2021-2022學年河南省新鄉市高二下學期第二次月考數學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則中元素的個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．無數個【答案】C【分析】根據集合的并集運算即可求解.【詳解】，故中元素的個數是4故選：C2．若復數z滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡即可；【詳解】解：因為，所以，所以；故選：C3．已知命題；命題，則下列為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷命題的真假，結合選項可得答案.【詳解】因為當時，，所以為假命題；因為當時，，所以為真命題；所以為真命題.故選：B.4．若曲線在點處的切線的斜率為，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據求解即可.【詳解】根據題意得：，所以，解得.故選：A.5．雙曲線的一條漸近線為，則其焦距為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線漸近線方程和的關系計算即可.【詳解】由題易知，而，所以，焦距．故選：D．6．函數的部分圖象如圖所示，則下列結論成立的是（

）A．y＝f(x)的遞增區間為，k∈ZB．C．成立的區間可以為D．y＝f(x)其中一條對稱軸為【答案】C【分析】根據函數圖象，應用五點法求得，結合余弦型函數的性質求單調區間、解不等式判斷A、B、C，代入法判斷對稱軸.【詳解】由題設，，則，故，若，則，由，則，，由，滿足要求，不妨設，所以；若，則，由，則，，由，滿足要求，不妨設，則.綜上，，B錯誤；令，，可得，，所以遞增區間為，，A錯誤；，則，，所以，，當有，C正確；，故不是對稱軸，D錯誤.故選：C7．展開式中的系數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出展開式通項，令的指數為，求出參數后代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，因為，在中，令，可得，在中，令，可得，因此，展開式中的系數為.故選：B.8．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D9．函數的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用定義域和奇偶性排除選項D，再利用特殊值排除選項A、C.【詳解】因為的定義域為，且，所以為偶函數，其圖象關于軸對稱，故排除選項D；又，所以排除選項A；又，所以排除選項C.故選：B．10．已知，在中任取一點，則事件“”發生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幾何概型的面積類型即可求出答案.【詳解】如圖，表示以原點為圓心，半徑為1的圓及其內部的區域，其面積為，事件“”表示點，落在為頂點得正方形及其內部，其面積為，故概率為：.故選：C.11．已知一組數據的平均數為，標準差為.若的平均數與方差相等，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平均數和方差的定義以及題目所給的條件，求出與的關系表達式，將看作關于的函數，求函數最大值即可.【詳解】由題意可得，則.因為，所以，解得.令，設，則，從而，；故選：A.12．已知，，，則它們的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造函數可證，又，可得，即可證．【詳解】解：由令，則，當，；當，；所以在上單調遞增，在上單調遞減，且則，因此，所以又因為，所以，得故，有.綜上，.故選：B二、填空題13．已知向量，且，則________．【答案】4【分析】根據向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】解：因為向量，且，所以，解得故答案為：14．“五經”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經》、《禮記》、《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經”知識講座，每經排1節，連排5節，則《詩經》、《春秋》分開排的情況有________種．【答案】【分析】由于《詩經》、《春秋》分開排，先將《周易》、《尚書》、《禮記》進行排列，然后再把《詩經》、《春秋》插入到4個空位中即可得到答案【詳解】先將《周易》、《尚書》、《禮記》進行排列，共有種排法再從產生的4個空位中選2個安排《詩經》、《春秋》，共有種排法所以滿足條件的情形共有種．故答案為：15．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．【答案】9【分析】方法一：先根據角平分線性質和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．【詳解】［方法一］：【最優解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡得，即，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.故答案為：.［方法二］：角平分線性質＋向量的數量積＋基本不等式由三角形內角平分線性質得向量式．因為，所以，化簡得，即，亦即，所以，當且僅當，即時取等號．［方法三］：解析法＋基本不等式如圖5，以B為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設，．因為A，D，C三點共線，則，即，則有，所以．下同方法一．［方法四］：角平分線定理＋基本不等式在中，，同理．根據內角平分線性質定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質得，整理得，當時，可解得．當時，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在與中，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．所以，由正弦定理得，即，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如圖6，作，交的延長線于E．易得為正三角形，則．由，得，即，從而．下同方法一．【整體點評】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關系，再根據基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規也簡潔，是本題的最優解；方法二：利用角平分線的性質構建向量的等量關系，再利用數量積得到的關系，最后利用基本不等式求出最值，關系構建過程運算量較大；方法三：通過建立直角坐標系，由三點共線得等量關系，由基本不等式求最值；方法四：通過解三角形和角平分線定理構建等式關系，再由基本不等式求最值，計算量較大；方法五：多次使用正弦定理構建等量關系，再由基本不等式求最值，中間轉換較多；方法六：由平面幾何知識中的相似得等量關系，再由基本不等式求最值，求解較為簡單．16．已知是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為，則球心O到平面的距離為___________．【答案】【分析】先由三角形面積公式及正弦定理求得外接圓半徑，再由球的表面積求出球的半徑，由勾股定理計算距離即可.【詳解】設的邊長為，外接圓半徑為，則，解得，由正弦定理可得，解得.設球O的半徑為，則，解得，則球心O到平面的距離為.故答案為：.三、解答題17．已知等比數列的前n項和為，且，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設數列的公比為q，然后由已知條件列方程求出，從而可求出通項公式，（2）由（1）可得，從而得，然后利用錯位相減法求【詳解】（1）設數列的公比為q，由，，得，解得，所以；（2）由（1）可得，所以，，，所以，所以.18．如圖，在四棱錐中，，，，，，，，．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明出平面，可得出，再由結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）過點作，交于點，過點作且，證明出平面，然后以點為空間直角坐標系原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.【詳解】（1）證明：因為，，，所以，則，又，，所以平面，

