概率論與數理統計第八章假設檢驗參數假設檢驗非參數假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題.總體分布已知，檢驗關于未知參數的某個假設總體分布未知時的假設檢驗問題

在本講中，我們將討論不同于參數估計的另一類重要的統計推斷問題.這就是根據樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.第一節基本概念讓我們先看一個例子.這一講我們討論對參數的假設檢驗.

某工廠生產10歐姆的電阻.根據以往生產的電阻實際情況,可以認為其電阻值X～N(,2),標準差σ=0.1.現在隨機抽取10個電阻,測得它們的電阻值為:9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,10.5,10.1,10.2.

試問:從這些樣本,我們能否認為該廠生產的電阻的平均值為10歐姆?例1(一)一個例子

確定總體:記X為該廠生產的電阻的測量值.根據假設,X～

N(,2),這里=0.1.

明確任務:

通過樣本推斷X的均值μ是否等于10歐姆.

Hypothesis:上面的任務就是要通過樣本去檢驗“X的均值μ=10”這樣一個假設是否成立.(在數理統計中把“X的均值μ=10”這樣一個待檢驗的假設記作“H0:μ=10”稱為“原假設”或“零假設”問題怎么建立:

原假設的對立面是“X的均值μ≠10”記作“H1:μ≠10”稱為“對立假設”或“備擇假設”.把它們合寫在一起就是:

H0:μ=10

H1:μ≠10解決問題的思路分析:

∵樣本均值是μ的一個良好估計.∴如果μ=10,即原假設成立時,那么:

應該比較小.反之,如果它過于大,那么想必是原假設不成立.

的大小可以用來檢驗原假設是否成立.這里的問題是,我們如何確定常數c呢

合理的思路是找出一個界限c,

細致的分析:根據定理6.4.1,

∵n=10=0.1時,我們就接受原假設H0,當而當時,我們就拒絕原假設H0.

于是,當原假設H0:μ=10成立時,有:

為確定常數c,現在我們考慮一個相當小的正數(理由下面講).例如=0.05.

于是,當原假設H0:μ=10成立時,有:我們就拒絕原假設H0:μ=10.我們就接受原假設H0:μ=10.

現在我們就得到檢驗準則如下:

用以上檢驗準則處理我們的問題.∴接受原假設H0:μ=10.

我們的原假設是H0:μ=10由上面分析,當H0成立時,有:

∵相當小.這就是說:如果H0這個假設是正確的話,檢驗統計量落入拒絕域就是一個發生的概率很小的事件.過去我們提到過,通常認為:小概率事件在一次試驗中基本上是不會發生的.(我們把它稱做實際推斷原理.)(II)道理那么如果小概率事件發生了,即:

我們就拒絕,這時我們說:“H0不成立.”

下面我們指出這很符合人們的邏輯,實際上這種思維也叫:

帶概率性質的反證法

通常的反證法設定一個假設以后,如果出現的事實與之矛盾,(即如果這個假設是正確的話,出現一個概率等于0的事件)則絕對地否定假設.

帶概率性質的反證法的邏輯是:

即如果假設H0是正確的話,出現一個概率很小的事件,則以很大的把握否定假設H0.

∵檢驗一個H0時是根據檢驗統計量來判決是否接受H0的,而檢驗統計量是隨機的,這就有可能判決錯誤.這種錯誤有以下兩類:H0事實上是正確的,但被我們拒絕了,稱犯了“棄真”的(或稱第一類)錯誤.H0事實上是不正確的,但被我們接受了,稱犯了“采偽”的(或稱第二類)錯誤.(III)兩類錯誤與顯著性水平

假設檢驗的兩類錯誤H0為真實際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.

由于檢驗統計量的隨機性,所以無論犯以上哪類錯誤都是隨機事件,從而都有一定的概率.當樣本容量n固定,犯兩類錯誤的概率就不能同時被控制.

在統計學中,通常控制犯第一類錯誤的概率.一般事先選定一個數,(0<<1),要求犯第一類錯誤的概率≤.

稱為假設檢驗的顯著性水平,簡稱水平.

由于犯第二類錯誤的概率的研究與計算超出了本書的范圍,因此不作討論.

說明例1(續)分析該例的顯著性水平我們就拒絕原假設H0:μ=10.

現在讓我們分析一下:

取上述c后,如果假設H0是正確的,卻被我們拒絕了,即犯第一類錯誤的概率是多少.

