上海市虹口區2020-2021學年九年級上學期一模數學試題

一、選擇題

i.已知在中，NC=90°,AC=3,BC=4,則tanA的值為（）

344

A.-8?D.-

45

【答案】8

【解析】

【分析】銳角A的對邊。與鄰邊人的比叫做N4的正切，記作tanA,據此進行計算即可.

【詳解】解：在用AABC中,

la加生，

AC3

故選：B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義的應用，解題時注意：在m△AC8中,

ZC=90°,貝i]tanA=3.

b

2.已知向量方和B都是單位向量，那么下列等式成立的是（）

A.a=bB.a+b=2C.a-b=0D.

向明

【答案】D

【解析】

【分析】根據向量日和日都是單位向量,，可知國1=區|=1，由此即可判斷.

【詳解】解：A、向量方和5都是單位向量，但方向不一定相同，則〃=5不一定成立，故

本選項錯誤.

3、向量5和5都是單位向量，但方向不一定相同，則4+5=2不一定成立，故本選項錯

誤.

c、向量m和5都是單位向量，但方向不一定相同，則〃-5=o不一定成立，故本選項錯

誤.

。、向量方和5都是單位向量，則|源=區i=i,故本選項正確.

故選：D.

【點睛】本題考查平面向量、單位向量，屬于概念題目，記住概念是解題的關鍵

3.下列函數中，屬于二次函數的是()

y=(x-2)--x2

【答案】C

【解析】

【分析】形如y=ax2+bx+c(a^O),a,b,c是常數的函數叫做二次函數，其中a稱為二次

項系數，b稱為一次項系數，c為常數項，x為自變量，y為因變量，據此解題.

【詳解】A.y=一一右邊不是整式，不是二次函數，故A錯誤；

x--2

B.y=Jx2一2右邊是二次根式,不是整式，不是二次函數，故B錯誤：

C.y=d—2是二次函數，故C正確；

D.丁=(%-2)2-爐=%2-4%+4-%2=_4%+4是一次函數，故D錯誤，

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數的定義，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

4.將拋物線y=/一3向右平移2個單位后得到的新拋物線表達式是()

Ay=x2-1B.y=x2-5C.y=(x+2)2-3D.

y=(x-2)2-3

【答案】D

【解析】

【分析】先利用頂點式得到拋物線y=3的頂點坐標為(0,-3),再利用點平移的坐

標規律得到點(0,-3)平移后所得對應點的坐標為(2,-3),然后利用頂點式寫出平移后

得到的拋物線的解析式.

【詳解】解：???原拋物線的頂點坐標為（0,-3）,

y=/-3向右平移2個單位后得到的新拋物線的頂點坐標為（2,-3）,

...新拋物線表達式是y=（x—2）2-3.

故答案為：D.

【點睛】本題考查了二次函數的平移；得到新拋物線的頂點是解決本題的突破點，用到的

知識點為：二次函數的平移不改變二次項的系數.

S.如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i=l:2.4,如果它把某物體從地面送到離地面10

米高的地方，那么該物體所經過的路程是（）

傳送帶

/^777777777777777777777

A.10米B.24米C.25米D.26米

【答案】D

【解析】

【分析】根據坡度的定義，由勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：如圖，

由題意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,AE=10米，AE1BD,

1

?I=---=---,

BE2.4

；.BE=24米，

...在RJABE中，AB=yjAE2+BE2=26（米）?

故選：D.

【點睛】此題考查了坡度坡角問題.此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用，注意

理解坡度的定義.

6.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,。是邊A3上一點，過。作OF_LA8交邊于

點E,交AC的延長線于點尸，聯結AE,如果tan/E4c=g,SACEF=I,那么以"c的值

是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

1-1-1

【分析】根據tan/E4C=—,可得——=一，由△EFCSAAB。，可得相似比為上，

3AC33

從而得到面積比為,，進而求出答案.

9

【詳解】VZACB=90°,

.\ZfiAC+ZB=90°,

又；DELAB,

ZADF=90°,

：.ZBAC+ZF=9O°,

：.ZB=ZF,

又,?NECF=NACB=90°,

：./\ECF^/\ACB,

,ECCF/八1

??-----=------=tanN￡L4C=—,

ACBC3

.SAECF_J_

,*1-9'

□△ACS7

又：SAECF=1,

??S&ABC=9,

故選：C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的意義，相似三角形的性質和判斷，掌握相似三角形的

性質是解決問題的關鍵.

