第頁28.2.2應用舉例第二課時〔劉佳〕一、教學目標1．核心素養通過解直角三角形應用舉例的學習，初步形成根本的運算能力、推理能力、應用意識.2．學習目標〔1〕1.1.1理解方位角、坡角等概念．〔2〕1.1.2能將實際問題抽象成數學問題，并用解直角三角形的方法來解決.〔3〕1.1.3能利用解直角三角形來靈活求解其他非直角三角形的問題．3．學習重點 熟練運用解直角三角形的方法來解決方位角、坡角相關的實際問題.4．學習難點將實際問題抽象為數學模型．二、教學設計〔一〕課前設計1．預習任務 任務1閱讀教材P76-P79，思考：什么是方位角、坡角？ 任務2閱讀教材P76-P79，思考：怎么利用方位角、坡角和解直角三角形的知識解決實際應用問題？2．預習自測一、填空題1．如圖，一個小球由地面沿著坡度i＝1∶2的坡面向上前進了10m，此時小球距離地面的高度為______m.答案：25解析：過點B作BC⊥AC，如以下圖所示.∵AB=10米，tanA=BC/AC=1/2，∴設BC=x，那么AC=2x，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=25，∴BC=25米.2．從A看B是北偏東25度，那么從B看A是______方向.答案：南偏西解析：略二、解答題3．如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島150海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達位于小島南偏東60°方向的B處．(1)求漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離(結果用根號表示)；(2)假設漁船以20海里/小時的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達小島M的航行時間．(結果精確到0.1小時)(參考數據：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)答案：見解析解析：(1)過點M作MD⊥AB于點D，∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°.∵AM＝150海里，∴MD＝AMcos45°＝75eq\r(2)(海里)．答：漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離是75eq\r(2)海里．(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°.∵MD＝75eq\r(2)海里，∴MB＝eq\f(MD,cos30°)＝50eq\r(6)(海里)．∴50eq\r(6)÷20＝≈×2.45＝6.125≈6.1(小時)．答：漁船從B到達小島M的航行時間約為6.1小時．〔二〕課堂設計1．知識回憶〔1〕銳角三角函數：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別記為a、b、c，假設∠C=90°，那么，cosA＝＝，tanA＝＝.〔2〕勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．〔3〕含30°角的直角三角形的三邊比為；含45°角的直角三角形的三邊比為.〔4〕30°、45°、60°角的三角函數值：，，，，，，，，.2．問題探究問題探究一什么是方位角、坡角？重點知識★ ●活動一方位角的定義1．方位角：從正北方向或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如下圖，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．2．說出以下射線的方向．射線OA是北偏東55°，射線OB是南偏東30°，射線OC是南偏西35°，射線OD是北偏西45°或西北方向． ●活動二坡角的定義坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．坡度i與坡角α之間的關系：i＝eq\f(h,l)＝tanα.問題探究二方位角、坡角在解直角三角形中有什么應用？重點知識★ ●活動一應用知識，解決問題例1.如下圖，海中一小島A，該島四周10海里內有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續向東航行，你認為貨輪向東航行的途中會有觸礁的危險嗎？【知識點：解直角三角形；數學思想：數形結合、轉化思想】詳解：如下圖，過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.∴輪船繼續向東行駛，不會有觸礁危險．點撥：觸礁問題的本質是求點到直線的距離，一般作垂線，通過解兩次直角三角形來求公共邊長度〔即距離〕.例2.同學們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現在有這樣一個問題請你解決：如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)【知識點：解直角三角形；數學思想：數形結合、轉化思想】詳解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝eq\f(1,3)≈0.33，∴α≈18.43°，∵eq\f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq\f(BE,sinα)＝eq\f(23,0.3162)≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α約為18.43°，壩底寬AD為132.5m，斜坡AB的長約為72.7m.點撥：求解坡角相關的問題，一般作高把斜坡放到直角三角形中來求解. ●活動二方法總結利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：1．將實際問題抽象為數學問題〔畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題〕．2．根據條件的特點，適中選用銳角三角函數等去解直角三角形．3．得到數學問題的答案．4．得到實際問題的答案．問題探究三怎樣靈活運用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關的問題？重點、難點知識★▲構造根本圖形角直角三角形的實際問題：●活動一構造單一直角三角形例1：平放在地面上的直角三角形鐵板ABC的一局部被沙堆掩埋，其示意圖如下圖．量得∠A為54°，斜邊AB的長為2.1m，BC邊上露出局部的長為0.9m．求鐵板BC邊被掩埋局部CD的長．(結果精確到0.1m，參考數據：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)【知識點：解直角三角形；數學思想：數形結合、轉化思想】詳解：由題意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AB)，那么BC＝AB·sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，那么CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．