平面，所以，又，，所以平面．（2）解：過點作，交于點，過點作且，平面，平面，則，且，故平面，以點為空間直角坐標系原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，平面，平面，則，，，則，所以，且，，則，則、、，，設平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，，則，因此，二面角的正弦值為.19．2022年2月4日，第24屆北京冬奧會在國家體育館隆重開幕，本屆冬奧會吸引了全球91個國家和地區的2892名冰雪健兒前來參賽.各國冰雪運動健兒在“一起向未來”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強、更團結”的奧林匹克新格言，創造了一項又一項優異成績，中國隊9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金牌數和獎牌數均創歷史新高.中國健兒在賽場上努力拼搏，激發了全國人民參與冰雪運動的熱情，憨態可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛.某商場舉行“玩摸球游戲，領奧運禮品”的促銷活動，活動規定：顧客在該商場一次性消費滿300元以上即可參加摸球游戲.摸球游戲規則如下：在一個不透明的袋子中裝有10個大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍色、綠色小球分別有1個、2個、3個、4個，每個小球上都標有數字代表其分值，白色小球上標30、紅色小球上標20、藍色小球上標10、綠色小球上標5.摸球時一次只能摸一個，摸后不放回.若第一次摸到藍色或綠色小球，游戲結束，不能領取奧運禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次.若摸到球的總分不低于袋子中剩下球的總分，則可免費領取奧運禮品.(1)求參加摸球游戲的顧客甲能免費領取奧運禮品的概率；(2)已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設其摸球所得總分為X，求X的分布列與數學期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）分甲第一次摸到白球或者紅球兩種情況討論，利用互斥事件的概率和古典概型的概率公式求解；（2）由條件可知，再求出對應的概率即得解.【詳解】（1）解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個球的顏色若都是紅色，或者一紅一藍即可領取奧運禮品，其概率為；若甲第1次摸到紅球，再摸2個球的顏色若是一白一紅，一白一藍即可領取奧運禮品，其概率為；

所以顧客甲能免費領取奧運禮品的概率為.（2）解：由條件可知，，，，，，，，，于是的分布列為：7060555045403530其數學期望為.20．已知橢圓方程為，若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．(1)求該拋物線的方程；(2)過拋物線焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，分別在點A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應的直線l的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；最小值為64，此時直線l的方程為【分析】（1）先求出橢圓的焦點，從而可求得的值，求出，進而可得拋物線的方程，（2）由題意可得直線l的斜率存在，則設直線l的方程為，設，，將直線方程代入拋物線方程中消去，利用根與系數的關系，利用導數的幾何意義求出切線的方程，聯立求出點的坐標，則利用點到直線的距離公式求出到直線的距離，再利用弦長公式求出，從而可表示出的面積，進而可求出其最小值【詳解】（1）由橢圓，知．又拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．所以，則．所以拋物線的方程為．（2）由拋物線方程知，焦點．易知直線l的斜率存在，則設直線l的方程為．由消去y并整理，得．．設，，則，．對求導，得，∴直線AP的斜率，則直線AP的方程為，即．同理得直線BP的方程為．設點，聯立直線AP與BP的方程，即．，點P到直線AB的距離，所以的面積，當且僅當時等號成立．所以面積的最小值為64，此時直線l的方程為．21．已知函數．（1）設是的極值點．求，并求的單調區間；（2）證明：當時，．【答案】(1)a=；增區間為，減區間為．(2)證明見解析.【分析】（1）先確定函數的定義域，利用，求得a=，從而確定出函數的解析式，再解不等式即可求出單調區間；（2）方法一：結合指數函數的值域，可以確定當時，，之后構造新函數，利用導數研究函數的單調性，從而求得，利用不等式的傳遞性，證得結果.【詳解】（1）的定義域為，，則，解得：，故．易知在區間內單調遞增，且，由解得：；由解得：，所以的增區間為，減區間為．（2）［方法一］：【最優解】放縮法當時，.設，則.當時，；當時，.所以是的最小值點.故當時，.因此，當時，.［方法二］：【通性通法】隱零點討論因為，所以在區間內單調遞增．設，當時，，當時，，所以在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，且，所以．設，則．所以在區間內單調遞減，故，即成立．［方法三］：分離參數求最值要證時，即，則證成立．令，則．令，則，由知在區間內單調遞減，從而在內單調遞增，在區間內單調遞減．所以，而，所以恒成立，原命題得證．［方法四］：隱零點討論＋基本不等式，結合與的圖像，可知有唯一實數解，不妨設，則．易知在區間內是減函數，在區間內是增函數．所以．由，得．．當且僅當，即時，，所以．［方法五］：異構要證明，即證，即證明，再證明即可．令，．設，則．若時，在上恒成立，所以；若時，當時；當時，．所以為的極小值點，則．因為，所以，所以．令．當時，；當時，，所以為的極小值點．則，所以，即．所以．［方法六］：高階函數借位構建有界函數．令，則．令．顯然為定義域上的增函數．又，故當時，，得；當時，，得．即在區間上為減函數，在區間上為增函數，故．即恒成立，而恒成立．【整體點評】（2）方法一：利用的范圍放縮，轉化為求具體函數的最值，是該題