可見此例我們用的檢驗方法犯第一類錯誤的概率等于.∴顯著性水平等于.∵當原假設H0:μ=10成立時,有:分析:

一般我們把顯著性水平限定在一個比較小的值,通常=0.05或0.01.

這樣,如果H0是正確的

這就是說:如果H0是正確的話,檢驗統計量落入拒絕域就是一個小概率事件.

說明

如果根據舊經驗我們很相信H0是對的.要使人樂意放棄這個信念就要有十分過硬的依據,此時應取得很小.

注

如果根據舊經驗我們很相信H0是對的.要使人樂意放棄這個信念就要有十分過硬的依據,此時應取得很小.

第八章第二節正態總體均值的假設檢驗一、單個正態總體N(,2)均值的檢驗(I)H0:μ=μ0

H1:μ≠μ0

設X1,X2,,Xn為來自總體N(,2)的樣本.求:對以上假設的顯著性水平=的假設檢驗.

方差2已知的情況

根據第一節例1,當原假設H0:μ=μ0

成立時,有:

于是當原假設H0:μ=μ0

成立時,有:

方差2未知的況

根據定理6.4.1,

以上檢驗法叫檢驗法.

n=10,=0.05,0=10t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622

以上檢驗法叫t檢驗法.例1(用例數據,但未知)

上一段H0:μ=μ0

H1:μ≠μ0中H1:μ≠μ0叫雙邊對立假設,上一段我們學習的叫雙邊檢驗.

∴接受原假設H0:μ=10.(II)單邊檢驗H0:μ=μ0

H1:μ>μ0問題的來源:

而H0:μ=μ0

H1:μ>μ0中我們要處理的假設檢驗叫右邊檢驗.

類似,H0:μ=μ0

H1:μ<μ0中我們要處理的假設檢驗叫左邊檢驗.

這種形式的假設檢驗問題叫單邊檢驗.它們也很有實用意義.

例如:工廠生產的一種產品的某項指標平均值為μ0,采用了新技術或新配方后,被認為產品質量提高了,該指標的平均值應該隨之上升.

我們想看看是否有顯著上升.

于是問題就是檢驗:H0:μ=μ0

━━即新技術或新配方對于提高產品質量無效果.

還是H1:μ>μ0

━━即新技術或新配方確實有效,提高了產品質量.解決問題的思路:如果μ=μ0,即原假設成立時,那么:

就不應該太大.反之,如果它過于大,那么想必是原假設不成立.方差2

已知的情況求解:根據定理6.4.1,

∴當原假設H0:μ=μ0

成立時,有:

于是當原假設H0:μ=μ0

成立時,有:

方差2未知的情況

根據定理6.4.1,

某廠生產一種工業用繩,其質量指標是繩子所承受的最大拉力.假定該指標服從正態分布.

原來該廠生產的這種繩子平均最大拉力μ0=15公斤.現在采用了一種新的原材料,廠方稱這種原材料提高了繩子的質量,也就是說繩子所承受的最大拉力μ比15公斤大了.

為了檢驗該廠的結論是否真實,從其新產品中隨機抽取50件,測得它們承受的最大拉力的平均值為15.8公斤,樣本標準差S=0.5公斤.取顯著性水平

=0.01.例2

問從這些樣本看,我們能否接受廠方的結論,即新原材料是否確實提高了繩子的質量?

問題歸結為檢驗如下假設

H0:μ=15

H1:μ>15(方差2未知)此處n=50,=0.01,標準差S=0.5.解:

∴我們拒絕原假設,認為新的原材料確實提高了繩子所能承受的最大拉力.

查不到t49(0.01),利用性質:

給定

,tn()關于自由度n是單調下降的.

我們查t45(0.01)=2.41,

則t49(0.01)<t45(0.01)=2.41二、兩個正態總體N(1,12)和

N(2,22)均值的比較

在應用上,我們經常會遇到兩個正態總體N(1,12)和N(2,22)均值的比較問題.譬如:

欲比較甲、乙兩廠生產的某種產品的質量.

我們把兩廠生產的產品的質量指標分別看成兩個正態總體N(1,12)和N(2,22).比較它們的產品質量指標的問題,就變為比較這兩個正態總體的均值1和2的問題.

欲考察一項新技術對提高產品質量是否有效.

我們把新技術實施前后生產的產品質量指標分別看成一個正態總體N(1,12)和N(2,22).這時,我們所考察的問題,就歸結為檢驗這兩個正態總體的均值1和2是否相等的問題.

