35第7章圓之與直徑有關(guān)的輔助線

一、單選題

DE3

1.如圖,AB為。。的直徑，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，弦CO交AB于點(diǎn)E,若——=一，則tan/B的值是（）

CE5

11

A.-B.一D

54-1

【答案】C

【分析】

如圖（見解析），連接OC,過O作OH，CE于E,過D作。尸_L鉆于F,先根據(jù)垂徑定理得到CH，CD,

2

設(shè)。E=3x,CE=5x,從而可得C”=4x,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得OC=2氐，從而可得

0E=&，又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得DF、EF的長，從而可得BF的長，最后根據(jù)正切三角函

數(shù)的定義即可得.

【詳解】

如圖，連接0C,過O作OHLCE于E,過D作OPLAB于F

??匹

,CE-5

.?.設(shè)Z）E=3x,CE=5x,則CD=O￡+CE=8x

:.CH」cr）=4x

2

：AB為。0的直徑，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)

NEOC=90。

zc=zc

在△OC”和△ECO中，，

ZOHC=ZEOC^90°

.,.△OCA/?ACCO

.OCCHHnOC4x

CEOC5xOC

解得OC=2氐或OC=-2氐（不符題意，舍去）

：.0E=y]CE2-OC2=&

'：DF±AB,OC±AB

，DF//OC

**?^JDCE~iJFDE

OC_OE_CE2#ay/5x5x

..----=-----=-----，-------=------=----

DFEFDEDFEF3X

解得DF=°舊x,EF=*6x

55

OB=OC=2y/5x

BF=OB+OE+EF=2亞x+氐+^~x=^^x

55

6A/5

DF~^~X

則在RtNBDF中，tanZB=——=尸一

BF18V53

-------x

5

故選：C.

Hi

AB

E

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、圓心角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線,

構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

二、填空題

2.如圖，CD為圓0的直徑，弦AB±CD,垂足為E,若NBCD=22.5。，AB=2cm,則圓0的半徑為

【答案】V2

【分析】

連接0B,根據(jù)垂徑定理以及勾股定理即可求出OB的長度.

【詳解】

如圖，連接0B,

?/OC=OB,ZBCD=22.5°,

AZEOB=45°,

VAB±CD,CD是直徑，AB=2,

.'.EB=—AB=1,

2

/.OE=EB=1,

，0B=y]OE2+BE2=V2,

故答案為：V2

【點(diǎn)睛】

本題考查垂徑定理、勾股定理及三角形外角性質(zhì)，垂直弦的直徑平分弦，并且平分弦這條弦所對(duì)的兩條弧；

熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.

3.如圖，已知A3是。。的直徑，AC是。。的弦，過點(diǎn)3作。。的切線，與AC的延長線交于點(diǎn)。，作

AE，AC交直線于點(diǎn)E.若AB=13,AC=12,則BE=.

【分析】

連接8C,求得BC=5,證明AABCsjE4B,根據(jù)相似性質(zhì)即可求出BE

【詳解】

解：如圖，連接3C.

在中，根據(jù)勾股定理，得BC=JTW2-AC2=J132_]22=5

QAB是直徑，

：.ZBCA=90°.

QB。是。。的切線，

AB±BD,

即ZAB￡=90°

-.-AE±AC,

ZCAB+ZBAE^9Q°

?.?NE+4A￡=90。，

/.ZCAB=NE,

.?.△BEA~△CAB,

BE_AB

'~AC~~BC

BE13

*^2一，

"12-5

DBE

故答案為：—

5

【點(diǎn)睛】

(1)見直徑，想半徑或想圓周角為直角；

(2)見切線想做過切點(diǎn)的直徑，構(gòu)造直角；

(3)求線段的長度在幾何圖形中一般選擇勾股定理、相似、或三角函數(shù)來求解.

