？灰色理論無疑是條有效的途徑。

灰色理論是由我國馳名學者鄧聚龍1982年創建并獲得國際普遍認可的系統學理論，是一種專門針對“局部信息已知，局部信息未知〞的“小樣本〞、“貧信息〞的不確定性系統的創新辦法，目前已廣泛應用在各行業實際數據的預測中。“灰色〞二字意指局部信息明確、局部信息不明確，與信息完全明確的“白色〞系統和信息完全未知的“黑色〞系統相對應。灰色理論創意是基于如下信念：雖然客觀系統錯綜復雜，數據散亂，似乎毫無頭緒，但其實服從某種內在規律。灰色理論就是通過對原始數據的整理來尋求其變化規律的，也就是灰色序列生成過程，通過這種生成過程可以弱化原始數據的隨機性，找到一定的規律。

由于灰色理論專門研究的是小樣本不確定的系統，而且允許數據任意分布，這對于研究信息披露年限短、財務數據少的我國上市公司來說，無疑是極為有力的武器。可以在已知公司的財務數據中建立灰色模型，以便更科學地對自由現金流量做出合理的預測。目前在公司價值評估領域，基于灰色理論的研究國內尚未發展，國際上也未見相關文獻。

二、灰色建模預測自由現金流的根本辦法

灰色理論擴展了高階微分方程理論，定義了灰導數和灰微分方程，并用離散數據序列建立了微分方程動態模型，稱為灰色模型GM〔GrayModel〕。

設一個灰色系統中有h個變量，其中x1為因變量，x2，x3，x4…，xh為自變量，x〔1〕1〔k〕為原始數據序列的一次累加序列，那么描述該系統的模型為一個n階微分方程：

■+a1■+K+an-1■+

anx〔1〕1〔t〕=b1x〔1〕2〔t〕+b2x〔1〕3〔t〕+K+bh-1x〔1〕h〔t〕

該方程稱為GM〔n，h〕模型。當h=1時，該模型退化為GM〔1，1〕模型，它是灰色系統理論中最根底的、使用最廣泛的模型。

GM〔1，1〕模型是一種單序列的一階線性動態模型，其微分方程為：■+ax〔1〕=u，令：

Y=x〔0〕〔2〕x〔0〕〔3〕Mx〔0〕〔n〕X=-■［x〔1〕〔1〕+x〔1〕〔2〕］-■［x〔1〕〔2〕+x〔1〕〔3〕］M-■［x〔1〕〔n-1〕+x〔1〕〔n〕］E=11M1

從而有：Y=aX+uE

用最小二乘法求得方程的待定系數a，u。

存在：■=au=〔XTX〕-1XTY

再由一階線性微分方程的通解離散化可得GM〔1，1〕模型的響應函數為：

■〔1〕〔k+1〕=x〔0〕〔1〕-■e-ak+■k=1，2，…，n

〔4〕

系統復原值為：

■〔0〕〔k〕=■〔1〕〔k〕-■〔1〕〔k-1〕〔5〕

初始條件：■〔1〕〔1〕=x〔1〕〔1〕=x〔0〕〔1〕

其中a稱為開展灰數，它反映了數據序列估計值〔包括預測值〕的開展態勢，在GM〔1，1〕模型中，-2≤a≤2，否那么模型無意義。u稱為灰作用量，它的大小反映了數據的變化關系，在系統中相當于作用量。

將k=2，3，…，n代入〔4〕〔5〕式，可以先求出原始序列的模擬值，用它們和原始序列比照，進行誤差檢驗，通過后，便可求出未來任意時刻的系統原始序列的估計值。

必須指出，任何一個灰色系統隨著時間的推移，都有一些隨機擾動因素慢慢進入系統，影響到系統規律的穩定，使得GM〔1，1〕的預測能力逐漸減弱。因此改良的辦法是，隨時將新數據放到模型中，建立新陳代謝模型，逐步淘汰預測意義衰減的老數據，而把預測意義更大的新數據放入模型，使得模型的預測能力得到提高。

以上建模過程可以歸納為八個步驟：

第一步，求累加生成數據序列x〔1〕〔k〕；

第二步，確定數據矩陣X，Y；

第三步，用最小二乘法求出參數a，u；

第四步，建立生成數據序列模型，求得■〔1〕〔k〕的敘述式；

第五步，求得■〔0〕〔k〕的模擬值；

第六步，進行誤差檢驗；

第七步，用通過檢驗的■〔1〕〔k〕式預測未來的值；

第八步，建立新陳代謝模型，不斷更新并逐一估算新一年的數據。

三、案例應用分析

下文將采用基于灰色理論的自由現金流量估值模型對A股某上市公司進行估值，從中比擬兩種辦法的異同。為保證本研究的客觀性和獨立性，本文將該公司簡稱為G公司。下列所有分析中用到的原始數據均真實來自該公司公開發布的歷年年報。G公司2022年經中國證監會核準在深圳證券交易所掛牌上市。目前，公司總股本5.9億股，資產總值24億元，是一家規模較大、資金及技術實力雄厚、對市場具有較大影響力的企業。