●活動二構造母子三角形例2：如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內有暗礁，一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達點B處，這時觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向．如果海輪繼續向正東方向航行，會有觸礁的危險嗎？試說明理由．(參考數據：eq\r(3)≈1.73)【知識點：解直角三角形；數學思想：數形結合、轉化思想】詳解：沒有觸礁的危險．理由如下：作PC⊥AB于C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，設PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，∴△PBC為等腰直角三角形．∴BC＝PC＝x.在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝eq\f(PC,AC)，∴AC＝eq\f(PC,tan30°)，即8＋x＝eq\f(x,\f(\r(3),3))，解得x≈10.92，即PC≈10.92.∵10.92>10，∴海輪繼續向正東方向航行，沒有觸礁的危險．●活動三構造背靠背三角形例3：如圖，一艘海輪在A點時測得燈塔C在它的北偏東42°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達B處，此時燈塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離(結果精確到0.1)；(2)求海輪在B處時與燈塔C的距離(結果保存整數)．(參考數據：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)【知識點：解直角三角形；數學思想：數形結合、轉化思想】詳解：(1)過C作CD⊥AB于點D.根據題意得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.設CD的長為x海里，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，那么AD＝x·tan42°.在Rt△BCD中，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)，那么BD＝x·tan55°.∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，∴x·tan42°＋x·tan55°＝80.解得x≈34.4.答：海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離是34.4海里．(2)在Rt△BCD中，cos55°＝eq\f(CD,BC)，∴BC＝eq\f(CD,cos55°)≈60(海里)．答：海輪在B處時與燈塔C的距離是60海里．●活動四與梯形有關的角直角三角形例4：如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，斜面坡度i＝1∶eq\r(3)是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積．(結果保存小數點后一位．參考數據：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)【知識點：解直角三角形；數學思想：數形結合、轉化思想】詳解：過點A作AF⊥BC，垂足為點F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝ABsinB＝6sin60°＝3eq\r(3)，BF＝ABcosB＝6cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四邊形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3eq\r(3)，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(1,\r(3))，∴EC＝eq\r(3)ED＝eq\r(3)×3eq\r(3)＝9.∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·DE＝eq\f(1,2)(4＋16)×3eq\r(3)≈52.0.答：攔水壩的橫斷面ABCD的面積約為52.0.3．課堂總結【知識梳理】〔1〕方位角：從正北方向或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角叫做方向角。〔2〕坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．坡度i與坡角α之間的關系：i＝eq\f(h,l)＝tanα.【重難點突破】〔1〕題中沒有直角三角形，或直角三角形不可用時，常常作輔助線構造直角三角形.〔2〕構造直角三角形，常用輔助線為延長或作高，但一般不破壞特殊角或角.4．隨堂檢測一、選擇題1．如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM＝100海里，那么該船繼續航行多少海里可使漁船到達離燈塔距離最近的位置〔〕A．50海里B．50eq\r(3)海里C．100海里D．海里答案：B解析：如圖，過M作東西方向的垂線，設垂足為N．易知：∠MAN=90°-60°=30°．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，

∴AN=AM?cos∠MAN=100×32=503故該船繼續航行503海里可使漁船到達離燈塔距離最近的位置,應選B.【知識點：解直角三角形的應用；數學思想：數形結合】2．四個規模不同的滑梯A，B，C，D，它們的滑板長(滑板是平直的)分別為300m，250m，200m，200m；滑板與地面所成的角度分別為30°，45°，45°，60°，那么關于四個滑梯的高度正確說法〔〕A．A的最低B．B的最低C．C的最低D．D的最低答案：C解析：A的高度為：300×sin30°=150〔米〕．B的高度為：250×sin45°=1252≈176.75〔米〕．C的高度為：200×sin45°=1002≈141.4〔米〕．D的高度為：200×sin60°=1003≈173.2〔米〕．所以C的最低．【知識點：解直角三角形的應用；數學思想：數形結合】二、填空題3．如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為14m，斜面坡度為1∶2，那么斜坡AB的長為______m.答案：6解析：在Rt△ABC中，∵i=BCAC=1根據勾股定理得：AB=AC2+BC【知識點：解直角三角形的應用；數學思想：數形結合】4.如圖，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60°的方向，前進36海里到達B點，此時，測得海島C