4.如圖所示，AA3C中，C4=CB,NACB=90°,M，N分別在射線AB，AC上移動(dòng)，且MN=10,

則點(diǎn)A到點(diǎn)M的距離的最大值為一.

【答案】1072.

【解析】

【分析】

過A，M，N三點(diǎn)作00,作直徑連結(jié)M),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NA=NB=45°,再

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出NA=/D=45°,從而確定0。的直徑即可

【詳解】

如圖所示，過A，M，N三點(diǎn)作OO,作直徑連結(jié)M),

VCA=CB,ZACB=9Q°

：.ZA=N3=45°,

ZA=Z￡>=45°

在RtAMDN中，MN=10,：.MD=106

在。。，弦的最大值等于直徑

A到點(diǎn)M的距離的最大值為10正

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握直徑是圓中

最長的弦是解題的關(guān)鍵

5.用兩根同樣長的鐵絲分別圍成一個(gè)長方形和一個(gè)正方形，已知長方形的長比寬多am,則正方形面積與

長方形面積的差為m2.（用含a的代數(shù)式表示）

【答案】［

4

【分析】

設(shè)出長方形的長和正方形的長，設(shè)出鐵絲的長度，用1表示面積做差即可得出.

【詳解】

設(shè)長方形的長為X,結(jié)合題意可知寬為x-a,

設(shè)鐵絲的長度為1,建立方程

2（x—a）+2x=/,

則長方形的面積為s="二?匕3

4164

而正方形的面積為5=---=—,

4416

所以面積差為工

4

故答案為丁2

【點(diǎn)睛】

本題考查了長方形面積計(jì)算公式，正方形面積計(jì)算公式，運(yùn)用多項(xiàng)式做差是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，A3、。。是半徑為5的。。的兩條弦，AB=8,8=6,MN是直徑，A6_LMN于點(diǎn)E，

CDLMN于點(diǎn)、FPC,P為EE上的任意一點(diǎn)，則Q4+PC的最小值為.

OPt-

【答案】7夜.

【分析】

A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，因而PA+PC=PB+PC,即當(dāng)B、C、P在一條直線上時(shí)，PA+PC的最小，即BC

的值就是PA+PC的最小值

【詳解】

連接OA,OB,0C,作CH垂直于AB于H.

根據(jù)垂徑定理，得到BE=BE^-AB=4,CF^-CD^3

22

:.OE=4OB1-BE1=V52-42=3

OF=>JOC2-CF2=752-32=4

.?.CH=OE+OF=3+4=7,

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,

在直角△BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=70,

貝iJPA+PC的最小值為7垃.

【點(diǎn)睛】

正確理解BC的長是PA+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖，已知用AABC中，ZACB=90°,tan8=2,以BC為直徑作O。，交AB于點(diǎn)E，在4?上

取點(diǎn)。使CD=CB,CD交OO于點(diǎn)、F,已知Cf=l,則tanNE4C=.

9

【答案】亞

【分析】

連接CE,EF,BF,過尸作FG1AC于點(diǎn)G,設(shè)跖=加，則CE=2m,BC=V5m，利用^EDF^\CDB

求出優(yōu)的值，利用RtACBFsRMCG求出FG和CG的值，利用HrAEBCsRfAC&i求出人臺(tái)的值，進(jìn)

而求出AG,從而得出結(jié)論.

【詳解】

解：連接CE,

是直徑，.,.CEYBA,

又,?,tan3=2,.?.設(shè)=則CE=2m,8C=有加，

,:CB=CD,BE=ED=m,CD-\[5m>

/?DF=

連接EF,

四邊形BCFE是圓內(nèi)接四邊形，

NDEF=/BCD,ZDFE=ZB,

帖DFsbCDB

.DFDEX/5/77-1m

??----=----,即：--------=l

BDBCm+m#)m

解得：m——>

3

.,5y/52亞

??BDCr=—,DE-——,CE=-----，

333

連接B凡過尸作FG_LAC于點(diǎn)G,

:BC是直徑，

；?ZBFC=90°,

：./CBF+NBCF=90°,

NFCG+NBCF=90°,

，ZCBF=ZFCG,

：.RtkCBFsRikFCG,

.FG_FC

"~FC~~BC)