設X1,X2,,Xm.Y1,Y2,,Yn分別為來自正態總體N(1,12)和N(2,22)的樣本.考慮檢驗假設:根據定理(I)H0:1=2

H1:1≠2

（1）方差12和22已知的情況∴當H0:1=2為真時

∴當H0:1=2為真時

∴拒絕域為（2）方差12=22=2但2未知的情況根據定理5.1∴當H0:1=2為真時∴拒絕域為其中:

上面,我們假定12=22.當然,這是個不得已加上去的條件.但如果不加此條件,就無法使用簡單易行的t檢驗了.

在實用中,只要我們有理由認為12和22相差不是太大就可以使用上面方法.通常是如果方差比檢驗未被拒絕(見下節),就認為12和22相差不是太大.

上面,我們假定12=22.當然,這是個不得已加上去的條件.但如果不加此條件,就無法使用簡單易行的t檢驗了.

在實用中,只要我們有理由認為12和22相差不是太大就可以使用上面方法.通常是如果方差比檢驗未被拒絕(見下節),就認為12和22相差不是太大.

說明

假設有A,B兩種藥,欲比較它們在服用2小時后血液中的含量是否一樣.

對藥品A,隨機抽取8個病人,他們服藥2小時后,測得血液中藥的濃度(用適當的單位)為:1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.60,1.76.

對藥品B,隨機抽取6個病人,他們服藥2小時后,測得血液中藥的濃度為:1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81.

假定這兩組觀測值抽自于具有共同方差的兩個正態總體.在顯著性水=0.10下,

試檢驗病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?例3

∴接受原假設.即認為病人血液中這兩種藥濃度無顯著差異.解:

問題就是從總體

X～N(1,2)和Y～N(2,2).分別抽取樣本X1,X2,,X8和Y1,Y2,,Y6.

其樣本均值,樣本方差分別算得為:

與(I)分析完全類似,得到:(II)單邊檢驗H0:1=2

H1:1<2

方差12和22已知的情況,拒絕域為:

方差12=22=2但2未知的情況,拒絕域為:

類似(一)(II)’的分析,拒絕域和

H0:1=2

H1:1<2

是一樣的.

兩個正態總體與成對數據的區別兩個正態總體━━假定來自這兩個正態總體的兩組樣本是相互獨立的.

成對數據━━兩組樣本是來自對同一個總體上的重復測量,它們是成對出現的且是相關的.(II)單邊檢驗H0:1≥2

H1:1<2

三、成對數據的t檢驗例如:為了考察一種降血壓藥的效果,測試了n個高血壓病人服藥前后的血壓分別為X1,X2,,Xn和Y1,Y2,,Yn.

這里(Xi,Yi)是第i個病人服藥前和服藥后的血壓.它們是有關系的,不會相互獨立.

另一方面,X1,X2,,Xn是n個不同病人的血壓,由于各人體質諸方面的條件不同,∴這n個觀測值不能看成來自同一個正態總體的樣本.同樣,Y1,Y2,,Yn也不能看成來自同一個正態總體的樣本.

這樣的數據稱為成對數據.

∵(Xi,Yi)是在同一個人身上觀測到的血壓,∴Xi-Yi就消除了人的體質諸方面的條件差異,僅剩下降血壓藥的效果.

∴我們可以把di=Xi-Yi,i=1,2,,n.看成來自正態總體N(,2)的樣本.

其中就是降血壓藥的平均效果.

一般的成對數據同樣也是這樣轉變的.用(一)中所學,就是作檢驗:H0:μ=μ0

H1:μ≠μ0H0:μ=μ0H1:μ>μ0H0:μ≤μ0

H1:μ>μ0

處理成對數據的思路

為了檢驗A,B兩種測定鐵礦石含鐵量的方法是否有明顯差異,現用這兩種方法測定了取自12個不同鐵礦的礦石標本的含鐵量(%),結果列于表8.2.1.

問這兩種測定方法是否有顯著差異?取=0.05.

通常是方差2未知的情況

這個檢驗通常稱為成對t檢驗.例4

將方法A和方法B的測定值分別記為X1,X2,,X12和Y1,Y2,,Y12.解:

∵這12個標本來自不同鐵礦,∴X1,X2,,X12不能看成來自同一個總體的樣本,同理,Y1,Y2,,Y12也不能看成來自同一個總體的樣本.故需用成對t檢驗.記

di=Xi-Yi,i=1,2,,12.