二、填空題

7.如果。：。=3:2,那么----=.

a+b

3

【答案】-

【解析】

【分析】設a=3k,然后用k表示出b,最后代入，一計算即可.

a+b

【詳解】解：設a=3k

■:a:b=3:2

：.3k:b=3;2,即3b=6k,解得b=2k

.a_3k_3k_3

a-vb3k+2k5k5

3

故答案為—.

【點睛】本題主要考查了比例化簡求值，設出中間量、分別表示出a、b成為解答本題的關

鍵.

8.計算：3?-1（2?-4^）=

【答案】2a+2b

【解析】

【分析】根據向量的線性運算法則進行運算，從而可得答案.

【詳解】解：3a——^2a-4b^=3a-a+2b=2a+2b.

故答案為：2a+2b-

【點睛】本題考查的向量的線性運算，掌握向量的加，減，數乘運算是解題的關鍵.

q.如果拋物線y=V-a經過點（2,0）,那么”的值是

【答案】4

【解析】

【分析】將點（2,0）代入拋物線解析式y=Y-。即可求得a的值.

【詳解】解：???拋物線y=。經過點（2,0）,

得：0=4-a.

解得,a=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，代入已知量即可求得未知量.

如果拋物線y=(Z+l)f有最高點，那么左的取值范圍是.

【答案】k<-\

【解析】

【分析】根據二次函數>=(4+l)f有最高點，得出拋物線開口向下，即k+lVO,即可得

出答案.

詳解】解：?.,拋物線y=(z+l)f有最高點，

.??拋物線開口向下，

.,.k+l<0,

**<k<-1>

故答案為：k<—1.

【點睛】此題主要考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟知二次函數的最值與開口

方向的特點.

11.如果拋物線/經過點4(-2,0)和3(5,0),那么該拋物線的對稱軸是直線.

3

【答案】%=-

2

【解析】

3

【分析】根據拋物線的對稱性得對稱軸為直線x=彳.

2

【詳解】?.?拋物線/經過點A(—2,0)和8(5,0),

-2+53

???該拋物線的對稱軸是直線x=

22

3

故答案為：%=-.

2

【點睛】此題考查拋物線的對稱性，掌握拋物線的性質是解題的關鍵.

12.沿著x軸正方向看，拋物線y=/-2在V軸左側的部分是的(填“上升”或“下

降”).

【答案】下降

【解析】

【分析】畫出函數圖象，直觀判斷即可.

【詳解】拋物線y=f—2的圖象如圖所示:

可以看出，在y軸左側部分下降，

故答案為：下降

【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，根據題意畫出正確圖象是解決問題關鍵.

AP

13.點P是線段A8上的一點，如果AP2=BP-AB，那么——的值是________.

AB

【答案】叵11

2

【解析】

Ap

【分析】設AB=1,AP=x,貝i]BP=l-x,代入AP2=BP?AB求出x的值，最后代入——即

AB

可.

【詳解】解：設AB=1,AP=x,則BP=l-x,

VAP2=BP?AB

/.x2=(1-x)?1,即x2+x-l=0,解得x=Yi二1或x=土史(舍)

22

V5-1

AP_[_石-1.

AB--1-2

故答案為避二1.

2

【點睛】本題考查了成比例線段，設出合適的未知數、根據比例列式求出未知數成為解答

本題的關鍵.

14.已知VA3C:VAB'C',頂點A、B、C分別與頂點A',B'，C'對應，A。、

AD分別是6C、8'C'邊上的中線，如果8C=3,AD=2A,B'C'=2,那么AD的

長是.

o

【答案】I

【解析】

【分析】直接利用相似三角形的性質得出相似比等于對應邊上的中線的比進而得出答案.

【詳解】解：如圖，

VAABC^AAiBiCi,BC=3,AD=2.4,B'C=2,

.BC_AD3_2.4

"B'CA'D''2A'D'

Q

5

Q

故答案為：

【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質，正確掌握相關性質是解題關鍵.

rs.如圖，AB//CD,A。、8c相交于點E，過E作EF//CD交BD于點、F,如果

AB=3,CD=6,那么EE的長是—

【答案】2

【解析】

APAR71

【分析】選證明得到一=一利用比例性質得到

EDCD62

DE2

—=一,再證明￡F〃AB，則可判斷△OEF'sqiB，然后利用相似比可得到

DA3

EF2

—問題可解.

AB3

【詳解】解：?.?AB〃CD,

:./\ABE^/\DEC

?_A___E_____A___B_____3_____I

"ED~CD~6~2

DE2

——=-,

DA3

[]EF//CD,AB//CD,

DEF//AB,

:.ADEFSADAB，

EFDE_2

AS-AD-3

22

/.EF=—AB=—x3=2,

33

故答案為：2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形時，應注意利用圖中已

有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方

法是通過作平行線構造相似三角形.