在mABC尸中，由勾股定理得:

FG1

：.~r=~5,

3

34

：.FG=~,：.CG=~,

55

ZEBC=ZECA,

RMBCSRMCA,

.CEAE

'~BE~~CE

2A/5275

CE?CE~3"X^__475

：.AE=

BE加3

T

/.AB=-s[5,

3

3515

3

5-9

/.tanZ.FAC=-一

31838

15

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓的綜合題，難度較大，主要考查了圓內(nèi)接四邊形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函數(shù)等

知識(shí)點(diǎn).在解題過程中，要靈活應(yīng)用，尤其是輔助線的構(gòu)造，是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題

8.如圖所示，是銳角三角形AAa的外接圓。。的半徑，于點(diǎn)E，求證：NQ4M=NE4￡.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

作直徑A。，則NOAM,NEM分別位于RtA/MM和RtAALE中，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等即可得證.

【詳解】

延長A。交。。于。，連結(jié)

?；AD是直徑

，NOMA=90°

AELML于點(diǎn)、E

，ZAEL=90。

又在。。中ZD=ZL

；?ZOAM^ZEAL.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，經(jīng)常利用直徑構(gòu)造直角，來推理證明圓中角度問題.

9.如圖，AB為。。的直徑，且AB=4,于8,點(diǎn)C是弧48上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。的切線交

BD于點(diǎn)E.連接OE交。。于F.

(1)求證：AD//OE；

(2)填空：連接OC、CF,

①當(dāng)DB=時(shí)，四邊形OCEB是正方形;

②當(dāng)。B=時(shí)，四邊形OACF是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）①4,②80=4百.

【分析】

（1）連接OC、BC,由AB為。0的直徑,￡>8_LAB于8,推出。8是。0的切線，進(jìn)而證明OE，BC,AC，BC,

即可得出結(jié)論；

1BEBO

（2）①若四邊形OCEB是正方形，CE=BE=OB=OC=-AB=2,由（1）可證——=——=1,得到OE

2ED0A

=BE=2,8￡）=8E+￡>E=4即可求出；

②若四邊形OACF是菱形，則OA=AC,又OA=OC,于是△OAC為等邊三角形，ZA=60°,在RsABO

中，由tanA=-^2=G，即可求得B￡）.

AB

【詳解】

（1）證明：連接OC、BC,如圖I,

'：AB為。0的直徑，DBLAB于B,

二08是。。的切線，

???CE與。。相切于點(diǎn)C,

：.BE=CE,

.?.點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，

：OB=OC,

...點(diǎn)。在BC的垂直平分線上，

：.OELBC,

,：ZACB=90°,BPAC±BC,

：.AD//OE-,

圖1

(2)如圖2,①若四邊形OCEB是正方形，A8=4,

:.CE=BE=OB=OC=—AB=2

29

OE//AC,

.BEBO,

,.-------------1,

EDOA

:?DE=BE=2,

：.BD=BE+DE=41

故答案為：4；

②若四邊形O4CR是菱形，

???。。平分/4。/，CF//OA,

：.ZACO=ZFCO=ZAOC9

*：OA=OC,

：.ZA=ZACO=ZAOCf

*e?AAOC是等邊三角形，

???NA=60。，

乙48。=90。,

BDn：

..RtAABD中，tanA=---=，3,

AB

：.BD=4y/3,

故答案為：4G；

【點(diǎn)睛】

本題是圓綜合題，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)以

及菱形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，AB為。。的直徑，C為。O上的一點(diǎn)，ADLCD于點(diǎn)D,AC平分NDAB.

(1)求證：CD是OO的切線.

