PAGEPAGE1課時分層訓練(二十三)平面向量的概念及線性運算A組根底達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．在△ABC中，M是BC中點，設eq\o(CB,\s\up12(→))＝a，eq\o(CA,\s\up12(→))＝b，那么eq\o(AM,\s\up12(→))＝()【導學號：66482195】A.eq\f(1,2)a－b B．eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)bA[eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CM,\s\up12(→))＝－eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up12(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，應選A.]2．eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝7a－2b，那么以下一定共線的三點是()【導學號：66482196】A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因為eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up12(→))，又eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))有公共點A，所以A，B，D三點共線．]3．在△ABC中，D是AB邊上的一點，假設eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋λeq\o(CB,\s\up12(→))，那么λ等于()【導學號：66482197】A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，即eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CA,\s\up12(→))＝2(eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))，∴eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]4．設a，b都是非零向量，以下四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|C[eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)?a＝eq\f(|a|b,|b|)?a與b共線且同向?a＝λb且λ>0.B，D選項中a和b可能反向．A選項中λ<0，不符合λ>0.]5．設D，E，F分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且eq\o(DC,\s\up12(→))＝2eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(CE,\s\up12(→))＝2eq\o(EA,\s\up12(→))，eq\o(AF,\s\up12(→))＝2eq\o(FB,\s\up12(→))，那么eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))與eq\o(BC,\s\up12(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直A[由題意得eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up12(→))，因此eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up12(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up12(→))，故eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))與eq\o(BC,\s\up12(→))反向平行．]二、填空題6．O為四邊形ABCD所在平面內一點，且向量eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(OD,\s\up12(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))，那么四邊形ABCD的形狀為________．平行四邊形[由eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))得eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))，所以eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形．]7．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，假設eq\o(BC,\s\up12(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up12(→))＝3e2，那么eq\o(OC,\s\up12(→))＝________.(用e1，e2表示)eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2[在矩形ABCD中，因為O是對角線的交點，所以eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．]8．(2022·北京高考)在△ABC中，點M，N滿足eq\o(AM,\s\up12(→))＝2eq\o(MC,\s\up12(→))，eq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→)).假設eq\o(MN,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))，那么x＝________；y＝________.eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[∵eq\o(AM,\s\up12(→))＝2eq\o(MC,\s\up12(→))，∴eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→)).∵eq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→))，∴eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))，∴MN＝eq\o(AN,\s\up12(→))－eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up12(→)).又eq\o(MN,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).]三、解答題圖4-1-19．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AG,\s\up12(→)).[解]eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.2分eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12分10．設兩個非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點共線；(2)如果eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三點共線，求k的值．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up12(→))，∴eq\o(AC,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))共線.3分又∵eq\o(AC,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))有公共點C，∴A，C，D三點共線.5分(2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分∵A，C，D三點共線，∴eq\o(AC,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))共線，從而存在實數λ使得eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(CD,\s\up12(→))，9分即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,k＝\f(4,3).))12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．設M是△ABC所在平面上的一點，且eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up12(→))＝0，D是AC的中點，那么eq\f(|\o(MD,\s\up12(→))|,|\o(BM,\s\up12(→))|)的值為()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．2A[∵D是AC的中點，延長MD至E，使得DE＝MD(圖略)，∴四邊形MAEC為平行四邊形，∴eq\o(MD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ME,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→)))．∵eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up12(→))＝0，∴eq\o(MB,\s\up12(→))＝－eq\f(3,2)(eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→)))＝－3eq\o(MD,\s\up12(→))，∴eq\f(|\o(MD,\s\up12(→))|,|\o(BM,\s\up12(→))|)＝eq\f(|\o(MD,\s\up12(→))|,|－3\o(MD,\s\up12(→))|)＝eq\f(1,3)，應選A.]圖4-1-22．(2022·遼寧大連高三雙基測試)如圖4-1-2，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．假設eq\o(AM,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(BC,\s\up12(→))，那么λ＋μ＝________.eq\f(2,3)[因為AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因為點M為AH的中點，所以eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BH,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))＋\f(1,3)\o(BC,