所以我們接受原假設,即認為兩種測定方法無顯著性差異.假設檢驗和區間估計的關系請看演示假設檢驗和區間估計

提出假設

根據統計調查的目的,提出原假設H0

和備選假設H1作出決策抽取樣本檢驗假設

對差異進行定量的分析，確定其性質(是隨機誤差還是系統誤差.為給出兩者界限，找一檢驗統計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯誤的概率，W為拒絕域總結在大樣本的條件下，若能求得檢驗統計量的極限分布，依據它去決定臨界值C.F檢驗用F分布一般說來，按照檢驗所用的統計量的分布,分為U檢驗用正態分布t檢驗用t分布檢驗用分布

第八章第三節正態總體方差的檢驗利用樣本方差一、單個正態總體方差的χ2檢驗

設X1,X2,,Xn為來自總體N(,2)的樣本,,2未知.求:對以下假設的顯著性水平=的假設檢驗.思路分析:是2的一個無偏估計.(I)H0:2=02

H1:2≠02

∴當原假設H0:2=02成立時,S2和02應該比較接近,即比值S2/02應比較接近于1.∴這個比值過大或過小應拒絕原假設.

把S2/02乘以常數n-1

合理的思路是找出兩個界限c1和c2,

當c1<(n-1)S2/02<c2時,就接受H0.

當(n-1)S2/02≤c1

或(n-1)S2/02≥c2時,就拒絕H0.

下面確定常數c1與c2.

根據定理6.4.1

于是,當原假設H0:2=02成立時,有:

以上檢驗法叫χ2檢驗法.

∴H0:2=02成立時,有:指并集(II)H0:2=02

H1:2>02

同理,H0:2=02成立時,有:

此檢驗法也叫χ2檢驗法.

相對于正態總體均值的檢驗,方差檢驗的重要性要遜色得多,但也有一些應用.

例如,機器加工出的產品的尺寸服從正態分布.這個正態分布的方差2刻畫了生產過程的穩定性.2越大,表示整個生產過程綜合誤差越大.

因此,我們需要知道2是否超過了一個預定界限.(II)’H0:2≤02

H1:2>02

同(II)

應用

某公司生產的發動機部件的直徑X～

N(,2).

該公司稱它的標準差0=0.048cm.

現隨機抽取5個部件,測得它們的直徑為1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.取=0.05.

問:(1)我們能否認為該公司生產的發動機部件的直徑的標準差確實為=0?(2)我們能否認為2≤02?

(1)問題就是

H0:2=02

H1:2≠02n=5=0.0502=0.0482解:例1

∴我們應該拒絕H0,即認為發動機部件的直徑標準差不是0.048cm.

∴我們應該拒絕H0,即認為發動機原部件的直徑標準差超過了0.048.

(2)問題就是

H0:2≤02

H1:2>02

這個檢驗主要用于上節實施兩樣本t檢驗前,關于12

=22假設是否合理.

∵兩總體N(1,12)和N(2,22)的樣本方差S12和S22是方差12和22的無偏估計.∴直觀上,S12/S22是12/22的一個估計.二、兩個正態總體方差比的F檢驗

設X1,X2,,Xm.Y1,Y2,,Yn分別為來自正態總體N(1,12)和N(2,22)的樣本.考慮檢驗假設:(I)H0:12

=22

H1:12

≠22思路分析:

當H0:12

=22成立時,12/22=1,作為它們的估計,S12/S22也應與1相差不遠.∴這個比值過大或過小應拒絕原假設.

合理的思路是找出兩個界限c1和c2,

當c1<S12/S22<c2時,就接受H0.

當S12/S22≤c1

或S12/S22≥c2時,就拒絕H0

下面確定常數c1與c2.

根據定理6.4.1∴當H0:12

=22成立時,S12/S22～Fm-1,n-1.(II)H0:12

=22

H1:12

>22

同理H0:12

=22成立時有S12/S22～Fm-1,n-1

甲,乙兩廠生產同一種電阻,現從甲乙兩廠的產品中分別隨機抽取12個和10個樣品,并測得它們的電阻值.(II)’H0:12

≤

22

H1:12

>22

同(II)例2

以上檢驗都用到F分布,因此叫F檢驗法.解:

然后計算出樣本方差分別為S12=1.40,S22=4.38.

假設甲,乙兩廠生產的電阻的電阻值分別服從正態分布N(1,12)和N(2,22),在顯著性水平=0.10下,我們是否可以認為兩廠生產的電阻阻值的方差：

(l)12

=22(2)12

≤

22.