16.如圖，梯形488中，AD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,49=4,

BC=9,那么

【答案】6

【解析】

【分析】根據題意可知△ABDS/XDCB,利用相似三角形對應邊成比例，即可求出答案.

【詳解】解：在直角梯形A8CO中，

VAD//BC,ZA=90。，ZBDC=90°,

.*.ZADB=ZDBC,NA=NBDC,

.".△ADB^ADCB,

.ADBD

又：AD=4,,BC=9,

；.BD=6

故答案為：6.

【點睛】本題考察了直角梯形和相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是得出

△ABD^ADCB.

17.如圖，圖中提供了一種求C0tl50的方法，作&“WC,使NC=90°,

ZABC=30°,再延長C3到點。，使班>=54,聯結AO，即可得NO=15°,如果設

則可得(那么cotl5°=cot￡>=C2=2+百，運用以上方

AC=fCO=2+6/

AC

法，可求得cot22.5°的值是

【答案】J^+l

【解析】

【分析】作使NC=90°,ZABC=45°,再延長BC到點。，使團>=84,

聯結AO,即可得/￡>=22.5°,設AC=r,然后用t表示出CD,最后根據余切的定義

作答即可.

【詳解】解：如圖：作使NC=90°,ZABC=45°,再延長CB到點。，使

BD=BA,聯結AO,即可得ND=22.5°

設4C=f,則BC=t,AB=BD=V2t

所以DC=BC+AB=t+V^t=(1+V2)t

所以cot22.5o=生=°+夜”=1+6?

ACt

故答案為l+正.

【點睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數，構造出含45。的直角三角形，再作

輔助線得到22.5。角的直角三角形成為解答本題的關鍵.

18.如圖，在ZC=90°,AC=6,BC=8,。是8C的中點，點E在邊

ABk,將△5汨沿直線OE翻折，使得點8落在同一平面內的點8'處，線段夕。交邊

AB于點尸，聯結AB',當AAB'/Z是直角三角形時，8E的長為

【答案】2或一

17

【解析】

【分析】分兩種情況討論，當乙4尸8'=90。時，則NBED=90°,利用銳角三角函數先

求解DE,BF，B'F,設BE=x,再表示B'E,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答

案；當NA?尸=90°時，如圖，連接AD，過E作EHLBD于H,先證明:

Rt^ADC^ADB',再證明NAOE=90。，設BE=5x,利用B8的銳角三角函數可得

EH=3,BH=4x,DH=4-4x,AE=10-5x,利用勾股定理求解x可得答案.

【詳解】解：?.?AC=6,BC=8,ZC=90°,

..AB=10,

1??。是3c的中點,

.-.BD=COMB'D=4,

當NAFB'=90°時，則/BFD=90°，

...sin/八"、=竺

AB5DB

設BE=x,則=EF=BF-x=--x,

5

2

/.x=2,

即：BE=2.

當NABN=90°時，如圖，連接AO，過E作石HJL3D于“，

同理可得：CD=BD=B'D=4,

\AD=AD，NC=90°，

/.RMADgAADB'(HL)

：.ZADC=ZADB',

?;ZBDE=ABDE，

：.ZADB'+NB'DE=90°=ZADE,

設BE=5x,

由sin八把二二里

AB5BE

EH=3x,BH=4x,

..DH=4-4x,

.?.0^2=(3x)2+(”4x)2,

4爐=(10-5x「

A￡)2=62+42=52,

.-.(10-5x)2=52+(3x『+(4_旬2,

8

BE=5x=竺

17

當NB'AF=90。，不合題意，舍去.

綜上：8E的長為2或4,0.

17

40

故答案為：2或萬.

【點睛】本題考查的是折疊的性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應

用，掌握以上知識是解題的關鍵，要注意分情況討論.

三、解答題

tan?45。

工Q.計算:-2sin60°.

cot30°-2cos45°

【答案】五

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函數值代入求出答案.

【詳解】解：原式=三上外生息J-g

=百+"6=啦.

2

【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶特殊角的三角函數值是解題關

鍵.

2.0.已知二次函數的解析式為丁=:/一2》.

(1)用配方法把該二次函數解析式化為y=a(x+m)2+Z的形式;

(2)選取適當的數據填入下表，并在圖中所示的平面直角坐標系X。)，內描點，畫出該函

數的圖像.

【解析】

【分析】(1)直接利用配方法即可把該二次函數的解析式化為頂點式;

(2)列表、描點、連線，畫出函數的圖象即可.