CD3

(2)設(shè)AD交。O于E,——=一，AACD的面積為6,求BD的長.

AC5

D

【答案】(1)見解析；(2)衛(wèi)2.

4

【分析】

(1)連接0C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義得到NDAC=NOCA,證明OC//AD,根據(jù)平行

線的性質(zhì)得到NOCE=NADC=90。，根據(jù)切線的判定定理證明；

(2)設(shè)AC=5x,CD=3x,根據(jù)勾股定理得到AD=4x,根據(jù)三角形的面積得到AD=4,CD=3,AC=5,

25

連接BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB=一，連接BE交0C于F,由垂徑定理得到OC_LBE,BF=EF,

4

得至!]EF=CD=3,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：連接0C,

VOA=OC,

AZOAC-ZOCA,

：AC平分NDAB,

.".ZOAC=ZDAC,

AZDAC=ZOCA,

，OC辦D,

:./OCE=NADC=90°,

；.CD是。O的切線;

⑵解「噌3

5

???設(shè)AC=5x,CD=3x,

，AD=4x,

???△ACD的面積為6,

/.—AD*CD=—x4xx3x=6,

22

**.x=l（負(fù)值舍去），

???AD=4,CD=3,AC=5,

連接BC,

〈AB為。。的直徑，

AZACB=90°,

AZACB=ZADC,

VZDAC=ZCAB,

AAADC^AACB,

.AD_AC

**AC-ABJ

.45

??一=---，

5AB

.?.AB=竺，

4

?.?/DAC=NCAB,

CE=CB，

連接BE交OC于F,

；.OC_LBE,BF=EF,

?；AB為。O的直徑，

.".ZAEB=ZDEB=90°,

.??四邊形CDEF是矩形,

，EF=CD=3,

，BE=6,

,---7

AE=^AB2-BE2=~，

4

79

??DE=4=—,

44

?*-BD=7BE2+DE2=-

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，圓周角定理，正確的作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)C是。。上的一點(diǎn)，AB=Scm,/3AC=30。，點(diǎn)。是弦AC上的一點(diǎn).

(1)若ODJ_AC,求OD長；

(2)若CD=20D,判斷△AQO形狀，并說明理由.

【答案】(1)2；(2)等腰三角形，見解析.

【分析】

（1）由直角三角形的性質(zhì)求解BC=4,再證明OQ=』BC,即可得到答案；

2

（2）如圖，過。作OQLAC于Q,連接OC,求解AC,CQ,OQ,設(shè)OD=x,則CQ=2OO=2x,

DQ=2x-2瓜利用勾股定理求解x,從而可得答案.

【詳解】

解：（1）???AB為。。的直徑，

:.ZACB=90°,

AB=Scm,NBAC=30°,

/.BC=4,

?/0D1AC,ZACB=90°,

：.ODHBC,

OA=OB,

：.OD=-BC=2.

2

（2）/XA。。是等腰三角形.理由如下：

如圖，過。作OQ_LAC于。，連接OC,

AB=S,ZBAC=30°,

AC=AB.cos3O0=8x—=4百，

2

:.CQ=AQ=2區(qū)

...0Q=；QA=2,

設(shè)OD-x,則CD-2OD-2X9

DQ—2x-2>/3,

由勾股定理可得：

x2=(2X-26『+22,

(V3x—4)=0,

4V3

%=z=-

??.346-2x**O0,

.?.△ADO是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，三角形的中位線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的

判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=6,點(diǎn)C在半圓O上.過點(diǎn)A作ADLOC,垂足為點(diǎn)D,AD

的延長線與弦BC交于點(diǎn)E,與半圓O交于點(diǎn)F(點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合).

(1)當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，求弦BC的長；

DE

(2)設(shè)OD=x,-----=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

AE

(3)當(dāng)△AOD與4CDE相似時(shí)，求線段OD的長.