(1).問題就是

H0:12

=22

H1:12

≠22m=12,n=10S12=1.40,S22=4.38.∴S12/S22=0.32

再查P237附表5=0.10∴Fm-1,n-1(1-/2)=F11,9(0.95)=1/F9,11(0.05)=1/2.90=0.34∵S12/S22=0.32<0.34

∴

無須再查Fm-1,n-1(/2),

就得到結論:

拒絕H0:12

=22

利用第六章學過的性質,有:轉下頁

查P237附表5查不到F11,9(0.10)

改用F10,9(0.10)和F12,9(0.10)的平均值近似之:F11,9(0.10)=[F10,9(0.10)+F12,9(0.10)]/2≈[2.42+2.38]/2=2.40∵S12/S22=0.32<2.40∴接受H0:12

≤

22,即認為甲廠生產的電阻的阻值的方差較小.(2).問題就是

H0:12

≤

22

H1:12

>22

第八章第四節擬合優度檢驗

在前面的課程中，我們已經了解了假設檢驗的基本思想，并討論了當總體分布為正態時，關于其中未知參數的假設檢驗問題.

然而可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設.

例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發戰爭的次數可以看作一個隨機變量，椐統計，這432年間共爆發了299次戰爭，具體數據如下:戰爭次數X0123422314248154

發生X次戰爭的年數

在概率論中，大家對泊松分布產生的一般條件已有所了解，容易想到，每年爆發戰爭的次數，可以用一個泊松隨機變量來近似描述.也就是說，我們可以假設每年爆發戰爭次數分布X近似泊松分布.上面的數據能否證實X

具有泊松分布的假設是正確的？現在的問題是：又如，某鐘表廠對生產的鐘進行精確性檢查，抽取100個鐘作試驗，撥準后隔24小時以后進行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來.問該廠生產的鐘的誤差是否服從正態分布？再如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的.為檢驗骰子是否均勻，要把骰子實地投擲若干次，統計各點出現的頻率與1/6的差距.也就是說，在投擲中，出現1點，2點，…，6點的概率都應是1/6.得到的數據能否說明“骰子均勻”的假設是可信的？問題是：K.皮爾遜這是一項很重要的工作，不少人把它視為近代統計學的開端.

解決這類問題的工具是英國統計學家K.皮爾遜在1900年發表的一篇文章中引進的所謂

檢驗法.

檢驗法是在總體X的分布未知時，根據來自總體的樣本，檢驗關于總體分布的假設的一種檢驗方法.

H0：總體X的分布函數為F(x)然后根據樣本的經驗分布和所假設的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設.使用

對總體分布進行檢驗時，我們先提出原假設:檢驗法這種檢驗通常稱作擬合優度檢驗，它是一種非參數檢驗.

在用

檢驗假設H0時，若在H0下分布類型已知，但其參數未知，這時需要先用極大似然估計法估計參數，然后作檢驗.檢驗法分布擬合的

的基本原理和步驟如下:檢驗法3.根據所假設的理論分布,可以算出總體X的值落入每個Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的樣本值的理論頻數.1.將總體X的取值范圍分成k個互不重迭的小區間,記作A1,A2,…,Ak.2.把落入第i個小區間Ai的樣本值的個數記作fi

，稱為實測頻數.所有實測頻數之和f1+f2+…+fk等于樣本容量n.標志著經驗分布與理論分布之間的差異的大小.皮爾遜引進如下統計量表示經驗分布與理論分布之間的差異:統計量的分布是什么?在理論分布已知的條件下,npi是常量實測頻數理論頻數皮爾遜證明了如下定理:

若原假設中的理論分布F(x)已經完全給定，那么當時，統計量的分布漸近(k-1)個自由度的分布.

如果理論分布F(x)中有r個未知參數需用相應的估計量來代替，那么當時，統計量的分布漸近(k-r-1)個自由度的分布.

為了便于理解，我們對定理作一點直觀的說明.是k個近似正態的變量的平方和.這些變量之間存在著一個制約關系：故統計量漸近(k-1)個自由度的分布.

在理論分布F(x)完全給定的情況下，每個pi

都是確定的常數.由棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理，當n充分大時，實測頻數fi

漸近正態，因此

在F(x)尚未完全給定的情況下，每個未知參數用相應的估計量代替，就相當于增加一個制約條件，因此，自由度也隨之減少一個.若有r個未知參數需用相應的估計量來代替，自由度就減少r個.此時統計量漸近(k-r-1)個自由度的分布