1,

【詳解】解：(1)y=-JC-2x

2

=1(X2-4X)

1,

=-(X2-4X+4-4)

[(XT-2

1

y=/(x-2)-7-2；

(2)填表如下:

......-20246......

......60-206......

圖像如下:

【點睛】此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數圖象，正確掌握配方法以及畫二次

函數圖象的步驟是解題關鍵.

2，.如圖，在A/WC中，點G是AABC的重心，聯結AG,聯結BG并延長交邊AC于

點。，過點G作GE〃BC交邊AC于點E.

(1)如果而=￡，AC^h＜用￡、B表示向量而;

(2)當AG_L8O,BG=6,NG4T>=45°時，求AE的長.

D

G

BC

—21「

【答案】(1)BG=——ci+—br；(2)AE=4^2'

【解析】

—>i—>—>2f

【分析】(1)由G是重心，可得AO=］力，BG=-BD,因為訪=函+筋，可得

->->1->

BD=-a+^b,進而求出33；

(2)根據G是重心，求出OG=3,因為△AGO是等腰直角三角形，勾股定理計算出AZ)二

3亞，由4O=OC,Z)C=3Z)E求出QE=0,相加即可.

【詳解】解：()

1-BD=BA+AD'

:點G是放△A8C的重心，

：.AD=^AC,

??—>—>—>—>

,AB=afAC=b1

-1f

AD=—a,

2

fT1T

???BD=-a+-h

2

-2f2^1―

???BG=—BD=—(-a+—b),

332

t2fL

BG=——a+—b.

33

(2)???G是三角形的重心,

；?BG=2GD,AD=DC,

?：BG=6,

:?GD=3,

VAGLBD,NGAZ)=45°，

：.AG=GD=3,

">=6+32=3萬

?:GE//BC,

.DEGD\

"DC~BD~3'

：,DE=yj2，

/.AE=AD+DE=4-72

【點睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；

熟練掌握三角形重心的性質以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運用向量的運算、勾

股定理解題是關鍵.

22.圖1是一款家用落地式取暖器，如圖2是其放置在地面上時的側面示意圖，其中矩形

ABC。是取暖器的主體，等腰梯形是底座，BE=CF,烘干架連桿GH可繞邊

CO上一點H旋轉，以調節角度，已知C￡>=50C7〃，BC=Scm,EF=20cm,

DH=Ucm,GH=15cm,ZCFE=30°,當NG”Z)=53°時，求點G到地面的距

離.(精確到0/cm)【參考數據：5m53°?0.80,cos530*06(),tan530-l.33,

百a1.73J

圖1圖2

【答案】點G到地面的距離為50.5cm.

【解析】

【分析】過H作HRLAB,在RSHGR中，利用三角函數求出GR的長，再根據

RB=CH=DC-DH,求出RB長，即可求出G到B的長度，過C作CT_LEF,過B作

BQ±EF,通過證明ABEQ之△CFT,得出EQ=FT,在RtaCFT中，利用三角函數求出

CT=BQ的長，由GQ=GB+BQ即可求出答案；

【詳解】解：如圖，過H作HRLAB,

VZGHD=53°,且AB//CD,

/.ZHGR=53°,

在Rt^HGR中，GR=COS53°XGH=COS53°X15=9,

.\GB=GR+RB=9+(50-12)=47,

過C作CT_LEF,過B作BQ_LEF,則NCTF=NBQE=90。,

VBE=CF,

ZE=ZF,

.?.△BEQ絲△CFT,

.\EQ=FTBQ=CT,

?.,BC=8cm,EF=20cm,

EQ=FT=6cm,

在RtACFT中，NCFT=30。,

.".CT=BQ=tan30°xFT=-x6=273，

3

GQ=GB+BQ=47+26a47+2x1.73=50.46a50.5(cm),

答：點G到地面的距離約為50.5cm.

【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用、銳角三角函數值等知識點，解題的關鍵是構

造直角三角形利用三角函數值求線段長.

23.如圖，在AABC中，點。、G在邊AC上，點E在邊BC上，DB=DC,

EG//AB,AE、BD交于點、F,BF=AG.

(1)求證：△BEE?△CGE；

(2)當ZA￡G=NC時，求證：AB2=AG-AC.

D

FG

BE

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

【分析】（1）由EG〃/3易證aCGEs^CAB,由性質得生=笠由比例性質得

CACB

—,由已知BF=AG比例式變為29=笠，由已知。5=￡心，利用等邊對等角

AGBEBFBE

得NFBE=NGCE,利用兩邊成比例夾角相等知^BFE^ACGE,

（2）由EG〃43,利用性質內錯角相等/BAE=/AEG,由已知NAEG=NC,推出

ABBE

ZBAE=ZC,又/ABE=/CBA共用，可證AABES^CBA,由性質一=——，

BCAB

/BEA=/BAC,把比例變等積得ABJBGBE，由（1）利用性質

ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,推出/BAC=/GEC=/ABC=NEGC,利用等角對等邊

得AC=BC,GC=EC,利用等量代換得AG=BE,可證AB?=AC.AG.

