數學概括法證明不等式數學概括法（一）教課目的：認識數學概括法的原理，能用數學概括法證明一些簡單的與正整數相關的數學命題；2.進一步發展猜想概括能力和創新能力，經歷知識的建立過程,領會類比的數學思想。教課要點：數學概括法產生過程的剖析和對數學概括法的證題步驟的掌握。教課難點：數學概括法中遞推思想的理解。教課過程：一、創建情境，引出課題1）不完好概括法：今日清晨，我曾迷惑，怎么一中（永昌一中）只招男生嗎？由于清早我在學校門口看到第一個進校園的是男同學，第二個進校園的也是男同學，第三個進校園的仍是男同學。于是得出結論：學校里所有都是男同學，同學們說我的結論對嗎？（這明顯是一個錯誤的結論，說明不完好概括的結論是不行靠的，從而引出第二個問題）2）完好概括法：一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎樣考證五根火柴都是紅色的呢？（將火柴盒翻開，拿出剩下的火柴，逐個進行考證。）注：關于以上二例的結果是特別明顯的，教課中主要用以上二題引出數學概括法。結論：不完好概括法→結論不行靠；完好概括法→結論靠譜。問題：以上問題都是與正整數相關的問題，從上例能夠看出，要想正確的解決一個與此相關的問題，便靠譜性而言，應當采用第幾種方法？（完好概括法）情境一：（播放多米諾骨牌視頻）問：如何才能讓多米諾骨牌所有倒下？二、講解新課：研究一：讓所有的多米諾骨牌所有倒下，一定具備什么條件？條件一：第一張骨牌倒下；條件二：隨意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下必定致使后一張倒下。研究二：同學們在看完多米諾骨牌視頻后，能否對如何證明122232+n2n(n1)(2n1)有些啟迪？6得出結論：證明122232+n2n(n1)(2n1)的兩個步驟：6（1）證明當n1時，命題建立；（2）假定當nk(k1,kN*)時命題建立，證明當nk1時命題也建立。一般地，證明一個與正整數

n相關的命題，可按以下步驟進行：（1）（概括奠定）證明當

n

取第一個值

n0(n0

N*)時命題建立；（2）（概括遞推）假定

n

k(k

n0

,k

N*)時命題建立，證明當

nk1時，命題也建立。只需達成以上兩個步驟，就能夠判斷命題對從

n0開始的所有正整數

n都建立。上述方法叫做數學概括法。三、應用舉例：例1用數學概括法證明：135+(2n-1)=n2證明：（1）當n1時，左側1，右側121，等式建立；（2）假定當nk（k≥1,kN*）時，135+(2k-1)=k2，那么：135+(2k-1)+(2k+1)=[12(k1)1](k1)(k1)2，則當nk1時也建立。2依據（1）和（2），可知等式對任何nN*都建立。注：①對例1，第一說明在利用數學概括法證題時，當nk1時的證明一定利用nk的概括假定，例2：用數學概括法證明求證：n35n(nN)能被6整除.[證明]：1.當n1時，13+5×1=6能被6整除，命題正確；2.假定nk時命題正確，即k35k能被6整除，∴當nk1時，(k1)35(k1)(k33k23k1)(5k5)(k35k)3k(k

1)

6，∵兩個連續的整數的乘積

k(k

1)是偶數，

3k(k

1)能被

6整除，(k3

5k)

3k(k

1)

6

能被

6整除，即當

n

k1時命題也正確，由1,2

知命題時

n

N

都正確

.即：當nk1時，等式建立。依據（1）和（2），可知等式對任何nN*都建立。注：上例可讓學生獨立達成，教師板書寫現完好過程，以突出數學概括法證題的一般步驟。四、穩固練習：P50練習題第1、2題五、講堂小結：問：今日我們學習了一種很重要的數學證明方法，經過本節課的學習，你有哪些收獲？（學生總結，教師整理）1、數學根源于生活，生活中有很多形如“數學概括法”這樣的方法等著我們去發現。2、數學概括法中包含著一種很重要的數學思想：遞推思想；3、數學概括法一般步驟：考證n若nk(kn0,kN*)時命題成n0時命題成立，證明當nk1時命題也建立立概括奠定概括遞推命題對從n0開始所有的正整數n都建立4、應用數學概括法要注意以下幾點：第一步是基礎，沒有第一步，只有第二步就如海市蜃樓，是不行靠的；第二步是證明傳達性，只有第一步，沒有第二步，只好是不完好概