【答案】(1)3^3；(2)y=^—；(3)-

62

【分析】

(1)連結(jié)OF,交BC于點(diǎn)H.得出/BOF=NCOF.則/AOC=/COF=NBOF=60。，可求出BH,BC

的長；

DE3—xDE3—尤DE3—x

(2)連結(jié)BF.證得OD〃BF,則上絲==,即上竺=土」，得出匕=3,則得出結(jié)論；

DF3+xAD3+xAE6

(3)分兩種情況：①當(dāng)/DCE=NDOA時(shí)，AB〃CB,不符合題意，舍去，②當(dāng)NDCE=NDAO時(shí)，連

13

結(jié)OF,證得/OAF=30。，得出OD=-QA=-,則答案得出.

22

【詳解】

：F是BC中點(diǎn),

AOF±BC,BC=2BH.

AZBOF=ZCOF.

VOA=OF,OC±AF,

AZAOC=ZCOF,

/.ZAOC=ZCOF=ZBOF=60°,

在RtABOH中，sinZBOH=-=—

OB2

VAB=6,

AOB=3,

.?.BH=拽，

2

，BC=2BH=3百；

(2)如圖2,連結(jié)BF.

-.,AF±OC,垂足為點(diǎn)D,

/.AD=DF.

XVOA=OB,

；.OD〃BF,BF=2OD=2x.

.DECD3—x

.DE3—x

"~DF~3+x'

DE3-x

B即ll——=----,

AD3+x

.DE3-x

??--=------，

AE6

._3r

??y-----.

6

(3)^AOD和ACDE相似，分兩種情況：①當(dāng)NDCE=NDOA時(shí)，AB〃CB,不符合題意，舍去.

②當(dāng)/DCE=NDAO時(shí)，連結(jié)OF.

VOA=OF,OB=OC,

.*.ZOAF=ZOFA,ZOCB=ZOBC.

VZDCE-ZDAO,

ZOAF=ZOFA=ZOCB=ZOBC.

■:ZAOD=ZOCB+ZOBC=2ZOAF,

ZOAF=30°,

13

：.OD=-OA^~.

22

3

即線段OD的長為二.

2

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和

性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題.

13.如圖，已知AA8C,NC=90°，點(diǎn)3在。。上，AB邊與。。相交于點(diǎn)D，8C過經(jīng)過圓心。，與。。

相交于點(diǎn)尸，。。的切線。E交AC于點(diǎn)E

(1)求證：AE=DE

Ar3

(2)若'---=—,CF=2,BF=10,求AD的長

BC4

【答案】（1）證明見解析；（2）4）=7.

【分析】

（1）如圖1,連接08,由。石是00的切線，得到DE±OD,BPZADE+ZODB=90°，再由N3=4BDO,

由等角的余角相等可得NA=NADE,根據(jù)等腰三角形的判定得到即可得出AE=DE.

（2）連接。尸，通過利用三角函數(shù)求出AC=9,再由勾股定理求出AB=15,根據(jù)為=cos5=*=:,

即可解答.

【詳解】

解：（1）連接O￡>,

A

?.?DE是。。的切線

NODE=90，

ZADE+ZODB=90a

OD^OB,

：.ZB=ZBDO,

:.ZADE+ZB=90°，

又?.Z+NB=90，

???ZA=ZADE，

：.AE=DE

(2)連接/=2,BF=10,；.BC=12

pAC3

又,/——=-,

BC4

：.AC=9,

AB=y]AC2+BC2=>/92+122=15?

_―BD八BC4

在Rt\DBF中，=cosB==—,

BFAB5

4

.?.8O=-xl0=8,

5

...A￡)=AB—B￡>=15—8=7

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在正方形ABCD中，AB=4及，E,F分別為BC,AD上的點(diǎn)，過點(diǎn)E,F的直線將正方形

ABCD的面積分為相等的兩部分，過點(diǎn)A作AG_LEF于點(diǎn)G,連接DG,則線段DG的最小值為

【答案】275-2

【分析】

連接AC,BD交于O,得到EF過點(diǎn)O,推出點(diǎn)G在以A0為直徑的半圓弧上，設(shè)A0的中點(diǎn)為M,連接

DM交半圓弧于G,則此時(shí)，DG最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC=8,AC1BD,根據(jù)勾股定理即可得

到結(jié)論.