【詳解】（1）,/EG//AB,

.?.NCGE=NCAB,ZCEG=ZCBA,

.?.△CGEs/xCAB,

.CGCE

"CA"CB'

CGCECGCE

?.-------=-------即P1tl=:

CA-CGCB-CEAGBE

VBF=AG

,CG_CE

BF-BE'

DB=DC,

，NDBC=NDCB,即NFBE=NGCE,

ABFESACGE,

(2),/EG//AB,

.\ZBAE=ZAEG,

又???NAEG=NC,

；./BAE=/C,

又?.,NABE=NCBA共用,

.".△ABEcoACBA,

ABBE

-----=------,NBEA=NBAC,

BCAB

???AB2=BC.BE-

由(1)ABFE^/\CGE,

.*.ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,

:EG//AB,

NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,

/.ZBAC=ZGEC=ZABC=ZEGC,

.\AC=BC,GC=EC,

；.AG=BE,

AB2=BC.BE=AC.AG.

BE

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，掌握相似三角形

的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，會利用換比的方法證三角形相似，會利用相似

證角等轉化邊角關系是解題關鍵.

24.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點4(一1,0)、8(3,0)、C(0,3)，拋物線

y+Z?x+c經過A、B兩點.

(1)當該拋物線經過點C時，求該拋物線的表達式；

(2)在(1)題的條件下，點尸為該拋物線上一點，且位于第三象限，當

NPBC=NACB時，求點尸的坐標；

(3)如果拋物線y="2+0x+c的頂點。位于ABOC內，求。的取值范圍.

【解析】

【分析】(1)將點A(-1,0)、8(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=謁+法+。,利用待定

系數法即可求解：

(2)先證明△AOC絲aEOBlASA)得出E(0,-1),利用待定系數法求出直線PB的解析

式，根據P是直線與拋物線的交點，聯立解析式即可求出P點的坐標；

(3)根據拋物線丁=。無2+以+。經過4(—1,0)、8(3,0),求得拋物線解析式，從而表

示出頂點D的坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式，當x=l時，y=2,根據D位

于ABOC內部，列出關于a的不等式即可求解.

【詳解】(1)將點A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c

a-b+c=O

得：<9a+3>b+c=0,

c=3

a=-1

解得："=2,

c=3

拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3.

(2)如圖：

.\OB=OC

ZOBC=ZOCB

當NPBC=/ACB時，則NPBC-/OBC=NACB-/OCB

E|JZPBO=ZACO

設PB交y軸于點E,

在4AOCWAEOB中

ZPBO=NACO

<OB=OC,

ZEOB=ZAOC

：.AAOC^AEOB(ASA)

/.OE=OA=1

AE(O,-1)

設PB的解析式為y=mx+n

將B(3,0),E(0,-1)代入

3m+n=0

得《

n=-1

1

m=—

解得《3,

n=-1

直線PB的解析式為y=；x-l,

y=-_1

聯立解析式彳3x,

y——x~+2x+3

4

x——

x,=32

解得《3

IM=o13

29

413

P(-7

(3)如圖，

?.，y=ax2+bx+c經過A(T,0)、B(3,0)

y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a

一2。

???對稱軸為直線x=-——=1,頂點D的坐標為(1,-4a)

2a

由B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式為y=-x+3

當x=l時，y=2

因此當D位于ABOC內時

0<-4a<2

解得一,VaVO

2

即a的取值范圍是＜a＜0.

2

【點睛】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次

函數、二次函數的解析式、全等三角形的性質和判定，證得AAOC絲aEOB,從而得到E

的坐標是解題的關鍵.

25如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,8C=4,過點A作射線

點。、E是射線4W上的兩點(點。不與點A重合，點E在點。右側)，連接3D、BE

分別交邊AC于點/、G,NDBE=NC.

(1)當AD=1時，求FB的長

(2)設AD=x,FG=y,求＞關于》的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

(3)聯結力G并延長交邊8c于點H,如果△08〃是等腰三角形，請直接寫出A。的

長.

4/—4V-+36937

【答案】(1)FB=-M；(2)y=(0<x<4)；(3)AO=一或一或一.

5.5x+2()\'428

【解析】

4(f+9)

【分析】

4x+9