該公司歷年主要財務數據如表1。

表1中波及的計算公式如下：

營運資本增加=本年營運資本-上年營運資本=〔本年流動資產-本年流動負債〕-〔上年流動資產-上年流動負債〕

資本支出增加=固定資產增加額+項目物資增加額+在建項目增加額

自由現金流=EBIT×〔1-所得稅稅率〕+折舊-資本性支出增加-營運資本增加

根據表1提供的數據，本文采取公式〔2〕進行估值，即：

V0=■■+■

V0表示當前公司價值，FCFFt表示t期公司自由現金流量，FCFFT+1表示T+1期公司自由現金流量，WACC表示加權資本本錢，g表示公司增長率。從此公式看，關鍵是要估計未來幾期的公司自由現金流量FCFF，以及加權資本本錢WACC及公司增長率g。分別估計如下：

〔一〕用灰色模型對未來幾期FCFF的估計

該公司上市時間短，使用它全部年報加上上市前3年的審計公報，筆者才得到6年的自由現金流數據〔表2〕，是典型的小樣本、貧信息的不確定系統，正是灰色建模可以有所作為的地方。

第一步，求累加生成數據序列x〔1〕〔k〕。

根據表2中提供的原序列，逐一累加可得：

x〔1〕〔k〕=［x〔1〕〔1〕，x〔1〕〔2〕，∧x〔1〕〔n〕］

=〔1.35，2.93，4.69，6.42，7.48，9.09〕

第二步，確定數據矩陣X，Y。

將累加生成序列的數值代入，可得：

X=-■［x〔1〕〔1〕+x〔1〕〔2〕］-■［x〔1〕〔2〕+x〔1〕〔3〕］M-■［x〔1〕〔n-1〕+x〔1〕〔n〕］=-2.141-3.811-5.561-6.951-8.291

Y=x〔0〕〔2〕x〔0〕〔3〕Mx〔0〕〔n〕=1.581.761.731.061.61E=11111

第三步，用最小二乘法求參數列a，u。

Y=aX+uE

《《=au=〔XTX〕-1XTY=0.04141.7693

這一步波及的手工計算量雖然很大，但并非不易得解。如果使用MATLAB軟件計算，那么可以迅速得解。

第四步，建立生成數據序列模型，求得■〔1〕〔k〕的敘述式。

■〔1〕〔k+1〕=x〔0〕〔1〕-■e-ak+■

=〔1.35-■〕e-0.0414k+■

=-41.387e-0.0414k+42.737〔6〕

第五步，求得■〔0〕〔k〕的模擬值。

由上式可得：

■〔1〕=［■〔1〕，■〔2〕，■〔3〕，■〔4〕，■〔5〕，■〔6〕］

=〔1.35，3.028，4.639，6.184，7.666，9.089〕

復原出■〔0〕〔k〕的模擬值：

■〔0〕〔k〕=■〔1〕〔k〕-■〔1〕〔k-1〕

■〔0〕〔k〕=〔1.35，1.678，1.0611，1.545，1.482，1.423〕

第六步，進行誤差檢驗。

與表2中的原序列比照，計算出平均相對誤差為12.8%，按照灰色理論的規范接近三級，是可用的。

第七步，用通過檢驗的■〔1〕〔k〕式預測未來的值。

將k=6代入〔6〕式，得■〔1〕〔7〕=10.453。再復原出：■〔0〕〔7〕=1.364。這就是2022年自由現金流的估計值。

依次改變k的取值，就可以估計出今后數年的值。

第八步，建立新陳代謝模型。

具體而言，估算出2022年的值就淘汰表2中2022年的值，然后再建立新的原序列，重復上面第一步到第七步的計算，得出2022年的估計值，然后再淘汰表2中2022年的值，依次類推，得出未來幾年的估計值。這樣做雖然比從第七步直接利用〔6〕式估計未來幾年值要麻煩得多，但卻更科學，更精確。看似很大的計算量，如果借助MATLAB軟件，一般不到半小時就能全部計算出來。表3是筆者采用新陳代謝模型的計算結果。

〔二〕加權資本本錢WACC的估計

WACC=KB〔1-t〕■+KE■

其中KB是債務資本本錢，為了穩健性，選用2022年6月末銀行貸款利率中的最大值6.55%；t是G公司作為高新技術公司享受的所得稅率15%；E/A是股東權益比例，選用2022―2022年6年的均值79.85%；B/A是負債比例，為20.15%；KE為普通股的資本本錢，采用CAPM模型計算：

KE=Rf+《茁〔Rm-Rf〕=3.05%+0.684×〔9.02%-3.05%〕

=7.13%

其中Rf是無風險利率，本文選取的是2022―2022年7年期國債利率的復利修正值3.05%。G公司的《茁系數以及市場收益率Rm計算繁瑣，受篇幅限制，這里只給出結果，分別是0.684和9.02%。因此可以算出：

WACC=6.55%×0.85×0.2022+7.13%×0.7985

=6.84%

〔三〕公司增長率g的估計

本文選用公司2022―2022年主營業務的復合增長率5.7%作為公司未來的增長率。

〔四〕公司價值的估算

將上面已經估算出來的數據代入公式〔2〕，可得：

V0=■+■+■+■+■=73〔億元〕

73除以5.9億的總股本，每股內在價值為12.37元。