【詳解】

連接AC,BD交于0,

???過點(diǎn)E、F的直線將正方形ABCD的面積分為相等的兩部分,

.?.EF過點(diǎn)O,

\AG±EF,

r./AGO=90°,

.??點(diǎn)G在以AO為直徑的半圓弧上，則AM=OM=GM=2

設(shè)AO的中點(diǎn)為M,

連接DM交半圓弧于G,

則此時(shí)，DG最小，

???四邊形ABCD是正方形，AB=4夜，

.?.AC=8,AC±BD,

AO=OD=-AC=4,

2

AM=OM=-AO=2,

2

.-.DM=VOM2+OD2=2后，

:.DG=DM-GM=2V5-2

故答案為：2加-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

15.如圖1,在。。中，弦AB與半徑OC交于點(diǎn)E，連接AC、OB,ZBOE=2NOEB.

(1)求證：AC=EC；

(2)如圖2,過點(diǎn)C作C。，鉆交。。于點(diǎn)。，垂足為M，連接CB,求證：CD=CB；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接。。并延長。。交AB于點(diǎn)尸，連接CT、BD，過點(diǎn)M作

于點(diǎn)尸，交DF于點(diǎn)Q,連接0P,若N￡WC=90°,。。=1時(shí)，求線段0P的長度.

【答案】（）證明見解析；（）證明見解析；（）叵

123亍

【分析】

（1）延長CO交。。于T,連接BT，根據(jù)等腰三角形的底角相等，三角形的外角的性質(zhì)，結(jié)合

ABOE=2ZOEB,得NT=ZAEC,再結(jié)合圓周角定理，得ZA=NT,即可得到結(jié)論；

（2）作0〃J.BC于”，0尸_18于尸，根據(jù)等腰三角形三線合一，得NCOH=ZBOH,結(jié)合條件得

ZOCH=ZOCF,易證RtACOF三RtACOH,結(jié)合垂徑定理，即可得到結(jié)論；

（3）延長CO交8D于T，連接7F，TM.先證A8T=ADCF,再證△??尸三AFCT,ACMF=ATFB,

得四邊形是平行四邊形，根據(jù)直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得OE=O尸=07,結(jié)合平行線截得的

線段成比例與勾股定理，即可求解.

【詳解】

（1）如圖1中，延長CO交。。于T，連接BT.

?；OT=OB,

XT=/OBT,

???AEOB=ZT+ZOBT=2ZT,

■:ZEOB=2ZOEB=2ZAEC,

:.ZT=ZAECf

?.?NA=NT,

/.ZA=ZAEC,

/.CA=CE；

(2)如圖2中，作0“，5c于”，OFLCD于F.

Q0C=0B,OHIBC,

ZCOH=/BOH,

???ZEOB=2NOEB=2ZCEM,

:.NCOH=NCEM,

VCD1AB,

:.NCEM+NOCF=90。,NOCH+NCOH=9()。,

??.ZOCH=ZOCFf

.OF工CD,OH1.CB,

;.OF=OHt

VOC=OC,ZOFC=ZCWC=90°,

???RtACOF=RtACOH(HL),

.\CF=CH,

;DF=CF,CH=BH,

CD=CB；

(3)在圖3中，延長CO交3。于丁，連接7F,TM.

?;CD=CB,ZDC0=ZBC0,

:.CT±BDfDT=BT,

?：OC=OD,

/.4FDC=ZTCD,

???ZDFC=NCTD=9Q。,CD=DC,

:.ACDT=ADCF(AAS)f

/.BT=DT=CF,ZTDC=ZFCDfDF=CT,

/.ZTDF=AFCT,

???△〃)尸二△"T(SAS),

/.ZT>FT=ZC7F,

\-ZDOC=ZFOTf

:./OCD=NOTF,

:.CD//TF9

：.ZBTF=Z.BDC=NFCM,

???CF=BT,ZOWF=Z7FB=90°,

/.bCMF三ATFB(AAS),

:.FT=CM,

二.四邊形FTMC是平行四邊形，

:,TE=EC,EM=EF,

,.DF=CT,OD=OC,

OT=OFf

:.4OTF=4OFT,

???NO7F+NEEr=90°,ZOFT-hZOFE=90°,

；.NOEF=NOFE,

：.OE=OF=OTf

?：MP上DB,CT±DB,

-OEUMQ.EF=EM，

:.OQ=OF=\,

ET=EC=2,

OD=OC=3,

DQ=2f

???QP//OT,

.QPDQDP

一~OT~~DO~~DTf

?PQ_2_DP

一~~3~~DT'

本題主要考查圓的基本性質(zhì)與全等三角形，相似三角形，勾股定理，平行四邊形的綜合，添加輔助線，構(gòu)

造全等三角形，相似三角形，是解題的關(guān)鍵.

16.如圖所示，四邊形A8CO的四個(gè)頂點(diǎn)在。。上，且對(duì)角線ACLBO于“，求證：

AH2+BH2+CH-+DH2為定值.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

作直徑3E,連結(jié)CE,DE,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得出80,OE，從而得出AC||OE利用勾股

定理即可解決問題.

【詳解】

作直徑3E,連結(jié)CE,DE,

???BDLDE，

,/ACLBD

:.AC||DE,

：.弧AD=J1CE,

:.AD-CE,

根據(jù)勾股定理得：

AH1+DH-=AD1=CE2，BH2=CH2=BC2，

AH2+BH2+CH2+DH2=BC2+CE2=BE2為定值.

Bn

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理，勾股定理，兩條平行線所夾的弧相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用定理和性質(zhì)進(jìn)

行轉(zhuǎn)化.

17.如圖所示，AB為。。的一條弦，點(diǎn)。為。。上一動(dòng)點(diǎn)，且N8C4=30°,點(diǎn)E，/分別是AC,BC

的中點(diǎn)，直線所與＜3。交于G,H兩點(diǎn),若。。的半徑為7,求GE+切的最大值.

【答案】GE+"/的最大值為二.

2

【解析】

【分析】

由GE+尸，和EE組成。。的弦GH,在。。中，弦G”最長為直徑14,而砂可求，所以GE+切的最

大值可求.

【詳解】

連結(jié)A。，B0,

ZBCA=30°二ZBOA=60°

為等邊三角形，43=7

；點(diǎn)、E，產(chǎn)分別是AC,8c的中點(diǎn)

17

：.EF=-AB=~,?：GH為。。的一條弦

22

721

二G”最大值為直徑14；.GE+陽的最大值為14一一=—.

22

【點(diǎn)睛】

利用直徑是圓中最長的弦，可以解決圓中一些最值問題.

18.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,且AB=2CD,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)

H.

(1)求證：四邊形DEBC是平行四邊形；

(2)若BD=9,求DH的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)6.

【分析】

(1)結(jié)合題意，得出DC=BE,利用平行四邊形的判定定理，證明，即可.(2)結(jié)合三角形相似，得出DH

和BH的長度關(guān)系，計(jì)算結(jié)果，即可.

【詳解】

(1)證明：’.任是AB的中點(diǎn)，

；.AB=2EB,

VAB=2CD,

ADC=BE,

又；AB〃CD,即DC〃BE,

...四邊形BCDE是平行四邊形.

(2)解：?.?四邊形BCDE是平行四邊形，

；.BC=DE,BC//DE,

/.△EDM^AFBM,

.DE_DH

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